重难点01 立体几何的截面问题(9大题型+60题提升）讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 立体几何的截面问题 一、有关截面的概念 在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 二、截面的的画法 1、确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． （4）球的截面的性质． 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 三、截面类型 (1) 正方体的基本斜截面： 正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形． (2) 圆柱体的基本截面： (3) 结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的判定定理与性质定理求截面问题． 规律 【基本总结】截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数； 不会与同一哥表面有两条交线； 与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长），即两平行平面被第三个平面所截，两交线平行； 截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 题型一：作截面的方法 技法1　直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P的截面. 技法2　平行线法 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P的截面. 【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( ) A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形 【例4】如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 技法3　延长线法 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例5】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【例6】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，画出过E，F，Q的截面. 【例7】作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 题型二：判断截面形状 【例8】如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【例9】用一个平面去截正方体，所得截面可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【例10】在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形 题型三：作出截面判断位置关系 【例11】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是( ) 【例12】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A． B．  C．   D．   题型四：球的截面问题 【名师点拨】计算球截面：（1）确定球心和半径；（2）寻找做出并计算截面与球心的距离；（3）要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。 【例13】两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是 . 【例14】已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15】已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【例17】如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．    题型五：截面的周长问题 【名师点拨】截面周长：可以利用多面体展开图求；可以在各个表面各自解三角形求解； 【例18】棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为 ． 【例19】如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【例20】已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______． 【例21】如图，在棱长为2的正方体，中，点E为CD的中点，则过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面周长为 ． 题型六：截面的面积问题 【名师点拨】截面面积：（1）判断界面是否规则图形；（2）规则图形，可以用对应面积公式求；（3）不规则图形，可以分割为三角形等图形求；（4）动态面积最值，可考虑特殊位置； 【例22】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为 A． B．36 C． D． 【例23】在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（    ） A． B．2 C． D． 【例24】如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    【例25】在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 题型七：截面分割体积问题 【例26】过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【例27】如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 . 【例28】在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 . 【例29】如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 . 【例30】如图，正方体ABCD－EFGH的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为______ . 题型八：截面的最值与范围问题 【例31】已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 . 【例32】棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，的中点，则经过E，F球的截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例33】在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 ． 【例34】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例35】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ． 【例36】在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（    ） A． B． C． D． 题型九：综合问题 【例37】如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论不正确的为（    ） A．存在点，使得 平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥的体积不为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【例38】如图，在正方体，P为线段上的动点（且不与，重合），则以下几种说法：    ① ②三棱锥C-BPD的体积为定值 ③过P，C，三点作截面，截面图形为三角形或梯形 ④DP与平面所成角的正弦值最大为 上述说法正确的序号是 . 【例39】如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则不正确的是（    ） A．，平面 B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C．时，三棱锥的外接球表面积为 D．时，直线l与平面所成角的正弦值为 【例40】在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1.在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2.如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 3.已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 4.如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则两个球缺的底面面积均为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 6.已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 8. 如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A． B． C． D． 9.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 10.正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 11.在正方体中， 为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是_______． 12．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为 ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为 . 13.已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 14.如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．    (1)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (2)求平面与平面的所成角的余弦值． 16.如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： (1)证明；F，G，H，B四点共面； (2)平面平面﹔ (3)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 17.如图，在长方体中，分别在上.已知，. (1)作出平面截长方体的截面，并写出作法； (2)求（1）中所作截面的周长； (3)长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 立体几何的截面问题 一、有关截面的概念 在立体几何中，用一个平面去截几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． 二、截面的的画法 1、确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． （4）球的截面的性质． 2、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 三、截面类型 (1) 正方体的基本斜截面： 正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形． (2) 圆柱体的基本截面： (3) 结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的判定定理与性质定理求截面问题． 规律 【基本总结】截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数； 不会与同一哥表面有两条交线； 与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长），即两平行平面被第三个平面所截，两交线平行； 截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 题型一：作截面的方法 技法1　直接法 若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面. 【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P的截面. 解　因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P，A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 技法2　平行线法 若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面. 【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P的截面. 解　连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，只要过P作A1D1的平行线就可以了.即设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，得到截面A1D1QP. 【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( ) A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】D 【解析】取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F， 又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， ∴平面AHGD1∥平面A1EF， 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形． 【例4】如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 【答案】（1）略 （2） 【解析】（1）连接，由正方体性质可得，； 又，所以平面平面； 因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面. （2）由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离； 设点到平面的距离为，由题意可得，所以的面积为；的面积为； 由可得，解得. 所以平面与平面的距离为. 技法3　延长线法 若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，利用延长线法作截面. 【例5】如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】作图见解析 【解题思路】利用平面的基本性质作出截面图形即可. 【解答过程】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 【例6】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中点，画出过E，F，Q的截面. 解　连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在平面AA1D1D内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S，则S，H都在平面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交CC1于点N，连接QE，NF，PM，MN，就得到截面EFNMPQ. 【例7】作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 【答案】五 【解析】延长的延长线于，连接的延长线于 连接于，连接，则五边形即为所求. 所以截面多边形的边数为五. 题型二：判断截面形状 【例8】如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】A 【解题思路】根据点在、以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项. 【解答过程】B选项，当点与重合时，    取中点，因为是中点，则，且， 连接，则四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项； C选项，当点与重合时，    取中点，因为是的中点，所以， 连接，截面四边形为梯形，故排除C选项； D选项，当点为中点时，    因为是中点，所以且， 连接，则四边形是平行四边形， 又因为，， 因为是正方体，所以，所以， 所以平行四边形是菱形，故排除D选项； 不管点在什么位置，都不可能是三角形. 故选：A. 【例9】用一个平面去截正方体，所得截面可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：D． 【例10】在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形 【答案】C 【解析】如图所示，延长、，使，连接、， ∵、、， ∴、， ∵、分别为棱、的中点， ∴， ∴， ∵，又、、三点共线， ∴、、三点共线，∴在截面上， 延长、，使，连接，使， ∴在截面上， 连接、， ∵，且 ∴，∴且=， 又为中点，、、三点共线， ∴、、三点共线， ∴截面为五边形， 故选：C． 题型三：作出截面判断位置关系 【例11】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是( ) 【答案】D 【解答】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC， ∵MN⊄平面ABC，AC?平面ABC， ∴MN∥平面ABC，即选项A正确； 选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND， ∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN， ∴平面ABC∥平面DMN， 又MN⊂平面DMN， ∴MN∥平面ABC，即选项B正确； 选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN， ∵MN⊂平面GMN， ∴MN∥平面ABC，即选项C正确； 选项D，连接CN，则AB∥CN， ∴A，B，C，N四点共面， ∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误． 【例12】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D. 【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；    对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接 则平面MNP和平面为同一平面，因为， 因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；        对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点， 所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；      对于D：分别是所在棱的中点，连接，， 平面与平面为同一平面， 取的中点为，连接，由中位线定理可知，， 因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；    题型四：球的截面问题 【名师点拨】计算球截面：（1）确定球心和半径；（2）寻找做出并计算截面与球心的距离；（3）要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质；（4）强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。 【例13】两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是 . 【解题思路】球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，，则由已知可求得，，然后分球的球心在两个平行平面的外侧和球的球心在两个平行平面的之间两种情况求解即可 【解答过程】球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，； 球的半径为，由，得； 由，得； 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即. 所以这两个平面间的距离为或． 故答案为：或. 【例14】已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【解答过程】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 【例15】已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【解答过程】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在 中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D．    【例16】如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】B 【解题思路】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【解答过程】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 【例17】如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．    【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出截面小圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即得. 【详解】依题意，在中，，，则， 因此的外接圆半径， 由球心到所在截面圆的距离为，得，则， 所以球的表面积为. 故答案为： 题型五：截面的周长问题 【名师点拨】截面周长：可以利用多面体展开图求；可以在各个表面各自解三角形求解； 【例18】棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为 ． 【答案】 【解析】 如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接， 在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故， 而，，故，， 故四边形为平行四边形，故 在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故， 故四边形为平行四边形，故 故，故四边形为平行四边形， 故四点共面，故过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形. 又，故截面的周长为， 故答案为：. 【例19】如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B. 【例20】已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______． 【答案】 【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解． 【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH； 则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG． ∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，∴AN＝，∴， ∴，，；同理，，，； ∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝． 【例21】如图，在棱长为2的正方体，中，点E为CD的中点，则过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面周长为 ． 【答案】/ 【解析】如图，取中点，中点，连接，设与交于 点O， 因为在平面内的射影为， 由可得， 所以， 又因为， 所以， 在四边形中，， 其中， 所以，即， 所以是截面内的一条线， 同理是截面内的一条线， 所以过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面为， 因为正方体的棱长为2， 所以 截面的周长为， 故答案为： 题型六：截面的面积问题 【名师点拨】截面面积：（1）判断界面是否规则图形；（2）规则图形，可以用对应面积公式求；（3）不规则图形，可以分割为三角形等图形求；（4）动态面积最值，可考虑特殊位置； 【例22】已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为 A． B．36 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，正四棱柱中，，， 可得，， 在上取一点，使得，如图所示， 连结，，可得且， 则四边形是平行四边形， 四棱柱被过点，，的平面截得的截面为， 由勾股定理可得，， ， 所以， 所以， 所以平行四边形的面积为．故选：． 【例23】在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】取中点，中点，利用面面平行的判定定理确定平面，利用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，取中点，中点，连接，    因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面，又， 平面，平面，所以平面平面， 即三角形为所得截面， 在中，，， 由余弦定理得， 所以， 所以. 故选：C. 【例24】如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    【答案】 【解析】因为、分别为、的中点，则且， 因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，，设平面交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，则， 因为为的中点，所以，为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形， 因为，则， 所以，， 因为，则，所以，，则为的中点， 同理可知，为的中点，易知六边形是边长为的正六边形， 所以，截面面积为. 故答案为：. 【例25】在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 【答案】 【解析】如图，连接交于点，连接、. 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 故截面平行于平面. 过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使. ，，，. 因为平面，平面，所以，平面， 又因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 易得，故， 因为， 易知是边长为的等边三角形，所以，， 因此，. 故答案为：. 题型七：截面分割体积问题 【例26】过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系． 【解答过程】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为， 所以，， 可得. 故选：D. 【例27】如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，体积为，则 ， 因为E是棱的中点，所以， ， . . 故答案为： 【例28】在三棱柱中，底面，，点P是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为 . 【答案】或 【解析】取的中点，连接， 因为，所以， 因为底面，底面， 所以， 又，所以平面， 不妨设，则，， ， ， 故上面一部分的体积为， 则， 所以两部分的体积比为或. 故答案为：或. 【例29】如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，体积为，则 ， 因为E是棱的中点，所以， ， . . 故答案为： 【例30】如图，正方体ABCD－EFGH的一个截面经过顶点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为______ . 【答案】 【解析】如图，记为截面所在平面.