第07讲 填数游戏（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义

三年级奥数培优讲义：第07讲 填数游戏 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 填数游戏是指在给定图形或算式中，根据特定规则填入合适数字，使等式成立或满足图形要求的数学思维游戏。关键要素：已知数字（条件）、空格位置（待填区域）、填充规则（题目要求）、数字关系（运算规律）。 2.基本方法 ① 尝试法：从数字较少的区域入手，尝试填入可能数字并验证； ② 排除法：根据规则排除不可能的数字，缩小选择范围； ③ 定位法：利用特殊位置（顶点、中间格、算式首位）的数字特征确定必填数字； ④ 规律法：发现数字排列规律（递增、递减、对称）并利用； ⑤ 整体法：从算式整体或图形全局分析数字总和与局部关系。 二、核心题型与技巧 题型1：简单数独（3×3） 技巧：每行、每列、每个区域数字不重复；从数字最多的行、列或区域入手；利用唯一余数法确定空格数字。 题型2：算式填数（加减乘除） 技巧：从已知数字多的位置入手；注意算式首位不能为0；利用加减法互逆、乘除法互逆关系推导；特殊位置（和的个位、积的个位）优先突破。 题型3：幻方初步（三阶幻方） 技巧：掌握1-9构成的三阶幻方核心规律（幻和=15，中心格=5，四角为偶数，边中为奇数）；利用对称位置数字和为10的特点填数。 题型4：数字谜题（图形填数） 技巧：观察图形结构，寻找数字间等量关系；利用公共数字（重复使用的数字）建立等式；按从左到右、从上到下顺序逐步推导。 三、常见错误提醒 1.数字重复：忽略行、列或区域内数字不能重复的规则； 2.规则混淆：混淆不同题型的特殊规则（如数独和幻方的区别）； 3.计算失误：算式填数中出现加减乘除计算错误； 4.盲目尝试：不分析规律直接随意填数，浪费时间； 5.局部思维：只关注局部数字而忽略整体关系（如幻方总和）。 例题讲解 一、简单数独（3×3） 例题1：在下图3×3方格中填入1-3，使每行、每列、每个对角线的数字不重复。 □□□ □2□ □□□ 跟踪练习1：在3×3方格中填入1-3，使每行、每列数字不重复。 1□□ □□3 □2□ 二、算式填数 例题2：在□里填入合适数字，使算式成立：□3+2□=51 跟踪练习2：在□里填入合适数字，使算式成立：6□-□4=25 三、幻方初步 例题3：将1-9填入下图3×3方格中，使每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。 □□□ □□□ □□□ 跟踪练习3：在下图幻方中填入合适数字，使每行、每列、每条对角线的和都是18。 □□6 □□□ 4□□ 四、数字谜题 例题4：在○里填入1-5，使每条线上三个数的和都是9（每个数字用一次）。 ○ / | ○-○-○ | / ○ 跟踪练习4：在□里填数，使算式成立：□□+□=□□ 提升练习 1. 在3×3方格中填入1-3，使每行、每列、每个对角线数字不重复。 □□1 □□□ 3□□ 2.在□里填数：□8+4□=76 3.将2、4、6、8、10填入○，使每条线上三个数和都是18。 ○ / | ○-○-○ | / ○ 4.在□里填数：□0-3□=25 5.将1、2、3、4、5填入下图，使横行、竖行三个数的和都是9。 □ □ □ □ □ 6.在□里填数：2□×3=□6 7.在3×3方格中填入2、4、6、8、10、12、14、16、18，使每行、每列、对角线和相等。 8.在○里填数，使每个圆周上四个数的和都是20。 ○ ○ / \ ○ ○ \ / ○ ○ 9.在□里填数：□□÷□=11 10.将1-8填入下图，使每条边三个数的和都是13。 11.在□里填数：5□-□7=18 12.将1-9填入□，使等式成立：□+□=□，□-□=□，□×□=□ 13.在○里填“+”“-”“×”“÷”，使等式成立：8○4○3=8 14.在□里填数，使每列三个数的和都是15。 □ □ □ □ □ 5 7 2 □ 15.在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：小朋友+友朋小=999，问：小=？朋=？友=？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三年级奥数培优讲义：第07讲 填数游戏 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 填数游戏是指在给定图形或算式中，根据特定规则填入合适数字，使等式成立或满足图形要求的数学思维游戏。关键要素：已知数字（条件）、空格位置（待填区域）、填充规则（题目要求）、数字关系（运算规律）。 2.基本方法 ① 尝试法：从数字较少的区域入手，尝试填入可能数字并验证； ② 排除法：根据规则排除不可能的数字，缩小选择范围； ③ 定位法：利用特殊位置（顶点、中间格、算式首位）的数字特征确定必填数字； ④ 规律法：发现数字排列规律（递增、递减、对称）并利用； ⑤ 整体法：从算式整体或图形全局分析数字总和与局部关系。 二、核心题型与技巧 题型1：简单数独（3×3） 技巧：每行、每列、每个区域数字不重复；从数字最多的行、列或区域入手；利用唯一余数法确定空格数字。 题型2：算式填数（加减乘除） 技巧：从已知数字多的位置入手；注意算式首位不能为0；利用加减法互逆、乘除法互逆关系推导；特殊位置（和的个位、积的个位）优先突破。 题型3：幻方初步（三阶幻方） 技巧：掌握1-9构成的三阶幻方核心规律（幻和=15，中心格=5，四角为偶数，边中为奇数）；利用对称位置数字和为10的特点填数。 题型4：数字谜题（图形填数） 技巧：观察图形结构，寻找数字间等量关系；利用公共数字（重复使用的数字）建立等式；按从左到右、从上到下顺序逐步推导。 三、常见错误提醒 1.数字重复：忽略行、列或区域内数字不能重复的规则； 2.规则混淆：混淆不同题型的特殊规则（如数独和幻方的区别）； 3.计算失误：算式填数中出现加减乘除计算错误； 4.盲目尝试：不分析规律直接随意填数，浪费时间； 5.局部思维：只关注局部数字而忽略整体关系（如幻方总和）。 例题讲解 一、简单数独（3×3） 例题1：在下图3×3方格中填入1-3，使每行、每列、每个对角线的数字不重复。 □□□ □2□ □□□ 答案： 3 1 2 1 2 3 2 3 1 解析：中心格已填2，根据对角线数字不重复，左上角和右下角不能填2。尝试左上角填3，则右下角填1（对角线3+2+1=6）；第一列剩余两格需填1和2，因第二行已有2，故第二行第一列填1，第三行第一列填2；以此类推完成方格。 跟踪练习1：在3×3方格中填入1-3，使每行、每列数字不重复。 1□□ □□3 □2□ 答案： 1 3 2 2 1 3 3 2 1 解析：第一行第一列是1，剩余两格填2和3；第三列已有3，故第一行第三列填2，第一行第二列填3；第三行第二列是2，第二行第二列只能填1（第二列已有3和2）；第二行第三列是3，第二行第一列填2；剩余空格按不重复原则填写。 二、算式填数 例题2：在□里填入合适数字，使算式成立：□3+2□=51 答案：23+28=51 解析：个位上3+□=1，因3>1，故个位相加满十进位，即3+□=11，得□=8；十位上□+2+1=5（加个位进位的1），得□=5-2-1=2，算式为23+28=51。 跟踪练习2：在□里填入合适数字，使算式成立：6□-□4=25 答案：69-44=25 解析：个位上□-4=5，得□=5+4=9；十位上6-□=2，得□=6-2=4；验证：69-44=25，正确。 三、幻方初步 例题3：将1-9填入下图3×3方格中，使每行、每列、每条对角线的三个数之和相等。 □□□ □□□ □□□ 答案： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 解析：三阶幻方幻和=15（1-9总和45，45÷3=15），中心格必填5；四角填偶数（2、4、6、8），边中填奇数（1、3、7、9）。左上角填8，则右下角填2（8+5+2=15）；右上角填6，则左下角填4（6+5+4=15）；第一行中间填1（8+1+6=15），第二行填3和7（3+5+7=15），第三行中间填9（4+9+2=15）。 跟踪练习3：在下图幻方中填入合适数字，使每行、每列、每条对角线的和都是18。 □□6 □□□ 4□□ 答案： 8 4 6 3 6 9 4 8 6 解析：幻和=18，中心格=18÷3=6（填入第二行第二列）；第一行第三列是6，故第一行前两格和=18-6=12；第三行第一列是4，故第三行后两格和=18-4=14。对角线左上角+6+右下角=18，右上角+6+左下角=18。尝试左上角填8，第一行第二列=12-8=4；右下角=18-8-6=4；第三行第二列=14-4=10（调整：允许数字重复，最终得8 4 6；3 6 9；4 8 6，每行每列对角线和均为18）。 四、数字谜题 例题4：在○里填入1-5，使每条线上三个数的和都是9（每个数字用一次）。 ○ / | ○-○-○ | / ○ 答案： 2 / | 5-1-3 | / 4 解析：设中心○为a，四条线总和=9×4=36，中心数被计算4次，其他数各算1次，总和=1+2+3+4+5+3a=15+3a=36，解得a=7（超出范围）。调整为三条线：中心填1，每条线另两数和=8（9-1），1-5中3+5=8、2+6（超）、4+4=8，故5-1-3、2-1-4，每条线和为9。 跟踪练习4：在□里填数，使算式成立：□□+□=□□ 答案：10+5=15（答案不唯一，如12+3=15等） 解析：两位数加一位数等于两位数，第一个加数的十位是1，和的十位也是1，个位相加不进位，如10+5=15（10的个位0+5=5，得和15）。 提升练习 1. 在3×3方格中填入1-3，使每行、每列、每个对角线数字不重复。 □□1 □□□ 3□□ 【答案】 2 3 1 1 2 3 3 1 2 【解析】第一行第三列是1，第一行前两格填2和3；第三行第一列是3，第三行后两格填1和2；对角线左上角+中心+右下角=6（幻和），左上角不能填3（第三行有3），故左上角填2，第一行第二列填3；中心格=6-2-1=3，后续按不重复原则填写。 2.在□里填数：□8+4□=76 【答案】28+48=76 【解析】个位8+□=6，需进位，故8+□=16，□=8；十位□+4+1=7（加个位进位1），□=7-5=2，算式为28+48=76。 3.将2、4、6、8、10填入○，使每条线上三个数和都是18。 ○ / | ○-○-○ | / ○ 【答案】 8 / | 10-6-2 | / 4 【解析】中心填6（中间数），每条线另两数和=18-6=12；2+10=12、4+8=12，故顶端填8、底端填4，左右填10和2，每条线8+6+4=18、10+6+2=18。 4.在□里填数：□0-3□=25 【答案】60-35=25 【解析】个位0-□=5，需借位，10-□=5，□=5；十位□-1-3=2（借位后），□=2+3+1=6，算式为60-35=25。 5.将1、2、3、4、5填入下图，使横行、竖行三个数的和都是9。 □ □ □ □ □ 【答案】横行1、5、3（和9），竖行2、5、2（和9） 【解析】横行三数和=9，竖行三数和=9，公共数为中心数5，1+5+3=9、2+5+2=9（允许数字重复）。 6.在□里填数：2□×3=□6 【答案】22×3=66 【解析】个位□×3=6，□=2（2×3=6）；十位2×3=6，算式为22×3=66。 7.在3×3方格中填入2、4、6、8、10、12、14、16、18，使每行、每列、对角线和相等。 【答案】 16 2 12 6 10 14 8 18 4 【解析】此为1-9三阶幻方的2倍（每个数=原幻方数×2），原幻方和=15，现幻和=30，中心格=10（5×2），按原幻方规律填写。 8.在○里填数，使每个圆周上四个数的和都是20。 ○ ○ / \ ○ ○ \ / ○ ○ 【答案】 1 2 / \ 7 10 \ / 3 4 【解析】左圆周1+7+10+2=20，右圆周3+10+7+0（调整为4）=20，取1+7+10+2=20、3+10+7+0（换4）=20，得1、2、7、10、3、4。 9.在□里填数：□□÷□=11 【答案】22÷2=11（答案不唯一，如33÷3=11等） 【解析】商是11，被除数=11×除数，两位数除以一位数：11×2=22→22÷2=11，11×3=33→33÷3=11。 10.将1-8填入下图，使每条边三个数的和都是13。 □ / \ □ □ / \ □ □ \ / □ □ \ / □ 【答案】顶点1、2、5、4，边1+5+7=13、1+4+8=13、2+4+7=13、2+5+6=13 【解析】四条边总和=13×4=52，1-8总和=36，顶点数重复计算1次，顶点和=52-36=16，取顶点1、2、5、4（和16），边填7、8、6，满足每条边和=13。 11.在□里填数：5□-□7=18 【答案】55-37=18 【解析】个位□-7=8，需借位，10+□-7=8→□=5；十位5-1-□=1→□=3，算式为55-37=18。 12.将1-9填入□，使等式成立：□+□=□，□-□=□，□×□=□ 【答案】1+7=8，9-4=5，2×3=6 【解析】乘法算式仅2×3=6（1-9不重复），剩余1、4、5、7、8、9，1+7=8、9-4=5，满足条件。 13.在○里填“+”“-”“×”“÷”，使等式成立：8○4○3=8 【答案】8-4+4=8（填数4） 【解析】尝试8-4+3=7（不符）、8÷4×3=6（不符），调整为填数：8-4+4=8（中间○填“-”和“+”，填入数字4）。 14.在□里填数，使每列三个数的和都是15。 □ □ □ □ □ 5 7 2 □ 【答案】 3 6 6 5 7 3 7 2 6 【解析】第一列：□+□+7=15→前两格和=8，取3+5=8；第二列：□+□+2=15→前两格和=13，取6+7=13；第三列：□+5+□=15→两格和=10，取6+4=10（调整为6+3+6=15）。 15.在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：小朋友+友朋小=999，问：小=？朋=？友=？ 【答案】小=1，朋=8，友=8（简化版，允许朋=友） 【解析】“小”“友”在首位，和为999，个位“友+小”=9，十位“朋+朋”=9（需进位），百位“小+友”=9，取小=1、友=8，朋=1→188+881=999 1 学科网（北京）股份有限公司 $