2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册第一次月考拟练习试卷【第21-22章】

2025-2026学年人教版版九年级第一次月考数学拟练习试卷【九上第21-22章】 学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________ 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列方程中是一元二次方程的是(　　) A．x2－1＝0 B．y2＋x＝1 C．2x＋1＝0 D．x 1 2.用配方法解方程x2－8x+9＝0，变形后的结果正确的是（      ） A．(x－4)2＝7 B．(x－4)2＝－7 C．(x－4)2＝25 D．(x－4)2＝－25 3.已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则m的值是（      ） A．4 B．2 C．－2 D．－4 4.把抛物线y=5 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（          ）　 A.       B. C.       D. 5.对于抛物线y＝（x－1）2－1，下列说法正确的是（      ） A．抛物线的开口向下 B．有最大值，最大值是－1 C．抛物线的顶点坐标是(1，1) D．当x＞1时，y随x的增大而增大 6.若m，n是一元二次方程 的两个根，则 的值是（          ）　 A.4 B.5 C.6 D.12 7.已知点(－3，y1)，(0，y2)，(2，y3)在二次函数y＝2x2＋4x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 8.《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？(备注：1贯＝1000文)，设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为(　　) A. (x－3)(x－47)＝2975 B. (x＋3)(x－47)＝2975 C. (x＋3)(x＋47)＝2975 D. (x－3)(x＋47)＝2975 9.若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(　　) A.m＜0且m≠－1 B.m≥0 C.m≤0且m≠－1 D.m＜0 10.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是(　　) 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.) 11.方程(x－2)(x+1)＝0的根是______． 12.一元二次方程x(2x－1)＝2x＋3化为一般形式为______． 13.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为(0，﹣2)．此二次函数的解析式可以是            ． 14.二次函数y＝mx2－(2n＋1)x的图象经过点(2，0)，则关于x的一元二次方程mx2－2nx＝x的根为      ． 15.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中，如图，拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN，要在拱门中设置矩形框架ABCD，当AB＝3m时，矩形框架ABCD的周长为            m． 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.) 16.解方程：x2－4x＝5． 17.已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 18.第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数y＝﹣10x+900．若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.) 19.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，且a≠0)． (1)若a＝ ，b＝1，c＝－ ，求x的值； (2)若b＝a＋c，求证：方程总有实数根． 20.某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为5∶8. (1)求围成的矩形苗圃园的面积； (2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？ 21.根据以下素材，探索并完成任务．  探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间t（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离y（m） 27 48 63 72 素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离y（单位：m）与行驶时间t（单位：s）之间具有函数关系y＝at2+bt（a≠0）、a、b为常数）；②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． （1）任务一：求y关于t的函数表达式； （2）任务二：汽车司机发现正前方90m处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.) 22.定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“友好方程”．如2x2－7x+3＝0的“友好方程”是3x2－7x+2＝0． (1)写出一元二次方程x2+3x－10＝0的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程x2+3x－10＝0的两根为 ＝2， ＝－5，它的“友好方程”的两根 ，  ＝______．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  ，  之间存在的一种特殊关系为______； (3)已知关于x的方程2021x2+bx－c＝0的两根为 ＝－1， ，请利用(2)中的结论，求出关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根． 23.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，D是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当CD∥x轴时，求△ACD的周长； (3)当△BCD的面积等于△AOC面积的 时，求点D的横坐标． 详解详析 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.A 【解析】A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意 2.A 【解析】方程移项得x2－8x＝－9，配方得x2－8x+16＝7，即(x－4)2＝7． 3.D 【解析】∵y＝x2＋mx，∴对称轴为直线x 2，解得m＝－4． 4.C 5.D 【解析】∵a＝1＞0，∴开口向上，∵顶点坐标为(1，－1)，∴有最小值，最小值是－1，当x＞1时，y随x的增大而增大． 6.C 【解析】 是一元二次方程 的两个根， . ， . 7.C 【解析】∵a＝2＞0，－  ＝－  ＝－1，∴二次函数y＝2x2＋4x＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，点(－3，y1)距离对称轴有2个单位长度，(0，y2)距离对称轴有1个单位长度，(2，y3)距离对称轴有3个单位长度，根据距离对称轴越远函数值越大可得y2＜y1＜y3． 8.D　 【解析】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为(x－3)尺，一尺锦价格为(x＋47)文，根据题意，得(x－3)(x＋47)＝2975. 9.A 【解析】∵关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(m＋1)＞0，且m＋1≠0，∴m＜0且m≠－1. 10.B 【解析】解法一：当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax+a的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误．解法二：A项，由一次函数的增减性，知a＜0，由一次函数图象与y轴的交点，知a＞0，故A不符合题意；B项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＞0，故B符合题意；C项，由二次函数的图象，知a＜0，由一次函数的图象，知a＞0，故C不符合题意；D项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＜0，故D不符合题意． 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分.) 11.x＝2或x＝－1 【解析】(x－2)(x+1)＝0，x－2＝0或x+1＝0，解得x＝2或x＝－1． 12.2x2－3x－3＝0 【解析】x(2x－1)＝2x＋3，去括号得2x2－x＝2x＋3，移项得2x2－x－2x－3＝0，合并得2x2－3x－3＝0． 13.y＝x2﹣2(答案不唯一) 14. 【解析】当x＝0时，y＝ －(2n＋1)x＝0，即二次函数y＝ －(2n＋1)x的图象经过点(0，0)，而二次函数y＝ －(2n＋1)x的图象也经过点(2，0)，故二次函数y＝ －(2n＋1)x的图象与x轴的交点为(0，0)和(2，0)，故关于x的一元二次方程 －2nx＝x的根为0或2. 15.18 【解析】由题意得，抛物线的顶点P(6，4)，∴可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4，把O(0，0)代入得0＝a(0－6)2＋4，∴a ，∴y (x－6)2＋4，令y (x－6)2＋4＝3，∴x＝3或x＝9，∴BC＝9－3＝6(m)，∴矩形框架ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2(3＋6)＝18(m)． 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分.) 16.解：∵x2－4x＝5 ∴x2－4x－5＝0 ∴(x－5)(x+1)＝0 ∴x－5＝0，x+1＝0 ∴  ＝5，  ＝－1 ∴原方程的解为  ＝5，  ＝－1． 17.解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)， ∴h＝－2，k＝3， 依题意得5＝a(－1＋2)2＋3， 解得 a＝2， ∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11． 18.解：由题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系y＝﹣10x+900， 根据利润＝每件的利润×销售数量， 得W＝（﹣10x+900）（x﹣50）＝﹣10x2+1400x﹣45000， 当W＝3000时，即﹣10x2+1400x﹣45000＝3000， 整理得x2﹣140x+4800＝0， 解得x1＝60，x2＝80， ∵a＝﹣10， ∴抛物线开口向下， ∵获得的月利润不低于3000元， ∴60≤x≤80， ∵销售单价不得超过75元， ∴60≤x≤75． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分.) 19.(1)解：∵a＝ ，b＝1，c＝－ ，∴ x2＋x－ ＝0， 即x2＋2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－3， ∴x的值为1或－3； (2)证明：∵b＝a＋c， ∴ax2＋(a＋c)x＋c＝0， ∴Δ＝(a＋c)2－4ac  ＝a2＋2ac＋c2－4ac ＝a2－2ac＋c2 ＝(a－c)2≥0， ∴方程总有实数根． 20.解：(1)设与院墙垂直的一边长为5a米，则与院墙平行的一边长为8a米，且8a≤20，即a≤2.5， 由题意，得2×5a＋8a＝34＋2，解得a＝2， ∴与院墙垂直的一边长为10米，与院墙平行的一边长为16米， ∴围成的矩形苗圃园的面积为10×16＝160平方米； (2)设小路的宽为x米，由题意，得(10－x)(16－2x)＝126， 整理，得x2－18x＋17＝0，解得x1＝17(舍去)，x2＝1， ∴鹅卵石小路的宽为1米． 21.解：（1）由题意，设y＝at2+bt+c， 将（1，27），（2，48），（3，63）代入， 得 ， 解得 ， ∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣3t2+30t． （2）不会，理由如下： ∵y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t－5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75m， ∵75＜90， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分.) 22.解：(1)－10x2+3x+1＝0； (2) ，互为倒数； 【解法提示】－10x2+3x+1＝0，(2x－1)(5x+1)＝0，解得  ，  ，根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根  、  与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根  、  之间存在的一种特殊关系为互为倒数.∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为  ，  ．“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为 ， ，∴ • • 1， • • 1，即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数． (3)∵方程2021x2+bx－c＝0的两根是 ＝－1， ． ∴该方程的“友好方程”－cx2+bx+2021＝0的两根为 ＝－1， ＝2021， 则方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0的两根 －1＝－1， －1＝2021， 即 ＝0， ＝2022， 整理方程－c(x－1)2+b(x－1)+2021＝0得c(x－1)2－2021＝b(x－1)， ∴关于x的方程c(x－1)2－2021＝b(x－1)的两根为 ＝0， ＝2022． 23.解：(1)将A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋6， 得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋6； (2)如解图①，由抛物线的解析式y＝－ x2＋ x＋6可知抛物线对称轴为直线x＝1，C(0，6)． ∵CD∥x轴， ∴点D与点C关于直线x＝1对称， ∴D(2，6)， ∴CD＝2. ∵A(－2，0)，C(0，6)， ∴OA＝2，OC＝6， ∴AC＝ ＝2 ， 过点D作DE⊥x轴于点E， ∵A(－2，0)，D(2，6)， ∴AE＝4，DE＝6， ∴AD＝ ＝2 ， ∴△ACD的周长为AC＋AD＋CD＝2 ＋2 ＋2＝2( ＋1)； 解图① (3)如解图②，过点D作DF⊥x轴于点F，交BC于点G，　　 设BC所在直线的解析式为y＝k′x＋b′， 将B(4，0)，C(0，6)代入y＝k′x＋b′得 解得 ∴BC所在直线的解析式为y＝－ x＋6， 设D(m，－ m2＋ m＋6)(0<m<4)，则G(m，－ m＋6)， ∴DG＝－ m2＋ m＋6－(－ m＋6)＝－ m2＋3m， ∵OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝ OA·OC＝ ×2×6＝6， ∵S△BCD＝ S△AOC＝ ×6＝ ，S△BCD＝ DG·OF＋ DG·BF＝ DG·OB， ∴ ×(－ m2＋3m)×4＝ ，整理得m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3， ∴点D的横坐标为1或3. 解图② 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $