第05讲 算式之迷（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三年级奥数培优讲义：第05讲算式之迷 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 算式之迷是指在算式中缺少一些数字或运算符号，需要根据算式的运算规律和特点，通过分 析、推理来填补空缺，使算式成立的数学问题。 关键要素：完整算式的结构特点、运算规则（加、减、乘、除）、数字特征（进位、退 位)、推理方法。 2.基本方法 ①首位分析法：根据算式首位数字不能为0的特点进行分析 ②末位分析法：从算式的最后一位数字入手分析 ③进位分析法：考虑加法中的进位和减法中的退位 ④排除法：根据已知数字排除不可能的选项 ⑤尝试法：对可能的数字进行试填，验证是否符合条件 二、核心题型与技巧 题型1：加法竖式谜 技巧：从个位加起，注意进位（标记“+1”）：数位数字和（加进位）=结果对应数位数字， 和≥10则进位。 题型2：减法竖式谜 技巧：从个位减起，注意退位（标记“·”）；被减数数位数字（减退位）-减数对应数位数 字=结果数字，不够减则借位（借1当10）。 题型3：乘法竖式谜 技巧：从个位乘起，乘数每一位与被乘数相乘，末位对齐：注意进位（如9×9进位8），相 乘后加进位：首位已知时估算范围（如口3×4=1口2，口=3或4，试算得33×4=132）。 题型4：除法竖式迷 技巧：从最高位除起，商×除数≤被除数对应部分，余数<除数：商已知时用“商×除数=被 除数”反推（如1☐8÷3=☐6,3×46=138，被除数138）。 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、常见错误提醒 1.进位遗漏：忘记加法中的进位或减法中的退位 2.数字重复：在同一算式中，相同字母或图形填了不同数字 3.首位为0：将0填在数的最高位 4.符号混淆：混淆不同运算符号的意义和运算规则 5.盲目尝试：没有先分析就随意填数字，浪费时间 例题讲解 题型1：加法竖式谜 例题1：下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少？ 14 9 跟踪练习1：在如图所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么 这个算式的计算结果可能是多少？ 题型2：减法竖式迷 例题2：在图算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式，那么所填 的7个数字之和最大可能是多少？ 3862 2 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 跟踪练习2：图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字.问：这6个方框中的数 字的连乘积等于多少？ 894 题型3：乘法竖式谜 例题3：把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式 都成立.现有3个数字的位置己确定，请你填上其他数字. ▣7 ×口 6☐ ÷0▣ 口3 跟踪练习3：在下面这个乘法竖式中，每个字母表示一个数字.那么当竖式成立 时，AXBXC=· AB ×C3 □口口 ▣□□ 2013 3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型4：除法竖式谜 例题4：在下面的方框里填上合适的数字. 8 3 6 0 跟踪练习4：在方格中填数字， 使算式成立. 8▣▣▣ 口▣▣▣▣▣ 口口 口 口 口 0 0 提升练习 1.如图所示的乘法竖式中，给出了2、0、1、9、1、3这六个数字。请在方框中填上适当的 数字，使竖式成立。 4 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 00O 090 11☐ 0003 200 0000O 温蓉小提示：第一部分：口口口×口=11口，只能是11口×1=11口 2.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立。那么乘积是( )。 000 07 010 20☐ 0000 3.在下面的竖式中，两个乘数的和是 6□□ ×口口口 □口■ 口□□□ ☐5□5 ☐□5☐4☐ 5 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.每年的8月1日是中国人民解放军建军纪念日，因此也叫“八一建军节。为了纪念这个节 日，老师编写了一道竖式谜，请你将下面的竖式填写完整。（只需将空格填写完整） 5.口里应填几才能使算式成立。 37. 口0/口口口▣ ▣0口 ▣▣▣ 399 0 6.下面的竖式中，图形分别代表哪一个数字？ ○△ +▣○△ 777 ▣=( O=( △=( ) 6 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.在如图中的“口”里填上适当的数字，使算式完整. 5 77 8.在 中填上适当的数字，使算式成立. 7 4 2 9.在下面乘法算式的空格内，各填上一个适当的数字，使算式成立. 7 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 x I 2 5 13 0 477 10.在口里填上合适的数. □93 32☐7 52☐ +□25☐ 5044 3 8 三年级奥数培优讲义：第05讲 算式之迷 知识点梳理 一、核心概念与方法 1. 基本概念 算式之迷是指在算式中缺少一些数字或运算符号，需要根据算式的运算规律和特点，通过分析、推理来填补空缺，使算式成立的数学问题。 关键要素：完整算式的结构特点、运算规则（加、减、乘、除）、数字特征（进位、退位）、推理方法。 2. 基本方法 ① 首位分析法：根据算式首位数字不能为0的特点进行分析 ② 末位分析法：从算式的最后一位数字入手分析 ③ 进位分析法：考虑加法中的进位和减法中的退位 ④ 排除法：根据已知数字排除不可能的选项 ⑤ 尝试法：对可能的数字进行试填，验证是否符合条件 二、核心题型与技巧 题型1：加法竖式谜 技巧：从个位加起，注意进位（标记“+1”）；数位数字和（加进位）=结果对应数位数字，和≥10则进位。 题型2：减法竖式谜 技巧：从个位减起，注意退位（标记“·”）；被减数数位数字（减退位）-减数对应数位数字=结果数字，不够减则借位（借1当10）。 题型3：乘法竖式谜 技巧：从个位乘起，乘数每一位与被乘数相乘，末位对齐；注意进位（如9×9进位8），相乘后加进位；首位已知时估算范围（如□3×4=1□2，□=3或4，试算得33×4=132）。 题型4：除法竖式谜 技巧：从最高位除起，商×除数≤被除数对应部分，余数＜除数；商已知时用“商×除数=被除数”反推（如1□8÷3=□6，3×46=138，被除数138）。 三、常见错误提醒 1.进位遗漏：忘记加法中的进位或减法中的退位 2.数字重复：在同一算式中，相同字母或图形填了不同数字 3.首位为0：将0填在数的最高位 4.符号混淆：混淆不同运算符号的意义和运算规则 5.盲目尝试：没有先分析就随意填数字，浪费时间 例题讲解 题型1：加法竖式谜 例题1：下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少？ 【答案】23 【分析】149的个位数是9，说明两个个位数字相加没有进位，因此，9是两个个位数字的和，14是两个十位数字的和，据此可以计算出四个数字之和是多少。 【详解】9＝两个个位数字相加的和，14＝两个十位数字相加的和，所以，四个数字的总和是14＋9＝23。 答：被盖住的四个数字的总和是23。 【点睛】本题考查应用两位数加两位数的计算法则解决问题。 跟踪练习1：在如图所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少? 【答案】计算结果可能为1965，1975，1985，1995． 【详解】由题意知，三个加数的百位可能为6，6，6或6，6，7；而和的个位数字为5，那么三个加数的个位数字和可能为5，15，25，对应有1，2，2或5，5，5或8，8，9；要求三个加数的各个数位的数只能是两个连续自然数中的某个，所以这两个连续自然数只能是6，5，那么百位数字为6，6，6，则个位数字为5，5，5，所以十位数字可能为5，5，5或5，5，6或5，6，6或6，6，6． 对应和为： ，，，． 即计算结果可能为1965，1975，1985，1995． 题型2：减法竖式谜 例题2：在图算式的各个方格内分别填入适当的数字，使其成为一个正确的等式，那么所填的7个数字之和最大可能是多少? 【答案】51 【详解】显然被减数的首位数字只能是4或3，但是我们知道： 当差大于5时，借位，被减数与减数的数字的和最大值更大；当差小于5时，不借位，被减数与减数的数字的和最大值更大； 所以百位有借位，十位有借位，个位没有借位； 所以被减数的千位只能为4，有被减数的百位数字减1再加上10后减去减数的百位数字为8，对应两个百位数字最大为8，9； 那么被减数的十位数字加上10后减去减数的十位数字为6，对应两个十位数字最大为5，9； 那么被减数的个位数字减去减数的个位数字为2，对应两个个位数字最大为9，7； 即为4859－997＝3862，所以这7个数的最大可能值为4+8+9+5+9+9+7＝51． 跟踪练习2：图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的连乘积等于多少? 【答案】0 【详解】显然被减数，减数的百位数字只能是9和1，那么它们的十位数字只能为9和0，它们的个位数字可以为9和5，8和4，7和3，6和2，5和1，4和0． 因为这6个数字中含有0，所以这6个数字连乘的积为0． 题型3：乘法竖式谜 例题3：把1至9这9个不同的数字分别填在图7-1的各个方格内，可使加法和乘法两个算式都成立．现有3个数字的位置已确定，请你填上其他数字． 【答案】 【详解】我们先看乘法竖式，只有17×4，67×1的积为6□，但是数字不能重复，而6已经出现，所以只能是17×4，有如下算式： ， 那么加法竖式中，加数的个位只能是5，不然最终结果的个位就不是3了，此时还剩下2，9这两个数字，如是只能是如下的填法： ． 跟踪练习3：在下面这个乘法竖式中，每个字母表示一个数字．那么当竖式成立时，A×B×C= ． 【答案】18 【详解】试题分析：末尾分析，易知B=1，百位到千位一定发生进位，而第一行最左边的框只能是1或者2，故第二行中间的框为9或8．如果第二行中间框为9，显然不成立（因为不会有两个数的乘积是19），故第二行中间框为8．从而得知18=2×9，或者18=3×6．经验证可知，18=3×6符合条件．此时A=6，B=1，C=3，A×B×C=18． 解答：解：根据题干分析可得： 所以A=6，B=1，C=3， 所以A×B×C=6×1×3=18． 故答案为18． 点评：本题考查学生的乘法的计算熟练程度，能激起学生学习的兴趣，是个好题． 题型4：除法竖式谜 例题4：在下面的方框里填上合适的数字． 【答案】 【详解】这是一道可以整除的算式．由于整除，可知： 即L=6，被除数的前三位是8ef，除以7cd，商只能是1，所以a=1，那么d=3，h=7，j=8-7=1．第一余数jkLm除以7c3，商只能为2，那么b=2．g=m=q=b×d=2×3=6，b×c=6，则c=3．除数为733，商为12，f=L+3=6+3=9，i=c=3,k=4，e=i+k=3+4=7． 跟踪练习4：在方格中填数字， 使算式成立． 【答案】（答案不唯一） 【解析】略 提升练习 1．如图所示的乘法竖式中，给出了2、0、1、9、1、3这六个数字。请在方框中填上适当的数字，使竖式成立。 【答案】见详解 【分析】将竖式分成四部分计算：□□□×□＝11□，□□□×9＝□□□3，□□□×□＝2□□，最后把前三部分的结果合并起来。 第一部分：□□□×□＝11□，只能是11□×1＝11□； 第二部分：11□×9＝□□□3，只能是117×9＝1053；且第一部分只能是117×1＝117； 第三部分：117×□＝2□□，只能是117×2＝234； 第四部分： 117＋10530＋23400 ＝10647＋23400 ＝34047 【详解】根据分析可知： 2．请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立。那么乘积是（    ）。 【答案】 2754 【分析】在三位数乘两位数的乘法竖式中，可以把计算过程分成三个部分：第二个因数的个位乘第一个因数，第二个因数的十位乘第一个数，再把两次乘积相加。 第一部分：□□□×7＝□1□，乘积为三位数，说明第一个因数的百位一定为1； 第二部分：1□□×□＝20□，百位是1×□＝2，说明第二个因数的十位一定是2； 再代入第一部分10□×7＝□1□，积的十位是1，因为2×7＝14，所以只能是102×7＝814； 因此第一个因数是102，第二个因数是27，计算出两个因数的积即可。 【详解】102×27＝2754 所以，乘积是2754。 3．在下面的竖式中，两个乘数的和是 。 【答案】1366 【分析】乘法竖式数字谜经常要通过结果中某一位上的数字来判断这一步乘法计算某一位上的因数数字，要熟练应用乘法口诀。此外，还可以通过比较第一个因数的位数与每一步结果的位数来确定第二个因数每一位数字的大小。两个数字相乘，最大进位为8。 根据三位数乘三位数的算理，第一步是上面的数乘下面数的个位得出的是一个三位数，如果是“0”就不存在这个三位数，如果是2，就是一个四位数，下面的三位数个位应该是“1”，此时对应的乘积的第一位（也就是第三行）是6。 第三步上面的三位数乘下面的第一位，由于乘积的末尾是5，则若下面的第一位是5，当个位是9，十位也是9的情况下，也无法进位是5，则上面的三位数的最后一位是5，通过尝试下面的乘数是最高位只能是7。 最后再通过三位数乘三位数的尝试，得出是645×721符合竖式的要求。再算出两个乘数的和。 【详解】 645＋721＝1366 4．每年的8月1日是中国人民解放军建军纪念日，因此也叫“八一建军节。为了纪念这个节日，老师编写了一道竖式谜，请你将下面的竖式填写完整。（只需将空格填写完整） 【答案】见详解 【分析】解除法竖式数字谜的关键是：每一步的除数数字与商数字的乘法运算；每一步的相乘结果与被除数的减法运算。前者与乘法竖式数字谜类似，可根据位数和尾数来判断；后者可利用减法竖式数字谜的相关规律，并结合余数的特征来判断。要注意的是：除法算式中，除数一定大于余数。 【详解】 根据上面的分析后得出，12□×8＋1＝9□3，则12□×8＝9□2，根据乘法的算理，在8的乘法口诀里面，只有和4、9相乘的乘积末尾最后一个数字是2，则124×8＝992（符合），129×8＝1032（不符合）。 5．□里应填几才能使算式成立。 【答案】见详解 【分析】399除以7得到除数是57，知道了除数和商，除数乘商得到被除数。 【详解】 6．下面的竖式中，图形分别代表哪一个数字？ □＝( )  ○＝( )   △＝( ) 【答案】 2 5 9 【分析】从△入手，没有3个△加起来等于7的，也没有17的，那么只能是27，所以△肯定是9；因为后面进位了2，那么3个○加起来等于5，（不行），只能是15，所以○肯定是5，那么□就是2。 【详解】有分析可知， 故答案为：2；5；9； 【点睛】本题考查了竖式字谜，根据给出的条件，仔细分析即可解答。 7．在如图中的“□”里填上适当的数字，使算式完整． 【答案】根据题干分析可得： 【详解】由于积的十位是7，则可得第一次乘得的积是2□75；因为最后的乘积的最高位是4，所以上面因数的最高位最大是3，又因为第一次乘得的积的最高位是 2，且积的末尾是5，则下面因数的个位上最小是7．假设下面因数的个位就是7，则上面因数的百位是3，由第一次乘得的积是2□75可得上面因数的十位是 2；325×7=2275，符合题意；则第三次乘得的积就是325，那么看最后乘积的百位上是7，7﹣2﹣5=0，那么第二次乘得的积就是1300，因为1300÷325=4，所以下面因数的十位上是4，即325×147=48775，据此即可解答． 8．在 中填上适当的数字，使算式成立． 【答案】 【详解】由于被除数的个位数字是4，余数是2，可以推出除数与商的乘积的个位数字是2，只有6和7相乘积的个位数字是2．因此确定除数个位数字是6，从而得出结论． 9．在下面乘法算式的空格内，各填上一个适当的数字，使算式成立． 【答案】 【分析】在这个乘法算式中，关键是把乘数和被乘数中的空格先填出来，其他的空格根据乘法的计算法则就可以填出来了． 【详解】为了分析时叙述方便，我们设被乘数是ab5，乘数是1cd（ab5表示百位数字是a，十位数字是b，个位数字是5的三位数），原式变为如下的算式： 由乘法竖式可以看出，第一部分积2□□5=2□75，由于它的个位数字是5，所以d只能取奇数，但不能是1（是1的话，第一部分积就该是ab5了），即d可能是3、5、7、9，由第二部分乘积13□0的个位数字是0可知c只能取偶数，即C可能是2、4、6、8． 由于乘积的最高位数字是4，所以第三部分积□□□的最高位数字只能是2或3，也就是说，a=2或a=3． （1）如果a=2，那么第一部分积的算式变为□75，由这个算式可推得d=9，6=7，即275×9＝2475，这时求第二部分积的算式为275×c=13□0，经试验可知，无论c取任何数值这个等式都不能成立，这说明a不能取2． （2）如果a＝3，那么求第一部分积的算式变为×d=2□75，由这个算式可推得d=7，b=2，即325×7=2275，这时求第二部分积中的算式变为325×c=13□0，经试验可知c=4，即325×4=1300．因此得被乘数ab5=325，乘数1cd=147，这样其余的空格根据竖式乘法法则就很容易填出来了． 10．在□里填上合适的数． 【答案】 【详解】试题分析：（1）三个数相加，先从个位计算，可推知：3+7+4=14，向十位进1，9+1+5+9=24，向百位进2，2+2+2+4=10，再向千位进1，3+1+1=5，进而得出：493+3297+1254=5044； （2）由竖式可知5×□+3=2□，可推知商可以是4或5，即：4×5+3=23，5×5+3=28；也就是有两种填法，由此得解． 解答：解：（1）有以上分析得如下算式： （2）有两种填法如下： 点评：解答此类型的题目，要学会运用倒退的方法，一步步倒退出结果． 1 学科网（北京）股份有限公司 $