延长AK、BF交于点P， 则P在上，故直线CP是与平面BCGF的交线. 设CP与FG交于点L，则四边形AKLC为截面. 因平面ABC平行于平面KFL，且AK、BF、CL共点P， 故ABC－KFL为棱台. 不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1， 结合条件知棱台ABC－KFL的体积. 设PF=h，则. 注意到PB、PF分别是棱锥P－ABC与棱锥P－KFL的高， 于是. 化简得3h2=1，故. 从而. 题型八：截面的最值与范围问题 【例31】已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 . 【答案】 【解析】在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大. 此时正六边形的边长为，其面积为 故答案为： 【例32】棱长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，的中点，则经过E，F球的截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球O半径为R.因为正方体内接于球，所以，.设G为AD中点，中点为P.由题，. . 延长FO与BC交于M，延长EO与交于N， 由题可得N，M分别为，BC中点. 则， . 经过E，F球的截面面积的最小时，OP.因截面为圆面，则圆面对应半径. 则此时截面面积为：. 故选：C 【例33】在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为底面三角形斜边上一点，且，，为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据面面平行的性质可得截面的三种情况，即可比较截面大小，可知求截面四边形的面积即可，根据面积公式可得，根据函数的单调性即可求解最值. 【详解】分如下三种情况，①如图1，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面； ②如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则四边形为所求截面； ③如图3，延长交于点，连接，则三角形为所求截面． 显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，故只需考虑情况①即可． 在①中，易知，，设， 则，， 所以所求截面面积 ， 由于均在单调递增，所以函数在上单调递增， 故，故截面面积的最大值为． 故答案为： 【例34】如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且∥截面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及三角形的中位线，利用线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，结合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解. 【详解】取的中点为,取的中点为,取的中点为，如图所示 因为是的中点，是的中点， 所以, 因为平面,平面, 所以平面, 同理可得，平面, 又,平面, 所以平面平面. 又平面,线段扫过的图形是, 由,得,, ,, 所以,即为直角， 所以线段长度的取值范围是：,即. 故选：A. 【例35】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案. 【详解】当时，即Q为中点，如图， 可得， 故可得截面为等腰梯形， 由上图当点Q向C移动时，满足，只需在上取点M满足， 即可得截面为四边形，如图， 截面四边形在底面上投影为梯形APCD，面积恒为定值, 故当时，截面面积, 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方体的截面问题，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，属于中档题. 【例36】在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面与面所成的二面角为，二面角为，分和两种情况讨论，证明平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合，从而可得出答案. 【详解】平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合， 证明：设平面与面所成的二面角为，二面角为， 当时，记平面截正方体所得截面为面，， 则， 令， 因为，所以， 当时，显然平面截正方体所得截面面积最大时， 截面为面， 当时，平面截正方体所得截面为， 所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面， 同理平面过时，截正方体所得截面面积最大时截面为面， 连接，面与面所成锐二面角为， 因为面面， 所以的所成角大小为二面角大小， 因为，所以面与面所成锐二面角大小为. 故选：C． 题型九：综合问题 【例37】如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论不正确的为（    ） A．存在点，使得 平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C．三棱锥的体积不为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【解题思路】对于A，通过P为BD中点可判断，对于B，由可判断，对于C，由可判断，对于D，由三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，可判断； 【解答过程】 当P为BD中点时，由中位线可得：， 不在平面，在平面内， 所以平面，A正确； 由中位线易知，在正方体中，易证，所以，所以截面为梯形，B正确； 因为，所以体积为定值，C错误； 三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，所以表面积D正确， 故选：C. 【例38】如图，在正方体，P为线段上的动点（且不与，重合），则以下几种说法：    ① ②三棱锥C-BPD的体积为定值 ③过P，C，三点作截面，截面图形为三角形或梯形 ④DP与平面所成角的正弦值最大为 上述说法正确的序号是 . 【解题思路】①根据为正方体得到，，然后根据线面垂直的判定定理和性质即可得到；②根据点到平面的距离为定值，三角形的面积为定值即可得到三棱锥的体积为定值；③根据正方体的性质判断截面的形状即可；④根据线面角的定义得到为与平面所成角，然后求线面角即可. 【解答过程】连接，因为为正方体，所以平面，四边形为正方形，    因为平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故①正确； 因为点到平面的距离为定值，三角形的面积为定值，，所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 根据正方体性质可知，当延长线与棱相交时，截面为三角形，当延长线与相交时，截面为梯形，故③正确； 连接，由题意得为与平面所成角，因为为定值，所以当最小时，最大，最大， 设正方体边长为，则，此时，故④错. 故答案为：①②③. 【例39】如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则不正确的是（    ） A．，平面 B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C．时，三棱锥的外接球表面积为 D．时，直线l与平面所成角的正弦值为 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理判断A；画出截面即可判断B；建立如图空间直角坐标系，确定球心和半径即可判断C；作出截面，如图，确定交线，利用空间向量法求解线面角即可判断D. 【详解】A：由题设及正方体结构特征，有且平面，平面，故平面，故A正确； B：当时，平面截正方体所得截面图形为五边形或六边形， 如图，所以充分性不成立，故B错误： C：以D为原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 当时，，，，，， 外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上， 的中点，可记球心，外接球的半径， 所以，解得，， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C正确； D：作出截面图形，交于，交于， 直线即为直线，，又平面的法向量为， 则与平面所成的角满足，故D正确. 故选：B 【例40】在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 1.在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】如图，把截面补形为四边形， 连接，， 因为，分别为，的中点，则， 又在正方体中， 所以，则四点共面. 则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形. 故选：B. 2.如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 【解题思路】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【解答过程】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D. 3.已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可. 【解答过程】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为. 故选：C. 4.如图，球被一个距离球心的平面截成了两个部分，这两个部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫作球缺的高.球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为，两个球缺的体积分别为，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则两个球缺的底面面积均为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据勾股定理结合圆的面积公式计算判断A错误；根据截面的面积和球的体积公式根据不同条件计算进行判断BCD. 【解答过程】对于A，设这两个球缺的底面圆半径为，则， 因为，，解得，该圆的面积为A错误. 对于B，设两个球缺的高分别为，则. 由，得，则，所以，解得. ，同理得，所以B正确. 对于C，.设，由，得，则，C正确. 对于D，. 由，得.设函数，则 在上恒成立，即在上单调递增， 所以，即D正确. 故选：A. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP， 易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP， 所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP. 又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线， AN，MN为平面AMN内的两条相交直线， 所以平面DBQP∥平面AMN， 四边形DBQP的面积即所求． 因为PQ∥DB，所以四边形DBQP为梯形，PQ＝BD＝， 梯形的高h＝＝， 所以四边形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝. 6.已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解答过程】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 7.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】 过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为. 故选：A. 8. 如图，正方体中，点，，分别是，的中点，过点，，的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点，，的截面下方几何体转化为一个大的三棱锥，减去两个小的三棱锥，上方部分，用总的正方体的体积减去下方的部分体积即可. 【详解】作直线，分别交于两点，连接分别交于两点， 如图所示， 过点，，的截面即为五边形 ， 设正方体的棱长为， 因为点，，分别是，的中点。所以，即， 因为，所以 则过点，，的截面下方体积为：， ∴另一部分体积为，∴.故选：C. 9.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，是A在底面的射影，则点在线段上. 由正弦定理得，的外接圆半径，所以. 在中， 由勾股定理得棱锥的高. 设球O的半径为R， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以. 在中，，. 所以在中，有. 又因为当截面垂直于时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为. 故选：A. 10.正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，面积最小的截面是以为直径的截面， 将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球， 设，则正方体棱长为，故，可求得， 进而截面面积的最小值为． 故选：C 11.在正方体中， 为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是 ． 【解题思路】先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面的周长. 【解答过程】 如图，取的中点,连接,易得，则, 过点在平面内作,交于点，则； 再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得, 过点在平面内作,交于点，则， 连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行， 同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行， 故五边形即点的正方体的截面. 因则,， 由可得，则有：, 即得：,则,; 又由可得,则有：, 即得：，则 则. 故五边形截面的周长为： 故答案为：. 12．如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为 ；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】取，的中点连接，证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率. 【详解】取，的中点，连接，则且， 则点在正方体内运动所形成的图形为四边形， 又在正方体中平面，且平面，则， 所以四边形为矩形. 又，则 又，所以，即， 由上可知平面，且平面，则， 由，且平面，平面，所以平面. 当点在正方体内运动所形成的图形为四边形时，平面，所以满足， 此时，，面积为. 由上可知为平面与底面所成角. 则，则，故， 设截面椭圆的中心为，长轴为，短轴为， 过椭圆的短轴作与圆锥的底面平行的截面分别交母线于两点. 设该截面与圆锥的轴所成角为，则，则， 设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为，则.， 由相交弦定理可得：， 在中，， 所以，即， 在中，， 所以，即， 设椭圆的离心率为，则 ， 所以. 故答案为：；. 13.已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【解题思路】（1）求证即可由线面平行判定定理得证平面； （2）延长即可作出截面图，再结合题设条件和正方体性质即可即可计算求解截面的周长. 【解答过程】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长得与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由图可知，故， 所以截面的周长为.    14.如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．    (1)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (2)求平面与平面的所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题，结合球的截面圆的性质，求得，延长交于点，连接交于点，得到四边形为所求截面，进而求得截面图形的周长； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为， 设外接球的半径为，底面正的外接圆的半径为，可得， 则， 因为，解得， 又因为点分别为棱，的中点，可得， 如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面， 又由，所以， 在中，由余弦定理得，所以可得, 所以截面图形的周长为.      （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 则 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 取的中点，因为为等边三角形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又由，可得， 所以平面的一个法向量为， 设两个平面所成角为，则， 所以平面与平面的所成角的余弦值．    16.如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： (1)证明；F，G，H，B四点共面； (2)平面平面﹔ (3)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【解题思路】（1）连接BH，可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明； （3）取的中点N，连接，，取的中点M，连接，，画出截面，求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接BH，∵FG为的中位线， ∴，∴F，G，H，B四点共面； （2）由（1）知，， ∵平面，平面，∴平面； ∵，平面，平面，∴平面， ∵，EF、EG都在面EFG内，∴平面平面 （3）取的中点N，连接，，∴，， 取的中点M，连接，，∴，， ∴截面为平行四边形，且， 所以截面的面积为． 17.如图，在长方体中，分别在上.已知，. (1)作出平面截长方体的截面，并写出作法； (2)求（1）中所作截面的周长； (3)长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 【解题思路】（1）延长，与的延长线交于点，连接并延长，可得交的延长线于，可作所求截面. （2）利用平行线分线段成比例定理可求五边形的周长； （3）利用，可求体积. 【解答过程】（1）如图所示，五边形为所求截面. 作法如下： 延长，与的延长线交于点， 连接并延长，分别交于，交的延长线于， 连接，交于点，连接，则五边形为所求截面. （2）因为，所以，则， 由，可得， 得，则， . 由，得，由，得， 则 . 故截面的周长为. （3）， 故所求体积为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $