北京市陈经纶中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

北京市陈经纶中学2025~2026学年度第一学期高二年级数学学科10月月考试题 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.已知直线1的一个方向向量为(-1,1)，则直线1的倾斜角为() A.45 B.90 C.120 D.135 【答案】D 【详解】依题意，直线1的一个方向向量为(-1山)，所以直线1的斜率为片-1，对应倾斜角为135 2.已知圆C:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:(x-2)+(y-2)=10,则圆C,与圆C,的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 【答案】C 【详解】根据题意将C化为标准方程可得(x+1)+(y+4)-25, 即圆心C(1,-4),半径1=5： 由(x-2)2+(y-2)2=10可知圆心C2(2,2),半径1=V10: 此时圆心距为CC=V(2+1)2+(2+4)=35,万+2=5+10,1-5=5-V0: 显然51-2<CC22<1+2,即两圆相交 3.在空间直角坐标系中，A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),则△ABC是() A,锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 【答案】B 【详解】由A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5), 可得AB到=V1+1)2+(-2+12+(-3+1)2=3,AC=V1-0)2+(-2-02+(3+5)2=3, CB=V-1-0)2+(-1-0)2+(-1+5)2=32, 故AB+AC=BC,AB=AC, 因此△ABC是等腰直角三角形， 4.在空间直角坐标系Oxz中，平面a的法向量为n=(1,l,1),直线1的方向向量为m,则下列说法正确的 是() A.若m= 则l11a B.若m=(1,0,-1),则1⊥ C.平面&与所有坐标轴相交 D.原点O一定不在平面&内 【答案】C 【详解】解：对于A选项，m:n=-}+1=0,所以m1,故11a或1c&,故A选项错误： 22 对于B选项，m-n=1+0-1=0,所以m1n,故l/a或1c&,故B选项错误： 对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与 所有坐标轴相交，故正确： 对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O与平面α关系，故错误. 5.已知cosa=行则下列说法错误的是《) A.若ā6分别是直线l,l的方向向量，则4，山所成角余弦值是 B.若a,6分别是直线I的方向向量与平面a的法向量，则1与a所成角正弦值是 C.若āb分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角A-BC-D的余弦值是) D.若ab分别是直线I的方向向量与平面a的法向量，则1与au所成角余弦值是22 【答案】C 【详解】对于A:因为直线与直线所成角范围为 0. 所以4,1所成角余弦值为0sa,5-子放A正 确； 对于B:因为直线与平面所成角范围为0，。 所以1与a所成角正弦值sim0=osab},1与a所成 角余弦值为 2W2 故BD正确； 3 对于C:因为二面角的平面角所成角范围为O,π，所以二面角A-BC-D的余弦值可能为负值，故C错 误： 6.已知直线：y=+b,⊙0：x2+y2=1,则|bk1”是“直线1与⊙O相交”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可得直线1：y=c+b与⊙O:x2+y2-1相交， 则0<1令F<+ 当|bK1时，满足b2<k2+1,即bK1”是“直线1与⊙0相交的充分条件； 当直线：y=x+b与⊙0：x2+y2=1相交时，不一定有bk1,比如b=2,k=3也满足，所以川bk1”是“直 线1与⊙0相交的充分不必要条件. 7.过直线4x+3y+10=0上一点P作圆C:x2+y2-2x=0的切线，切点为A,B,则四边形PACB的面积的 最小值为() A.6 B.3v13 C.23 D. 3√19 5 5 【答案】D 1 【详解】如图，由切线性质可知，PALAC,,PB⊥BC,APAC≌△PBC,所以Sp4cs=22PAAC,圆的标准方程 为(-1)°+y2=1，圆心为C1,0)，半径为r=1,点C到直线距离d=4+10-4 5 5 24=G-hd=Pc-，要使was=号2P44d最小，需使PCL=d，故 a J B -3-2-1 8.如图，在边长为2正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足 BP⊥DE,则点B,和满足条件的所有点P构成的图形的周长是() D D A.22+2W5 B.3W2+2V5 C.45+2W5 D.35+45 【答案】B 【详解】以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 如图，取CC,CD的中点分别为N,M,连接AM,N,BN,AB, 由于AB∥N,所以A,B,N,M四点共面，且四边形AB,M为梯形， A(2,0,0),M(0,1,0),N(0,2,1),D(0,0,2),E(1,2,0), M=(2,1,0),N=(0,1,1),DE=(1,2,-2), 因为AMDE=-2+2=0,MW.DE=2-2=0 3 所以D,E⊥MN,D,E⊥AM,所以由线面垂直的判定可知DE⊥平面AB,M, 即满足条件的所有点P构成的图形为ABNM, 由于M=√2，AB=2√2，AM=BN=√5，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为3√2+25 D B C B 9.若点P(x,y)在直线x+y=12上运动，则√x2+1+√y2+16的最小值为() A.13 B.√2+√137 C.√37+213 D.1+4w10 【答案】A 【详解】因为点P(x,y)在直线x+y=12上运动，所以y=12-x, 所以Vx2+1+V2+16=2+1+V12-x'+16=x-02+[0-(-1]+Vx-12y+(0-42, 表示x轴上一点Q(x,0)到两定点A(0,-1八B12,4)的距离之和. A,B在x轴两侧，因为△OAB中，两边之和大于第三边，所以OA+OB>AB, 当QA、B三点共线时，OA+QB=AB,此时QA+OB最小值为AB, 即Vx2+1+V2+16的最小值为AB=√0-122+(1-4)2=13 10.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P-ABCD, PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,M为底面ABCD及其内部的一个动点且满足|PM=√5，则 DM·BM的取值范围是() A.1-2√2,1+2W2] B.[-1,1+2√2] c.[-1-√2，-1] D.1-2W2,-1 【答案】D 【详解】PA1平面ABCD,PA=AB=AD=2,连接PM,AM,由PM=V5,可得AM=√PM-PA=1, 四边形ABCD为矩形，以AB,AD,AP为x,,二轴建立如图所示坐标系， 则20o,DQ20,设Mo0sm00.9=0 则DM=(cos6,sim0-2,0),BM=(cos日-2，sin6,0), 所以DM.BM=cos0(cos6-2)+(sin0-2)sin6 2(in+co)=1- 所以DM.BM∈[1-2W2,-1 D M B 二、填空题（每小题5分，共25分） 11.若直线l:x-y+1=0和直线2：ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直”，则a= 【答案】a=-1或a=0 【分析】根据两直线互相垂直求出α的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论. 【详解】当直线：x-y+1=0和直线l2:ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直时， 有1×a+(-a)(a+2)=0,即a2+a=0,解得a=-1或a=0, 12.以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为 【答案】(x-2+(0-)°=1 【分析】根据圆心和半径可得圆的方程 【详解】以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1. 故圆的标准方程是(x-2)+(y-1)-1. 13.如图，在四面体O-ABC中，G是△ABC的重心，G是OG上的一点，且OG=3GG,若 OG=xOA+yOB+zOC,x++= ;若四面体O-ABC是棱长为2的正四面体，则 IOG= 0 B 【答案】 0.75 分6 (前3后2) 4 2 【分析】第一空：利用空间向量的线性运算法则，结合三角形重心的性质求解： 第二空：将0G-01+08+0C两边同时平方，利用数量积的运算律计锐即可. 4 【详解】oG-0G014G-0片非4c1间 -30A+4C+AB=3o1+4oc-0+4oB-01 4 4 4 4 -104+08+ 4 ·三1，w=121 =42=4 3 则x+y+z=一 4 将OG=01+0B+0C两边同时平方得： oG-aoi+0B+0c-。o+oB+0c+201.0B+201.oc+20coB 64x332x22 16 2F4 sloal- 14.空间直角坐标系中，已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(xy,-2)在平面ABC内，写出一个 符合题意的点P的坐标 【答案】P(2,1,-2)(答案不唯一，横纵坐标满足x+y-3=0) 【分析】由ABCP四点共面可得AP=mAB+AC,代入计算可得x+y-2=0,所以P(x,y,-1)满足 x+y-2=0即可. 6 【详解】点P(x,y,-1)在平面ABC内，所以ABCP四点共面， 则AP=mAB+nAC, 所以(x-1,y,-2)=m(-1,1,0)+n(-1,0,1), x-1=-m-n 所以y=m ,则x+y-3=0, -2=n 所以P(x,y,-2)满足x+y-3=0即可. 令x=2y=1,满足x+y-3=0, 所以符合题意的点P的坐标可以为P(2,1,-2) 15.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱BC的中点.动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于 下列四个结论： ①存在点P,使得PA=PE;②存在点P,使得BD⊥平面PAE; ③△PAE的面积越来越小；④四面体APB,E的体积不变. D 其中，正确结论的序号是 【答案】①③④ (2分，3分，5分) 【分析】设正方体棱长为2，DP=,求出PA2,PE2,由PA2-PE2解得(0≤m≤2)，确定①正确，考虑 到P到平面AB,E的距离不变，从而易判断④，以DA,DC,DD为x,y,=轴建立空间直角坐标系，可证明BD 不可能与AE垂直，故②不正确： 设P(0,,0),(0≤m≤2)，由空间向量法求得P到AE的距离，由距离的变化规律判断③正确 【详解】设正方体棱长为2，DP=, 由AA⊥平面ABCD,APC平面ABCD得AA⊥AP,同理PCL⊥EC, 所以PA2=A42+AD2+DP2=8+m2,PE2=PC2+CC2+CE2=4+(2-m2+1=5+(2-m2, 由8+m-54(2-心得m-子存在P使得P4=PB,①正确， 正方体中，CD∥平面ABCD,P∈CD,所以P到平面ABCD的距离不变，即P到平面ABE的距离不变， > 而△ABE面积不变，因此三棱锥P-ABE,即四面体APBE的体积不变，④正确； 以DA,DC,DD为x,y,二轴建立空间直角坐标系，如下图， 1 正方体棱长为2，则A(2,0,2),E1,2,2),B(2,2,0),D(0,0,2),AE=(-1,2,0), BD=(2,-2,2),BD·AE=-2≠0，所以BD不可能与AE垂直，故BD,⊥平面PAE也不可能成立，故② 错误： 设P(0,m,0),(0≤m≤2)，PE=4,2-m,2),PE=V1+(0m-2)2+4=Vm2-4m+9,4E=V5, 所以cos(PE,4E=4,2-m2)-12.0 3-2m √5.√m2-4+9 √5.√m2-4m+9 设P到直线AE的距离为d,则 、2 d=PEI sin(PE,AE=m2-4m+9 3-2m Vm2-8+36_√0m-4)2+20 5.√m2-4m+9 5 5 由二次函数性质知0≤m≤2时，y=(-4)2+20递减，所以d递减，又AE=V5不变，所以△APE的面积 为A4d递减，③正确， 综上：①③④正确 故选C 三、解答题（每题15分，共75分） 16.已知直线过点(2,4)，直线12：y=2x ()若马11，求直线马的一般式方程：6分 (2)若直线4与x轴和直线2围成的三角形的面积为4，求直线的一般式方程.9分 【答案】(1)x+2y-10=0 (2)x-2=0或x-y+2=0 【详解】(1)直线2：y=2x的斜率为2，若⊥，则直线的斜率为- 2 8 直线的方程为y-4=- (x-2. 即x+2y-10=0 (2,4) (2)点(2,4)在直线l2:y=2x上， =2x ①当直线l的斜率不存在时，直线！的方程为x=2, 旺时围成三角形的面积为)×2x4=4,符合题意 2主 ②当直线l的斜率存在，且不为零时， 设直线的方程为y-4=k(x-2), 令y=0,解得x=2-4 k (2.4 所以24=41. 解得k=1,此时直线4的方程为y-4=1×(x-2) x-y+2-0 V=2x 即x-y+2=0 ③当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=4, 此时直线l与x轴和直线，无法围成三角形，不符合题意 综上所述，直线4的方程为x-2=0或x-y+2=0. 17.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E为BC的中点.点M在BD上.再从下列三个条件中选择一 个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题 D A B M A B 条件①：MA=MC 条件②：EM⊥AD: 条件③：EM∥平面CDDC. (1)求证：M为BD的中点：6分 (2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离：9分 【答案】(1)证明见解析 9 (2)30: 2 【详解】(1)选条件①：由MA=MC, 根据正方体ABCD-AB,CD的对称性，此时点M为BD上的任意一点，所以不成立： 选条件②：EM⊥AD, 连接CD,在正方体ABCD-ABC,D,中，由BC⊥平面CDDC, 因为CDc平面CDDC,所以BC⊥CD, 又因为EM⊥AD,ADI/BC,所以EM⊥BC, 因为EM,CDC平面BCD,所以EMI1CD, 又因为E为BC的中点，所以M为BD的中点， 选择条件③：EM∥平面CDD,C, 连接CD,因为EM∥平面CDDC,EMC平面BCD, 且平面BCDO平面CDDC1=CD,所以EMI/CD, 因为E为BC的中点，所以M为BD的中点. D C B A B (2)在正方体ABCD-AB,C,D,中，DA,DC,DD,两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则D(0,0,0),C(0,2,0),E(12,0),M11,1), 所以DC=(0,2,0)，DM=1,1,1),EM=(0,-11), m.DC=y=0 设平面MCD的法向量为m=(x,y,=),则 mi DM=x+y+z=0 令x=1,则y=0,z=-1.于是m=4,0,-1), 设直线EM与平面MCD所成的角为0，则sin6=cosm,EM= m.EM 1 mEM 2 所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30， 点B到平面ACD的距离为d=|Msin8=V2×sin30-5 2 10北京市陈经纶中学2025~2026学年度第一学期（10月)月考试题 高二年级数学 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1.已知直线1的一个方向向量为(-1,1)，则直线1的倾斜角为() A.45 B.90 C.120 D.135 2.己知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:(x-2)+(y-2)=10,则圆C1与圆C2的 位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 3.在空间直角坐标系中，A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),则△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4.在空间直角坐标系Oxz中，平面α的法向量为=(1,1,1)，直线1的方向向量为m, 则下列说法正确的是() 4若m（封 则1/1a B.若m=(1,0,-1),则1⊥ C.平面a与所有坐标轴相交 D.原点O一定不在平面a内 5.已知cos@,b)三一，则下列说法错误的是() A.若ā五分别是直线4，山的方向向量，则4，h所成角余弦值是 3 B.若a,6分别是直线I的方向向量与平面a的法向量，则1与a所成角正弦值是 3 分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角A-BC-D的余 D.若ā6分别是直线1的方向向量与平面a的法向量，则1与&所成角余弦值是2 3 6.已知直线1：y=+b,⊙0：x2+y2=1,则|bK1”是“直线1与⊙O相交”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 高二数学10月月考一1 7.过直线4x+3y+10=0上一点P作圆C:x2+y2-2x=0的切线，切点为A,B.则四边形 PACB的面积的最小值为() A.√6 B.3v13 C.25 D 3v19 5 5 8.如图，在边长为2正方体ABCD-AB,C,D中，E为BC的中 D 点，点P在正方体表面上移动，且满足BP⊥DE,则点B和满 A B 足条件的所有点P构成的图形的周长是() A.22+25 B.3√2+25 D E C.4√5+25 D.3√2+4W5 9.若点P(x,)在直线x+y=12上运动，则Vx2+1+√y2+16的最小值为() A.13 B.√5+37 C.√37+213 D.1+4W10 10.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一 “阳马'P-ABCD,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,M为底面ABCD及其内部的一 个动点且满足I|PM=√5，则DM.BM的取值范围是() A.1-2√2,1+2W2]B.[-1,1+22]C.[-1-√2，-1D.1-2W2,-1] 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11.若直线l:x-y+1=0和直线2：ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直”，则a= 12.以点A(2,1)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为 13.如图，在四面体O-ABC中，G是△ABC的重心，G是 OG上的一点，且OG=3GG,若OG=xOA+yOB+zOC, 则x+y+z= ;若四面体O-ABC是棱长为2的正 四面体，则OG= 14.空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,y,-2)在平面ABC 内，写出一个符合题意的点P的坐标 高二数学10月月考一2 15.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为棱B,C的中点.动 点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列四个结论： ①存在点P,使得PA=PE; ②存在点P,使得BD,1平面PAE: ③△PAE的面积越来越小： ④四面体APB,E的体积不变. 其中，正确结论的序号是 三、解答题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题15分) 已知直线过点(2,4)，直线12：y=2x (1)若1⊥12，求直线的一般式方程： (2)若直线1与x轴和直线2围成的三角形的面积为4，求直线4的一般式方程 17.(本小题15分) D 如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，E为BC的中 A 点.点M在BD上.再从下列三个条件中选择一个作为已 知，使点M唯一确定，并解答问题， 条件①：MA=MC:条件②：EM⊥AD: 条件③：EMI∥平面CDDC (1)求证：M为BD的中点： (2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离 18.(本小题15分) 已知圆C过原点O和点A(1,3),圆心在x轴上. (1)求圆C的方程： (2)直线1经过点(1,1)，且1被圆C截得的弦长为6，求直线1的方程： (3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线，设m与x轴的交点为N,若向量 O0=OM+Ow,求动点Q的轨迹方程 高二数学10月月考一3 19.(本小题15分) 在梯形ABCD中，ABCD,∠B1D=号，AB=2AD=2CD=4,P为4B的中点，线段 AC与DP交于O点（如图1）.将△ACD沿AC折起到△ACD'位置，使得平面DAC⊥平面 BAC(如图2). D' D B P 图1 图2 (1)求证：BC∥平面POD': (2)求二面角A-BC-D'的大小： ③)线段PD上是香存在点Q,使得c0与平面BCD所成角的正弦值为6？若存在，求 P PO 出PD 的值：若不存在，请说明理由 20.(本小题15分) 对任意正整数n,记集合A={(q,42,…,an)川a,a2,…,an均为非负整数，且 4+42+…+4n=川，集合Bn={(6,b2,…,b)川b,b2,…,bn均为非负整数，且 b+b2+…+bn=2m川.设C=(q,42,…,4)∈An，B=(亿，b2,…,bn)∈Bn,若对任意 i∈{1,2，…，n}都有4≤b,则记a<B. (1)写出集合A和B,: (2)证明：对任意∈An,存在B∈Bn,使得<B; (3)设集合Sn={(a,)川a∈An,B∈Bn,a<B},求证：Sn中的元素个数是完全平方数. 高二数学10月月考一4