22.3 实际问题与二次函数 同步巩固练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 一．选择题 1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　） A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．3或5 B．﹣1或1 C．﹣1或5 D．3或1 3．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高．高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（　　） A． B． C． D． 4．在关于n的函数S＝an2+bn中，n为自然数，当n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0．则当S的值最小时，n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数的最值情况是（　　） A．有最大值﹣2 B．有最小值﹣2 C．有最大值1 D．有最小值﹣11 6．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（　　） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 8．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．28° C．37° D．58° 9．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x） C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x） 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．当p＝5，c＝4，且三角形面积的最大值时，则此时边长a的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二．填空题 11．二次函数y＝5（x+7）2﹣3的图象最低点的坐标是 　 　 ． 12．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为　 　 m2． 13．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝　 　 s，最高h＝　 　 m． 14．若点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+1的图象上，则m+n的最大值为 　 　 ． 15．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为　 　 米． 三．解答题 16．珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 17．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）斜坡OA上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端，求这棵树的高度． 18．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）． （1）写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c； （2）若着火点A高出地面3m． ①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴； ②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）是　 　 ，及c的最小值是　 　 ． 19．【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有A、B两种农作物的相关信息如表： A作物 B作物 每平方米种植株数（株） 2 10 单株产量（千克） 1.2 0.5 （2）经调研发现：种植A作物，每平方米每增加1株，A作物的单株产量就减少0.1千克； （3）若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植． 【问题解决】（1）种植A作物，设每平方米增加x株（x为正整数），用含x的代数式表示： ①每平方米有　 　 株； ②单株产量为　 　 千克． （2）要使A作物每平方产量达到4.8千克，则每平方米A作物应种植多少株？ （3）设这100平方米的上地中有a平方米用来种植A作物（a≥10），且要求每平方米种植A作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植10株B作物，当这100平方米的总产量不低于496千克时，求a的取值范围． 20．九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实验活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． （1）初步探究，制作一个底面积为484cm2无盖纸盒，需要剪掉的小正方形边长为多少？ （2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C A C B C D 二．填空题 11．（﹣7，﹣3）． 12．48． 13．2，20． 14．． 15．40． 三．解答题 16．解：（1）根据题意得：（x﹣40）（﹣10x+1000）＝8000， 解得：x1＝80，x2＝60， ∴当月销售利润为8000元时，售价为80元或60元； （2）设月销售利润为W， 则W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝9000， 答：当售价定为70元时月销售利润，最大利润是9000元． 17．解：（1）由题意，将代入y＝﹣x2+bx中， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为． ∴抛物线为． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）由题意，∵B是OA的三等分点，， ∴分两种情况：①， 将x＝1代入中，得， ∴． ∴． ②由题意，B（2，1），将x＝2代入中，解得 y＝3， ∴3﹣1＝2． 综上所述，这棵树的高度为2． 18．解：（1）∵消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m， ∴点B的坐标为（﹣6，2）， ∵抛物线L的解析式为ybx+c经过点（﹣6，2）， ∴2（﹣6）2﹣6x+c， 整理得：c＝6b+11； （2）①∵着火点A距离点B的水平距离为10m，着火点A高出地面3m，点B的坐标为（﹣6，2）， ∴﹣6+10＝4， ∴A（4，3）， 由（1）得c＝6b+11， ∴抛物线的解析式为：yx2+bx+6b+11， ∵水流恰好经过着火点A， ∴代入得：342+4b+6b+11， 解得：b， ∴c， ∴抛物线的解析式为：yx2x， 对称轴为直线x， ②∵消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，A（4，3）， ∴当抛物线经过点（3，3）时， 332+3b+6b+11， 解得：b； 当抛物线经过点（5，3）时， ，352+5b+6b+11， 解得：b， 综上可得：b， ∵c＝6b+11，6＞0， ∴c随b的增大而增大， ∴当b时，c取得最小值为c＝6×（）+11， ∴c的最小值为． 故答案为：b，． 19．解：（1）①由题意，∵每平方米种植A作物的株数为原种植数2株加上增加的x株， ∴每平方米有（2+x）株． 故答案为：（2+x）． ②由题意，∵单株产量原为1.2千克，每增加1株减少0.1千克， ∴单株产量为（1.2﹣0.1x）千克． 故答案为：（1.2﹣0.1x）． （2）由题意，设每平方米增加x株， ∴总产量为 （2+x）（1.2﹣0.1x）＝4.8． ∴﹣0.1x2+x+2.4＝4.8． ∴x＝4或x＝6． ∴对应株数为6株或8株． （3）由题意，二次函数y＝（2+x）（1.2﹣0.1x）＝﹣0.1x2+x+2.4， ∴当x＝5时，A作物每平方米产量最大． ∴此时株数为7株，产量为4.9千克/平方米． 又∵总产量为4.9a+5（100﹣a）≥496， ∴﹣0.1a+500≥496． ∴a≤40． 又∵a≥10， ∴10≤a≤40． 20．解：（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形， ∴（40﹣2x）2＝484． ∴x1＝9，x2＝31（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的小正方形的边长为9cm； （2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2， ∴S＝4（40﹣2a）a． ∴S＝﹣8a2+160a＝﹣8（a﹣10）2+800， ∵﹣8＜0， ∴当a＝10时，S取得最大值，最大值为800． 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10cm． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/18 22:59:58；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $