精品解析：江苏省无锡市三校联考2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

无锡市第六高级中学2025年秋学期10月质量调研 高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 2025年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 1 5. 设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 在梯形中，，为中点，，交于点，若，则 （    ） A. B. C. D. 7. 已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（    ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 10. 函数，则下列关于说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的增函数 D. 图象关于点中心对称 11. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 14. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是线段的中点，求线段的长． 17. 已知函数是奇函数，是偶函数 （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知函数，，分别是的极大值点和极小值点． （1）若，，，求的值； （2）若，求a取值范围． 19. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若，，为的两个不同的极值点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第六高级中学2025年秋学期10月质量调研 高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 2025年10月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得集合，结合基本并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由集合，可得. 故选：B. 2. 设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数，再求其共轭复数，即可判断. 【详解】复数， 所以的共轭复数， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线平行即可得解. 【详解】因为，且曲线在点处的切线与轴平行， 所以，解得， 故选：D 5. 设是定义在R上且周期为2函数，当时，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用周期函数的性质求出函数值. 【详解】当时，，而的周期为2， 所以. 故选：A 6. 在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交AC于点.由两直线平行的性质，求得的关系.由三点共线，可用表示，即可得到，从而求得的值，相加可得的值. 【详解】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 7. 已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，即可根据周期排除AB，根据最高点坐标排除D，即可求解. 【详解】由图可知：图中函数的周期为, 而的周期为， 而选项AB中的函数周期均为,不符合题意，舍去， 对于D, ， 当时，，不符合要求， 对于C, ， 最小正周期为，当时，，符合要求. 故选：C. 8. 设函数，若对于任意的都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别证明，，对于，先证明，变形为，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围. 再证明，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围. 【详解】对于，先证明，，即， 令，则，易知单增，且， 则时，，函数单减；时，，函数单增； 函数在处取最小值，此时； 再证明，即，由函数及的图像易知，若使对于恒成立，只需处在图像上方，的最小值在处，两个图像相切处取得， 函数的导数为，时，，即， 综上，， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由于，则，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 10. 函数，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 是区间上的增函数 D. 图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式将化成单角单函数的形式，利用周期和最值的计算判断AB选项，利用正弦函数的性质判断C选项，利用特殊值排除D选项. 【详解】， 所以的最小正周期，A正确； 最大值是，B错误； 当时，，是的单调递增区间，C正确； 因为，， ，所以图象不关于中心对称，D错误. 故选：AC. 11. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，在，分别使用余弦定理，求解即可； 选项B，结合面积公式，即得解； 选项C，转化利用数量积的定义求解即可； 选项D，转化，，利用数量积的定义求解即可. 【详解】 由题意，，故， 在中，由余弦定理， 在中，由余弦定理， 故，解得，又，故 故，解得，A正确； ，B正确； 在中，， 在中，， ，C错误； ， 又 ，故，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先设出正方形的边长为a，则可算出圆的半径为，然后由公式算出即可. 【详解】设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为， ∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角为. 故答案为： 【点睛】本题考查的扇形有关公式的应用，较简单. 13. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】表示出投影向量，即可求得，进而利用求得结果. 【详解】由题知，在上的投影向量为， 即，则，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）设，由 和求解； （2）根据，得到，然后由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设， 因为向量，的夹角为，且，， 所以 , 解得, 又因为， 所以， 即或. （2）因为， 所以，即， 所以， 所以， ， ， 所以，当时，有最小值为. 16. 记内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及和角的正弦公式求出，再利用正弦定理及数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，而，， 因此，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， ， 由正弦定理得，而， 所以 17. 已知函数是奇函数，是偶函数 （1）求的值； （2）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值，利用偶函数的定义可求得实数的值，即可求得的值； （2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由于为奇函数，且定义域为，则， 因为，所以，， 所以，恒成立，所以，，即. 由于，， 是偶函数， ，则， 所以，，所以，， 因此，. 【小问2详解】 解：，， 因为函数在上为增函数，函数在上为减函数， 所以，函数在区间上是增函数， 当时，，所以，， 由题意得，解之得， 因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数，，分别是的极大值点和极小值点． （1）若，，，求的值； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，求出和，利用，求出，从而求出答案； （2）对求导，根据，分别是的极大值点和极小值点，得到，是方程的两个不相等的实根，化简，最终求出答案． 【小问1详解】 当时，， 所以， 令，得或． 列表如下： x 0 0 0 极大值 极小值 所以在处取极大值，即，且． 由，所以，即， 所以． 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 由，因为，分别是的极大值点和极小值点， 所以，是方程的两个不相等的实根，且，即， 所以 因为 ， 因，所以，解得． 综上，． 19. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若，，为的两个不同的极值点，求的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，令，求解可得单调递增区间，令，求解可得单调递减区间； （2）求导函数，由题意可得有两个不等正根，可得，进而可得，令，利用导数求得最小值即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为和，单调减区间为. 【小问2详解】 由题意知：，， 有两个不等正根， ，解得：， ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $