第08讲 有余数的除法（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第08讲 有余数的除法 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 有余数的除法是指一个整数除以另一个不为0的整数，得到商后还有剩余的数。其中，被除数是要被平均分的总数，除数是每份的数量，商是平均分的份数，余数是平均分后剩余的数量。 关键要素：被除数÷除数=商……余数（余数<除数），被除数=除数×商+余数 2.基本方法 ① 竖式计算法：规范书写除法竖式，明确各部分名称及位置关系 ② 关系转化法：灵活运用"被除数=除数×商+余数"进行验算和公式变形 ③ 试商技巧：根据乘法口诀估算商的大小，确保余数小于除数 ④ 周期应用法：利用余数解决重复出现的周期问题 ⑤ 实际分配法：结合生活场景理解有余数除法的实际意义 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算问题（竖式计算与验算） 技巧：牢记竖式计算格式，商的数位要与被除数对齐，余数必须小于除数；验算时使用"除数×商+余数=被除数" 题型2：余数性质问题（判断余数合理性） 技巧：根据"余数<除数"判断计算是否正确；已知除数时，余数最大为除数-1，最小为1 题型3：周期规律问题（日期、排列等循环问题） 技巧：先确定周期长度，用总数除以周期长度，商表示完整周期数，余数表示剩余位置（余数为0表示最后一个位置） 题型4：实际分配问题（物品分配、分组问题） 技巧：结合生活实际，剩余物品即使不够分一组也要算作一个余数；需要全部装完时，容器数量=商+1（有余数时） 题型5：错中求解问题（看错除数或商的问题） 技巧：根据错误算式和余数性质，倒推正确的被除数或除数 三、常见错误提醒 1.余数大于或等于除数：计算时未掌握"余数必须比除数小"的规则 2.竖式书写错误：商的数位没有与被除数的相应数位对齐 3.公式混淆：误用"被除数=除数×（商+1）+余数"进行验算 4.周期计算错误：未正确确定周期起点和长度，导致余数对应位置错误 5.实际应用误区：在"至少需要多少容器"等问题中，忽略商+1的情况 例题讲解 一、基础计算问题 例题1：用竖式计算。 29÷3＝        44÷8＝        70÷9＝ 跟踪练习1：先说说商是几百多，再用竖式计算并验算。 284÷2＝    987÷3＝    605÷5＝    716÷3＝ 二、余数性质问题 例题2：□÷8=5……△，△最大是（ ），这时□是（ ）；△最小是（ ），这时□是（ ） 跟踪练习2：下列算式中，余数最大的是（ ） A.38÷5 B.47÷9 C.60÷7 D.29÷4 三、周期规律问题 例题3：有一串彩灯按"红、黄、蓝、绿"的顺序排列，第25盏灯是什么颜色？第38盏灯是什么颜色？ 跟踪练习3：2023年6月1日是星期四，那么2023年6月25日是星期几？ 四、实际分配问题 例题4：有38颗糖，平均分给5个小朋友，每个小朋友分几颗？还剩几颗？如果每个小朋友至少要分到同样多的糖，至少需要增加几颗糖？ 跟踪练习4：三年级（1）班有42名学生去划船，每条船限坐6人，至少需要租几条船？如果每条船租金7元，一共需要多少元？ 五、错中求解问题 例题5：小明在计算一道除法题时，把除数6看成了9，结果得到商5余2，正确的结果应该是多少？ 跟踪练习5：丁丁在计算一道三位数除以一位数的算式时，把被除数485错写成458，这样商比原来小3，而余数正好相同，这道算式正确的商是(    )，余数是(     )。 提升练习 1．填空： （1）□÷7=8……△，△最大是（ ），这时□是（ ） （2）○÷□=5……6，□最小是（ ），这时○是（ ） （3）（ ）÷9=6……5 （ ）÷（ ）=7……3（除数最小） 2．判断下列计算是否正确，错误的请改正： （1）49÷6=7……7 （ ）改正：_________ （2）36÷5=6……6 （ ）改正：_________ （3）50÷8=6……2 （ ）改正：_________ 3．有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1……第32个数是什么？这32个数的和是多少？ 4．三年级同学参加植树活动，有树苗67棵，每人种4棵，最多可以分给多少人？还剩几棵？如果要让所有人都种满4棵，还需要增加多少棵树苗？ 5．小红在计算除法时，把被除数45看成了54，结果得到的商是9，没有余数，正确的商和余数各是多少？ 6．学校门口插了一排彩旗，按"红、黄、蓝、绿、紫"的顺序排列，第43面是什么颜色？如果这排彩旗一共有58面，那么红色和紫色的彩旗各有多少面？ 7．有34个苹果，每盒装5个，至少需要多少个盒子才能全部装完？如果每个盒子售价3元，买这些盒子一共需要多少钱？ 8．在□里填上合适的数字： （1）□÷□=6……4（被除数最小） （2）29÷□=□……5 （3）□÷7=□……□（商和余数相同） 9．节日里，公园挂起彩灯，按"红、黄、蓝、绿、白、紫"的顺序挂，第53盏灯是什么颜色？这53盏灯中，红色和绿色的灯各有多少盏？ 10．有28个梨，每盘装5个，至少需要几个盘子？如果每盘售价9元，这些梨最多可以卖多少元？ 11．一个数除以7，商是最大的一位数，且有余数，这个数最大是多少？最小是多少？ 12．三（2）班有50名学生，按1-50编号，现在从中选一些学生参加活动，要求编号除以4余3的学生参加，那么参加活动的学生有多少人？他们的编号分别是什么？ 13．在一道有余数的除法算式中，被除数、除数、商和余数的和是59，已知商是7，余数是2，那么被除数和除数各是多少？ 14．有一堆棋子，按"三黑两白"的顺序排列（如图：●●●○○●●●○○……），第37个棋子是什么颜色？如果这堆棋子共有84个，那么黑色和白色棋子各有多少个？ 15．小明做一道除法题时，把被除数末尾的0漏写了，结果得到商是4，余数是3，如果正确的商是43，余数是1，那么正确的被除数和除数各是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第08讲 有余数的除法 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 有余数的除法是指一个整数除以另一个不为0的整数，得到商后还有剩余的数。其中，被除数是要被平均分的总数，除数是每份的数量，商是平均分的份数，余数是平均分后剩余的数量。 关键要素：被除数÷除数=商……余数（余数<除数），被除数=除数×商+余数 2.基本方法 ① 竖式计算法：规范书写除法竖式，明确各部分名称及位置关系 ② 关系转化法：灵活运用"被除数=除数×商+余数"进行验算和公式变形 ③ 试商技巧：根据乘法口诀估算商的大小，确保余数小于除数 ④ 周期应用法：利用余数解决重复出现的周期问题 ⑤ 实际分配法：结合生活场景理解有余数除法的实际意义 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算问题（竖式计算与验算） 技巧：牢记竖式计算格式，商的数位要与被除数对齐，余数必须小于除数；验算时使用"除数×商+余数=被除数" 题型2：余数性质问题（判断余数合理性） 技巧：根据"余数<除数"判断计算是否正确；已知除数时，余数最大为除数-1，最小为1 题型3：周期规律问题（日期、排列等循环问题） 技巧：先确定周期长度，用总数除以周期长度，商表示完整周期数，余数表示剩余位置（余数为0表示最后一个位置） 题型4：实际分配问题（物品分配、分组问题） 技巧：结合生活实际，剩余物品即使不够分一组也要算作一个余数；需要全部装完时，容器数量=商+1（有余数时） 题型5：错中求解问题（看错除数或商的问题） 技巧：根据错误算式和余数性质，倒推正确的被除数或除数 三、常见错误提醒 1.余数大于或等于除数：计算时未掌握"余数必须比除数小"的规则 2.竖式书写错误：商的数位没有与被除数的相应数位对齐 3.公式混淆：误用"被除数=除数×（商+1）+余数"进行验算 4.周期计算错误：未正确确定周期起点和长度，导致余数对应位置错误 5.实际应用误区：在"至少需要多少容器"等问题中，忽略商+1的情况 例题讲解 一、基础计算问题 例题1：用竖式计算。 29÷3＝        44÷8＝        70÷9＝ 【答案】9……2；5……4；7……7 【分析】除法用竖式计算时，从最高位开始除起，若除不了，就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。若有余数，则余数一定比除数小。 【详解】29÷3＝9……2 44÷8＝5……4 70÷9＝7……7                           跟踪练习1：先说说商是几百多，再用竖式计算并验算。 284÷2＝    987÷3＝    605÷5＝    716÷3＝ 【答案】商是一百多；142；商是三百多；329； 商是一百多；121；商是二百多；2382 【分析】根据题意，先看被除数的首位，被除数的首位是除数的几倍，或者几倍还有多余的数，商就是几百多；除数是一位数的除法计算时，从被除数的最高位除起，每次先用除数试除被除数的前一位数，如果它比除数小，再试除前两位数。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。每求出一位商，余下的数必须比除数小。 除法验算方法是除数乘商看是否等于被除数。 有余数的除法验算方法是除数乘商加余数看是否等于被除数。 【详解】284÷2＝142（商是一百多）     987÷3＝329（商是三百多） 验算：       验算： 605÷5＝121（商是一百多）       716÷3＝2382（商是二百多）                                                 验算：      验算： 二、余数性质问题 例题2：□÷8=5……△，△最大是（ ），这时□是（ ）；△最小是（ ），这时□是（ ） 答案：△最大是7，这时□是47；△最小是1，这时□是41 解析：因为余数<除数，所以△<8，最大为7，最小为1。当△=7时，□=8×5+7=47；当△=1时，□=8×5+1=41 跟踪练习2：下列算式中，余数最大的是（ ） A.38÷5 B.47÷9 C.60÷7 D.29÷4 答案：B 解析：A.38÷5=7……3（余数3）；B.47÷9=5……2（余数2）；C.60÷7=8……4（余数4）；D.29÷4=7……1（余数1），所以余数最大的是C 三、周期规律问题 例题3：有一串彩灯按"红、黄、蓝、绿"的顺序排列，第25盏灯是什么颜色？第38盏灯是什么颜色？ 答案：第25盏是红色，第38盏是蓝色 解析：彩灯周期为4（红、黄、蓝、绿） 25÷4=6（组）……1（盏），余数1对应第一盏灯红色 38÷4=9（组）……2（盏），余数2对应第二盏灯黄色 跟踪练习3：2023年6月1日是星期四，那么2023年6月25日是星期几？ 答案：星期日 解析：从6月1日到6月25日共24天，周期为7（星期四、五、六、日、一、二、三） 24÷7=3（周）……3（天），余数3对应周期中的第三天，即星期日 四、实际分配问题 例题4：有38颗糖，平均分给5个小朋友，每个小朋友分几颗？还剩几颗？如果每个小朋友至少要分到同样多的糖，至少需要增加几颗糖？ 答案：每个小朋友分7颗，剩3颗；至少需要增加2颗 解析：38÷5=7（颗）……3（颗），余数3表示剩下3颗 因为5-3=2（颗），所以至少增加2颗糖就能再分给每个小朋友1颗 跟踪练习4：三年级（1）班有42名学生去划船，每条船限坐6人，至少需要租几条船？如果每条船租金7元，一共需要多少元？ 答案：至少需要租7条船，一共需要49元 解析：42÷6=7（条），没有余数，刚好需要7条船 7×7=49（元），所以一共需要49元 五、错中求解问题 例题5：小明在计算一道除法题时，把除数6看成了9，结果得到商5余2，正确的结果应该是多少？ 答案：正确结果是商7余5 解析：先求正确的被除数：9×5+2=47 再计算正确结果：47÷6=7……5 跟踪练习5：丁丁在计算一道三位数除以一位数的算式时，把被除数485错写成458，这样商比原来小3，而余数正好相同，这道算式正确的商是(    )，余数是(     )。 答案：53 8 提升练习 1．填空： （1）□÷7=8……△，△最大是（ ），这时□是（ ） （2）○÷□=5……6，□最小是（ ），这时○是（ ） （3）（ ）÷9=6……5 （ ）÷（ ）=7……3（除数最小） 【答案】（1）6，62；（2）7，41；（3）59，31，4 【解析】（1）余数最大为7-1=6，被除数=7×8+6=62 （2）除数最小为6+1=7，被除数=7×5+6=41 （3）被除数=9×6+5=59；除数最小为4，被除数=4×7+3=31 2．判断下列计算是否正确，错误的请改正： （1）49÷6=7……7 （ ）改正：_________ （2）36÷5=6……6 （ ）改正：_________ （3）50÷8=6……2 （ ）改正：_________ 【答案】（1）×，49÷6=8……1；（2）×，36÷5=7……1；（3）√ 【解析】（1）余数7比除数6大，商小了，应为8余1 （2）余数6比除数5大，商小了，应为7余1 （3）8×6+2=50，计算正确 3．有一列数：2，3，1，2，3，1，2，3，1……第32个数是什么？这32个数的和是多少？ 【答案】第32个数是2，这32个数的和是63 【解析】周期是3（2，3，1），32÷3=10……2 第32个数是周期中的第2个数：3 一个周期的和：2+3+1=6，10个周期的和：6×10=60 剩余2个数的和：2+3=5，总和：60+5=65 4．三年级同学参加植树活动，有树苗67棵，每人种4棵，最多可以分给多少人？还剩几棵？如果要让所有人都种满4棵，还需要增加多少棵树苗？ 【答案】最多可以分给16人，剩3棵；还需要增加1棵 【解析】67÷4=16（人）……3（棵） 还需要增加：4-3=1（棵） 5．小红在计算除法时，把被除数45看成了54，结果得到的商是9，没有余数，正确的商和余数各是多少？ 【答案】正确的商是8，余数是1 【解析】先求除数：54÷9=6 再算正确结果：45÷6=7……3 6．学校门口插了一排彩旗，按"红、黄、蓝、绿、紫"的顺序排列，第43面是什么颜色？如果这排彩旗一共有58面，那么红色和紫色的彩旗各有多少面？ 【答案】第43面是蓝色；红色有12面，紫色有11面 【解析】周期是5，43÷5=8……3，第43面是蓝色 58÷5=11……3，红色彩旗：11+1=12（面） 紫色彩旗：11面（最后3面是红、黄、蓝，没有紫色） 7．有34个苹果，每盒装5个，至少需要多少个盒子才能全部装完？如果每个盒子售价3元，买这些盒子一共需要多少钱？ 【答案】至少需要7个盒子，一共需要21元 【解析】34÷5=6（盒）……4（个），6+1=7（盒） 7×3=21（元） 8．在□里填上合适的数字： （1）□÷□=6……4（被除数最小） （2）29÷□=□……5 （3）□÷7=□……□（商和余数相同） 【答案】（1）34，5；（2）8，3（或12，2或24，1）；（3）48，6，6（或40，5，5等） 【解析】（1）除数最小为5，被除数=5×6+4=34 （2）除数×商=29-5=24，除数>5，可能是8×3=24，12×2=24，24×1=24 （3）商=余数，设为x，被除数=7x+x=8x，x<7，最大x=6时被除数=48 9．节日里，公园挂起彩灯，按"红、黄、蓝、绿、白、紫"的顺序挂，第53盏灯是什么颜色？这53盏灯中，红色和绿色的灯各有多少盏？ 【答案】第53盏是绿色；红色有9盏，绿色有9盏 【解析】周期是6，53÷6=8……5，第53盏是绿色 红色：8+1=9（盏），绿色：8+1=9（盏）（第5盏是绿色，所以绿色也有9盏） 10．有28个梨，每盘装5个，至少需要几个盘子？如果每盘售价9元，这些梨最多可以卖多少元？ 【答案】至少需要6个盘子；最多可以卖45元 【解析】28÷5=5（盘）……3（个），5+1=6（个）盘子 能装满5盘，5×9=45（元） 11．一个数除以7，商是最大的一位数，且有余数，这个数最大是多少？最小是多少？ 【答案】这个数最大是69，最小是64 【解析】最大的一位数是9，余数最大为6，最小为1 最大数：7×9+6=69，最小数：7×9+1=64 12．三（2）班有50名学生，按1-50编号，现在从中选一些学生参加活动，要求编号除以4余3的学生参加，那么参加活动的学生有多少人？他们的编号分别是什么？ 【答案】参加活动的学生有13人，编号是3，7，11，…47，51（但51超过50，所以到47） 【解析】第一个符合条件的编号是3，之后每个加4 最后一个不超过50的编号：3+4×11=47 共有12+1=13（人） 13．在一道有余数的除法算式中，被除数、除数、商和余数的和是59，已知商是7，余数是2，那么被除数和除数各是多少？ 【答案】被除数是44，除数是6 【解析】设除数为x，则被除数=7x+2 根据题意：7x+2+x+7+2=59，8x+11=59，8x=48，x=6 被除数=7×6+2=44 14．有一堆棋子，按"三黑两白"的顺序排列（如图：●●●○○●●●○○……），第37个棋子是什么颜色？如果这堆棋子共有84个，那么黑色和白色棋子各有多少个？ 【答案】第37个是黑色；黑色棋子有51个，白色棋子有33个 【解析】周期是5，37÷5=7……2，第37个是黑色 84÷5=16……4，黑色棋子：16×3+3=51（个） 白色棋子：16×2+1=33（个） 15．小明做一道除法题时，把被除数末尾的0漏写了，结果得到商是4，余数是3，如果正确的商是43，余数是1，那么正确的被除数和除数各是多少？ 【答案】正确的被除数是431，除数是10 1 学科网（北京）股份有限公司 $