精品解析：江西省宜黄县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

宜黄一中2025-2026学年度上学期高二年级第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：方志强；审题人：吴晓燕 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行可构造方程组求得的值，利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，，解得：， ，，即， 与之间的距离. 故选：D. 4. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 5. 直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【详解】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 6. 阿基米德在他著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积以及焦点三角形的周长可得，即可根据面积公式即可求解. 【详解】由于是点关于原点的对称点，也关于原点对称，故四边形为平行四边形， 由题意知，得，又，得，又， 解得， 三角形的面积为， 当取最大1时，三角形的面积最大，的最大值为， 所以四边形面积的最大值为. 故选：A 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用对称性以及两点间的距离公式来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得，则， ， 所以“将军饮马”的最短路程为. 故选：B 8. 射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案. 【详解】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 故该外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，得到椭圆方程. 详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 10. 下列说法正确的是（　　） A. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点斜式，求截距，利用截距相等求斜率，从而得到直线方程；对于B，由两直线垂直得到的式子，解出的值；对于C，将直线变形为，得到，解方程组得到所求的定点；对于D，求出，通过数形结合得到的范围. 【详解】对于A，经过点且在轴和轴上截距都相等，则此直线一定有斜率， 设此直线方程， 当时，，则纵截距为； 当时，，则横截距为， 则有，解得，则此直线方程为或； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线垂直的充分不必要条件，选项B正确； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因，所以，选项C正确；     对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：BCD． 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线方程为，则该直线过定点__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化等式对于参数恒成立，列式求解 【详解】即，令得， 直线过定点， 故答案为： 13. 已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，由，得，由，得，画出曲线的图像，利用对称性可设，即，解出即可. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 由，得，则曲线表示圆的上半部分， 画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上， 设圆的标准方程为，则，解得， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，可得到答案. 【详解】设椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为.分以下四种情况进行分析： （1）若等腰三角形的三个顶点都是椭圆的顶点，则这样的三角形有4个，分别为. （2）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的左右顶点， 根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点,则有,显然不能构成等腰三角形. 所以当三角形的两个顶点是椭圆的左右顶点时，不能构成等腰三角形； （3）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且是椭圆的上下顶点， 根据椭圆的对称性，设该等腰三角形的另一个顶点在第一象限，记为点,因为,,,, 所以当且仅当时，是等腰三角形.所以当三角形的两个顶点是椭圆的上下顶点时，可以构成的等腰三角形有4个； 检验：由题知： ,设,,由，得， 化简得：,解得：,所以有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形. 同理当时，满足条件的三角形有2个. 所以当三角形只有两个顶点在椭圆上，且分别是椭圆的上下顶点时，可构成的等腰三角形共有4个. （4）若三角形有且只有两个顶点在椭圆上，且一个是椭圆的长轴的端点，一个是椭圆的短轴的端点.根据椭圆的对称性，可先讨论两个顶点分别是. 如图，当线段为等腰三角形的底时，线段的垂直平分线与椭圆交于两点，所以满足条件的三角形有2个. 所以，只有两个顶点是椭圆的顶点，且以为底的等腰三角形有2个. 同理,只有两个顶点是椭圆的顶点，且分别以，，为底的等腰三角形各有2个. 当线段为等腰三角形的腰时，由题知： ,设,,且, 若为等腰三角形的顶角，则，所以， 化简得：,解得：,所以不存在满足条件的点，即没有满足条件的三角形. 若为等腰三角形的顶角，则，所以，化简得：,解得：, 根据对称性，有2个满足条件的点，即有2个满足条件的三角形. 所以，只有两个顶点是椭圆的顶点，且以为腰的等腰三角形有2个. 同理，只有两个顶点是椭圆的顶点，且分别以为腰的等腰三角形各有2个. 综上所述，满足条件的等腰三角形共有：个. 故答案为：24. 四、解答题（本大题共5大题，共77分） 15. 已知点与直线：. （1）若直线过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）一条光线从点射出，经直线反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由两条直线的垂直关系设出直线方程，再根据所过点求解即得； (2)根据给定条件求出点P关于的对称点即可求出反射光线所在的直线方程. 【详解】（1）因直线与垂直，于是设直线方程为， 又过点，则，解得， 所以直线的方程为. （2）设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. 16. 已知圆，直线 （1）当直线与圆相交时，求的取值范围． （2）若为直线与轴的交点，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式分析运算即可得解. （2）利用直线方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，圆即为， 圆心为，半径为， ∵直线与圆相交，则圆心到直线的距离 ∴，即，解得：， ∴的取值范围是. 【小问2详解】 解： ∵为直线与轴的交点，∴，则在圆外，如上图， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，则直线为切线； 当过的直线斜率存在时，设切线方程为即， 由圆心到切线的距离，解得：， 则切线方程为，即. 综上，过作圆的切线的方程为或． 17. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为在上，则，可得， 所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为， 设椭圆的方程为， 故中，且，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以. 18. 已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； （3）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），曲线是以为圆心，2为半径的圆． （2） （3）证明见解析，定点． 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线QR的方程为，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，，所以，所以， 当直线过圆心时，，此时最大， 故的取值范围为． 【小问3详解】 如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线： ②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点． 19. 已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b的取值范围; （2）若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【小问1详解】 圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； 【小问2详解】 设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ，， 【小问3详解】 ，则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜黄一中2025-2026学年度上学期高二年级第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：方志强；审题人：吴晓燕 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 直线与曲线恰有1个交点，则实数b取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ） A. B. C. 4 D. 2 8. 射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（　　） A. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线的方程为，则该直线过定点__________． 13. 已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为__________. 14. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为______． 四、解答题（本大题共5大题，共77分） 15. 已知点与直线：. （1）若直线过点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）一条光线从点射出，经直线反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程. 16. 已知圆，直线 （1）当直线与圆相交时，求的取值范围． （2）若为直线与轴的交点，过作圆的切线，求切线的方程． 17. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 18. 已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点直线与曲线交于两点，求的取值范围； （3）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 19. 已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. （1）求实数b取值范围; （2）若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; （3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $