专题13 特殊三角形章末易错压轴题型（20易错+10压轴）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题13 特殊三角形章末易错压轴题型（20易错+10压轴） 易错题型一 图形的轴对称 1．壮丽祖国，一山一水皆是画卷；秀美江山，一草一木皆是诗篇，一个符号一座城．下列四个省份的徽标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）   　　　 　　   3．如图是由个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形． 易错题型二 根据轴对称图形的特征进行求解 4．如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 6．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 易错题型三 设计轴对称图案 7．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 8．下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    9．在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 易错题型四 轴对称中的实际问题 10．一轿车的车牌在水中的倒影是  ，则该车的牌照号码为 ． 11．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 12．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 易错题型五 等腰三角形的判定 13．如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 14．如图，点E、F在BC上，，，，与交于点G，求证：是等腰三角形． 15．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 易错题型六 等腰三角形的性质 16．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 17．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 18．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B，C重合），连接，作交线段于E． (1)当等于多少时，请说明理由； (2)在点D的运动过程中，请求出当等于多少度时的形状是等腰三角形． 易错题型七 格点中画等腰三角形 19．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 20．如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 21．如图，是格点三角形《顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1．    (1)在图①中画与关于直线对称的； (2)在图②中画，使得，要求与有一个公共角C (3)在图③中以为边画一个等腰． 易错题型八 等边三角形的判定 22．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 23．如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若，证明为等边三角形． 24．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 易错题型九 等边三角形的性质 25．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点分别是的动点，若周长的最小值等于5，则的大小为（   ） A． B． C． D． 26．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 27．如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足． (1)若，则的度数为______，的角度为______； (2)求证：是等腰三角形； (3)当是等边三角形时，求的度数． 易错题型十 逆命题和逆定理 28．关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 29．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 30．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 易错题型十一 斜边的中线等于斜边的一半 31．如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则 ． 33．如图，已知为的中点， (1)如图 1，求证：是等腰三角形； (2)如图 2 ，与交点为 F，若，求的长． 易错题型十二 含30度角的直角三角形 34．如图，，P是平分线上一点，，交于点C，于点D，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    36．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 易错题型十三 勾股定理的证明方法 37．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 38．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 39．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 易错题型十四 勾股定理与网格问题 40．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 41．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 42．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的周长是_______； (2)四边形的面积是_______； (3)连接，是直角三角形吗？判断并说明理由． 易错题型十五 用勾股定理解三角形 43．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 44．如图，中，，过斜边中点作交于点，若，则的长为 ． 45．如图，在和中，，，点A，C，D在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 易错题型十六 勾股定理的逆定理 46．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 47．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 48．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 易错题型十七 勾股定理的应用 49．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长； (2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 50．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 51．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 易错题型十八 最短路径问题 52．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 53．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 54．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 易错题型十九 用HL证全等 55．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 56．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 57．如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错题型二十 全等的性质与HL 综合 58．如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长度． 59．如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 60．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 压轴题型一 轴对称中的折叠问题 61．如图，已知，分别是长方形纸片边和上的点，沿进行第一次折叠，的对应点分别为交于点．再沿进行第二次折叠，点的对应点分别为．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 62．如图，长方形纸片中，E为边上一点，F为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），在点E、F的变化过程中，当平分时，若，则 度． 63．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 压轴题型二 轴对称中的最值问题 64．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 65．如图，在中，，，，平分，点分别为上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2 C．2.4 D．5 66．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 压轴题型三 等腰三角形的判定与性质 67．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？ 68．如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 69．在中，，E是的中点． (1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、作射线交于点． ①根据以上作图，请写出一条正确结论：______． ②若的面积是6，点P、N分别为、上的点，求长度的最小值； (2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． ①当时，求的长； ②若，当点Q落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 压轴题型四 等边三角形的判定与性质 70．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 71．【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 72．如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 压轴题型五 等腰（边）三角形的存在性问题 73．已知线段，点是平面内一动点，且，连接，射线在右侧，与夹角为，作点C关于射线的对称点D，连接，，，交于点E，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，当最长时，请直接写出的长． 74．如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？ （2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？ （3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由． 75．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 压轴题型六 直角三角形的压轴问题 76．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 77．如图所示，在中，，点、在内，且点在的垂直平分线上，连接、、，若，则的长度是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 78．如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．     (1)求的度数． (2)当点是的中点时，求证：． (3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由． 压轴题型七 勾股定理中的折叠问题 79．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 80．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 81．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 压轴题型八 勾股定理的最值问题 82．如图，在中，，，．求 (1)边上中线的长 (2)在边上有一个动点，从点出发向点运动，问： ①当动点运动到边的中点时，求出的长； ②当动点运动到什么位置时，的长最小，并求出这个最小值 83．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 84．为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 压轴题型九 用勾股定理解三角形 85．如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 86．如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 87．已知，在等腰中，，． (1)如图①，利用圆规和无刻度直尺，在等腰内作出点，使得点到顶点，，的距离相等．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连结，，，求的值． (3)阅读并解答： 如图②，若点在等腰内，连结，，，在线段，的左侧作等边和等边，连结，则可以证明结论成立．试利用该结论，求当最短时，线段的长． 压轴题型十 直角三角形证全等综合 88．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 89．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（   ） A． B． C． D． 90．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（   ） A．8 B． C． D．6 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 特殊三角形章末易错压轴题型（20易错+10压轴） 易错题型一 图形的轴对称 1．壮丽祖国，一山一水皆是画卷；秀美江山，一草一木皆是诗篇，一个符号一座城．下列四个省份的徽标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 2．习近平主席提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．如图有关环保的四个图形中，不是轴对称图形的是 ，（填序号）   　　　 　　   【答案】①③④ 【分析】根据轴对称图形的定义，即可进行解答． 【详解】解：①不是轴对称图形，符合题意； ②是轴对称图形，不符合题意； ③不是轴对称图形，符合题意； ④不是轴对称图形，符合题意； 综上：不是轴对称图形的有①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 3．如图是由个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质可知，正方形是轴对称图形，是四边的垂直平分线，所以可以先找到正方形的对称轴，在对称图形中找到相同的部分是轴对称图形． 【详解】解：如图所示 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，请注意，要画轴对称图形要先找对称轴． 易错题型二 根据轴对称图形的特征进行求解 4．如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，结合与关于直线对称，结合三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称图形的特征．根据“关于某直线对称的图形对应边相等”即可求得结果． 【详解】解：∵与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 6．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 易错题型三 设计轴对称图案 7．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 8．下图是由5个全等的正方形组成的，请你移动其中一个正方形，使它变成轴对称图形．（在网格图中画出4种形状不同的图形，涂上阴影）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图—利用轴对称设计图案．“轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形”．根据轴对称图形的定义画出图形即可． 【详解】解：图形如图所示：   ． 9．在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义，结合题意，补充图形即可 【详解】如图：有5种方法： 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 易错题型四 轴对称中的实际问题 10．一轿车的车牌在水中的倒影是  ，则该车的牌照号码为 ． 【答案】鄂 【分析】根据轴对称的定义求解，对称轴取原图象下方的水平直线． 【详解】解：如图所示：该车的牌照号码为鄂．   ． 故答案为：鄂． 【点睛】本题考查轴对称的定义，理解轴对称的定义是解题的关键． 11．操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置． (1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________； (2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【详解】（1）解：如图，所以小球会击中的点是， 故答案为： （2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为 【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 12．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 易错题型五 等腰三角形的判定 13．如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 14．如图，点E、F在BC上，，，，与交于点G，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再利用证明，从而得到，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定，证明得到是解题的关键． 15．如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先根据平行线的性质证明，然后根据角平分线的定义得出，则可证明为等腰三角形； （2）证明，从而得到的长，则可求得的长． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理． 易错题型六 等腰三角形的性质 16．如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 17．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质可得，再根据周角的性质即可求解； （3）根据等腰三角形的性质“三线合一”可得，，根据折叠的性质可得是等边三角形，由此可求出，结合点是中点可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴； （2）解：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： 将与分别沿直线、翻折得到与， ， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， 是等边三角形， ，， 同理：是等边三角形， ∴， ∴， 当点在的中点， ， ∴， 是等边三角形． 18．如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B，C重合），连接，作交线段于E． (1)当等于多少时，请说明理由； (2)在点D的运动过程中，请求出当等于多少度时的形状是等腰三角形． 【答案】(1)当时，，理由见解析 (2)当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想去解决问题． （1）利用三角形内角和定理得出，当时，； （2）是等腰三角形，分三种情况：①当时，②当时，③当时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出的度数即可． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ∴， 即当时，； （2）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时，， ∵不与重合，则， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴； 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形， 易错题型七 格点中画等腰三角形 19．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上． (1)在图1中画一个以为直角边且面积为3的直角三角形． (2)在图2中画一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型； （1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形(答案不唯一)． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求． 20．如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 21．如图，是格点三角形《顶点在网格线的交点上），每个小正方形的边长均为1．    (1)在图①中画与关于直线对称的； (2)在图②中画，使得，要求与有一个公共角C (3)在图③中以为边画一个等腰． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）作点C关于直线的对称点，再与点A、B首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形的特点，结合网格作图即可． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求． （2）如图②所示，即为所求． （3）如图③所示，即为所求． ∵， ∴△ABD是等腰三角形． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查作图-轴对称变换、全等三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和全等三角形的判定． 易错题型八 等边三角形的判定 22．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 23．如图，在中，． (1)请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若，证明为等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由题意可得，点在线段的垂直平分线与的交点，作出线段的垂直平分线即可； （2）利用直角三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）解：由题意可得：点在线段的垂直平分线与的交点，如下图： （2）证明：连接， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图－垂直平分线，等边三角形的判定，等边对等角等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 24．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 易错题型九 等边三角形的性质 25．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点分别是的动点，若周长的最小值等于5，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时的周长最小．连接．根据轴对称的性质，可得，从而得到是等边三角形，即可解答． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时的周长最小．连接． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴， 同理． ∴， ∴． 又∵的周长， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 26．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 27．如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足． (1)若，则的度数为______，的角度为______； (2)求证：是等腰三角形； (3)当是等边三角形时，求的度数． 【答案】(1)40°，50°； (2)见解析 (3)120° 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可； （2）首先根据等腰三角形的性质得到，然后证明出，得到，即可证明出为等腰三角形； （3）首先根据等边三角形的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到，然后由直角三角形的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：∵为等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 易错题型十 逆命题和逆定理 28．关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，写命题的逆命题，写出逆命题并判断真假即可． 【详解】解：关于命题“如果，那么”，是真命题， 逆命题为：如果，那么，是假命题， 故选：B． 29．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可． 【详解】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题， 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 30．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 易错题型十一 斜边的中线等于斜边的一半 31．如图，在中，，，点E为中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，再利用三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 32．小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中点等于斜边的一半是解题的关键． 根据刻度尺得出的距离，再由直角三角形斜边上的中线定理即可解答． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为：． 33．如图，已知为的中点， (1)如图 1，求证：是等腰三角形； (2)如图 2 ，与交点为 F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质得到，得到，证明结论； （2）过点E作，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∴， 过点E作， ∵，，∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴． 易错题型十二 含30度角的直角三角形 34．如图，，P是平分线上一点，，交于点C，于点D，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，含有度角的直角三角形的性质，解题关键是理解含有度角的直角三角形的性质并能运用． 过P作于H，由平行线的性质推出，由含度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出． 【详解】解：过P作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵P是平分线上一点，，， ∴． 故选：B． 35．在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 作于，利用含30度的直角三角形的性质得到，根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：过作于，   ， ， ∵，，， ， 则， 则， 故答案为：2． 36．如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出； （2）首先根据三角形内角和定理求出，然后求出，利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 易错题型十三 勾股定理的证明方法 37．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理，符合题意； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理得， ∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意． 故选：A． 38．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 39．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 易错题型十四 勾股定理与网格问题 40．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 41．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 42．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的周长是_______； (2)四边形的面积是_______； (3)连接，是直角三角形吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，割补法求面积，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别运用勾股定理算出每条边的长度，再根据周长公式列式计算，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． （3）结合最大边的长度的平方等于较小的两边的长度的平方和，得是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 即四边形的周长是， 故答案为：； （2）解：， 即四边形的面积是， 故答案为：； （3）解：是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 则 由（1）得 ∵ ∴是直角三角形． 易错题型十五 用勾股定理解三角形 43．如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 44．如图，中，，过斜边中点作交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到垂直平分，推出，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，为的中点， 垂直平分， ， ， 在中， ， ， ， 故答案为：． 45．如图，在和中，，，点A，C，D在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，可得，进而根据证明即可； （2）根据全等的性质可得，在中，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A，C，D依次在同一直线上，且． ∴， 在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， 在中，， 答：的长是13． 易错题型十六 勾股定理的逆定理 46．在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题． 【详解】解：A、，， ， ， 此时，是直角三角形； B、由题意，设，，， ∵， ∴， 是直角三角形； C、， ， 是直角三角形； D．∵，，， ， 不是直角三角形． 故选：D． 47．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 48．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 易错题型十七 勾股定理的应用 49．梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． (1)求的长； (2)当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． （2）先理解题意得，，再算出，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ∴在中，； （2）解：在中，，， ， ． 50．【综合与实践】 如图，每个小方格的面积均为1，图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C，图中正方形的面积如下： A B C 图（1） 4 4 8 图（2） ______ 9 13 图（3） 9 ______ 34 （1）在表格中的横线上填空． 【提出问题】 （2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，写出a，b，c之间的数量关系：______． 【解决问题】 （3）根据（2）中的发现，解决以下问题： 一个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多高？ 【答案】（1）4；25；（2）；（3）16尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，勾股定理的证明： （1）根据网格的特点，结合正方形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求得到，即； （3）根据（2）的结论求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，图（2）中正方形A的边长为2，则其面积为4； 图（3）中正方形B的边长为5，则其面积为25； 故答案为：4；25； （2）由（1）所求可得， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，由题意得，尺，尺，， ∴， ∴尺或尺（舍去）， ∴木杆折断之前有尺， 51．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【答案】(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 易错题型十八 最短路径问题 52．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，长方体的展开图，理解题意、掌握立方体的展开图是解题关键． 将长方体展开，连接，根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，共有种情况： ①如图， ，， 由勾股定理，得：； ②如图， ，， 由勾股定理，得：； ③如图， ，， 由勾股定理，得：； ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 故选：B． 53．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 54．2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 易错题型十九 用HL证全等 55．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 56．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 57．如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【详解】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2）∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 易错题型二十 全等的性质与HL 综合 58．如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证出，再证明，即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质得出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 59．如图，P是上一点，于点D，于点E，F，G分别是，上的点，且，． (1)求证：； (2)求证：是的角平分线． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）根据直接证明即可； （2）根据（1）得到，结合判定证明即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 60．如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 压轴题型一 轴对称中的折叠问题 61．如图，已知，分别是长方形纸片边和上的点，沿进行第一次折叠，的对应点分别为交于点．再沿进行第二次折叠，点的对应点分别为．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得，，，再由第二次折叠，根据折叠的性质得，从而求得；由第二次折叠，根据折叠的性质得，又因为，从而求，则有，即可求得，进而可求解． 【详解】解：∵ ∴，，， 由第一次折叠，得， ∴ ∴， 由第二次折叠，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 62．如图，长方形纸片中，E为边上一点，F为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部），在点E、F的变化过程中，当平分时，若，则 度． 【答案】或10 【分析】本题考查轴对称的性质，角的和差．设，分两种情况讨论：①当在的左侧时，②当在的右侧时，根据角的和差，结合求解即可． 【详解】解：设， 当在的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵平分， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴， 即， ∴， ∴． 当在的右侧时， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵平分， ∴， ∴， 由折叠可得， ∵在长方形纸片中，， ∴， 即， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或10 63．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由矩形的性质得出，则； ②由折叠的性质得，再由平角的定义求出的度数，再由矩形的性质得出，则，即可得出结果； （2）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由平行线的性质得出，由折叠的性质得，最后由平行线的性质得出，即可得出答案； ②由平行线的性质得出，再由折叠的性质得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①由折叠的性质得： ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； ②由折叠的性质得： ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：①由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 即， 解得：； ②， ， 由折叠的性质得：， ． 压轴题型二 轴对称中的最值问题 64．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值， ∵∠BAD＝120°， ∴∠AA′M+∠A″＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， ∴∠AMN＝2∠AA′M，∠ANM＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2(∠AA′M+∠A″)＝2×60°＝120°， 故选A．    【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理及其推论，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键． 65．如图，在中，，，，平分，点分别为上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2 C．2.4 D．5 【答案】C 【分析】取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形或成轴对称的性质可推出MN=ME，从而得到CM+ MN=CM+ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM+MN有最小值，最后利用等面积法求得CE的值即得． 【详解】解：取点N关于AD的对称点E，如下图： ∵AD平分∠BAC ∴点E在AB上 ∵点N与点E关于AD对称 ∴AD是N点与E点所连线段的垂直平分线 ∴MN=ME ∴CM+ MN=CM+ME 当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值 ∵在中，，， ∴ ∵在中，CE⊥AB ∴ ∴ ∴CM+MN最小值为：． 故选：C． 【点睛】本题考查最短路径问题、轴对称图形或成轴对称的性质、角平分线的性质及等面积法，对称转化是解决最短路径问题的常用方法，本题解题关键是将最短路径问题转化为垂线段最短的问题． 66．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 压轴题型三 等腰三角形的判定与性质 67．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？ 【答案】或或 【分析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ≌（SAS）， ， ， ，，， 当时， ，， 垂直平分， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键. 68．如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可； 如图2中，连接只要证明，即可解决问题； 结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解得， 故答案为：； （2）证明：如图2中，连接 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ； （3）解：结论： 理由：如图3中，作交OB于点， ， ， ， ， 同理， ， 由（2）知：， 即 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题. 69．在中，，E是的中点． (1)如图，以点为圆心，为半径作弧分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、作射线交于点． ①根据以上作图，请写出一条正确结论：______． ②若的面积是6，点P、N分别为、上的点，求长度的最小值； (2)点是上的点，将沿所在的直线对折，记点的对应点为． ①当时，求的长； ②若，当点Q落在直线上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)①平分；②； (2)①；②的度数为或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、尺规作图以及平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①根据尺规作图即可得出结论； ②过点作于点，由三角形面积得，再证，得，，然后证，得，则，当、、三点共线，且与垂直，即与线段重合时，的长度最小，即可得出结论； （2）①连接，交于点，证，得，，再证，得，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论； ②分两种情况，、当时，、当时，由等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）①根据作法描述，所作的是的平分线， 故答案为：平分； ②如图1，过点作于点， 则， 解得：，由①可知，平分， ， ，， ， ，， 又， ， ， ， 当、、三点共线，且与垂直，即与线段重合时，的长度最小， 长度的最小值为3； （2）解：①如图2，连接，交于点， 由折叠的性质得：△， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 垂直平分， ； ②分两种情况： 、如图3，当时， ； 、如图4，当时， ； 综上所述，的度数为或． 压轴题型四 等边三角形的判定与性质 70．央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 71．【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 72．如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)① ②或或或 【分析】（1）由可得，再利用即可得出结论； （2）①设所在直线为，过点作于点，由（1）可得，于是可得，由可得，由可得，于是可得，进而可得，可知是等边三角形，从而得出答案；②分点在线段上或点在延长线上或点在延长线上三种情形，分别画出图形，根据，可得，从而解决问题． 【详解】（1）证明：当点在线段上时， ， ， 即：， 在和中， ， ； （2）解：①如图，设所在直线为，过点作于点， 则， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， 即的周长为； ②在点在运动过程中，若的最小角为， 而， 或， 若， 而， 则； 当点在延长线上时，如图， 由题意可知，， 由（1）同理可得：， ， ， ； 当点在延长线上时，如图， 当时，； 当时，由（1）同理可得：， ， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 压轴题型五 等腰（边）三角形的存在性问题 73．已知线段，点是平面内一动点，且，连接，射线在右侧，与夹角为，作点C关于射线的对称点D，连接，，，交于点E，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，当最长时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，，再证明，进一步求解可得答案； （2）在线段上截取，如图，证明，可得，证明，为等边三角形，再进一步可得结论； （3）如图，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．证明，可得，结合，可得当最长时，，，三点在同一条直线上，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， ∵D，C是对称点 ∴， ， ， （2）证明：；理由如下： 在线段上截取，如图， ， ， ， ， ，关于对称， ， ， ∴为等边三角形， ∴， ； （3）解：如图，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长． ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 74．如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）M、N同时运动多少秒后，M、N两点重合？ （2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？ （3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由． 【答案】（1）10秒后M、N两点重合；（2）点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN；（3）M、N运动的时间为秒，理由见详解． 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形； （3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， x×1+10=2x， 解得：x=10； ∴10秒后M、N两点重合； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①， AM=t×1=t，AN=AB-BN=10-2t， ∵△AMN是等边三角形， ∴t=102t， 解得， ∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C=∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM=BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM=y-10，NB=30-2y，CM=NB， y-10=30-2y， 解得：y=．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 75．如图1，以的两边，为边向外作等边三角形，，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，连接，探究的大小； (3)如图3，若，，，，射线上是否存在一点，使也是等边三角形，若存在，试探究满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）根据得出，进而可得，在上截取，则是等边三角形，证明，即可得出结论； （3）假设是等边三角形，证明得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， （2）解： 如图所示，设交于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 在上截取，则是等边三角形， ∴，，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：射线上存在一点，使也是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴即， ∴， ∴， 又∵， ∴． 压轴题型六 直角三角形的压轴问题 76．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 77．如图所示，在中，，点、在内，且点在的垂直平分线上，连接、、，若，则的长度是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识．的延长线交于点M，连接并延长交于点F，根据等腰三角形的性质推出，，是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：的延长线交于点M，连接并延长交于点F， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 78．如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．     (1)求的度数． (2)当点是的中点时，求证：． (3)取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（）由等腰直角三角形的性质得，进而由角的和差关系即可求解； （）过点作交的延长线于点，可证，得到，又由是等腰直角三角形得，进而即可求证； （）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，即得，，即得，即可求证． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点作于点，连接，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴题型七 勾股定理中的折叠问题 79．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题． 【详解】解：∵DG＝GE， ∴S△ADG＝S△AEG＝， ∴S△ADE＝5， 由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD， ∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°， ∴•(AF+DF)•BF＝5， ∴•(4+DF)•2＝5， ∴DF＝1， ∴DB＝＝＝， 设点F到BD的距离为h， 则•BD•h＝•BF•DF， 即：， ∴h＝， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 80．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【答案】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 81．在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 压轴题型八 勾股定理的最值问题 82．如图，在中，，，．求 (1)边上中线的长 (2)在边上有一个动点，从点出发向点运动，问： ①当动点运动到边的中点时，求出的长； ②当动点运动到什么位置时，的长最小，并求出这个最小值 【答案】(1) (2)；的最小值是，此时 【分析】（1）由三线合一可得，由为边上的中线可得，由垂线的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出边上中线的长； （2）连接，由题意可知此时是的中位线，根据三角形的中位线定理即可求出的长；过点作于点，由垂线段最短可知，此时的长最小，利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的长，在中，根据勾股定理可得，于是可求出此时的长． 【详解】（1）解：，且为边上的中线， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 边上中线的长是； （2）解：如图，连接， 为中点，为中点， ， ； 如图，过点作于点， ， 由垂线段最短可知，此时的长最小， 由（1）可知：，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 当动点运动到的位置时，的长最小，这个最小值是． 【点睛】本题主要考查了三线合一，线段中点的有关计算，垂线的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 83．如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 84．为了探索代数式的最小值，小明巧妙地运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时 ； （2）请你根据上述的方法和结论，代数式的最小值等于 ． 【答案】 10 13 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点E作，交的延长线于F点．在中运用勾股定理计算求解． （2）由（1）的结果可作，过点A作，交的延长线于F点，使，，连接交于点C，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式的最小值． 【详解】解：（1）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是10． ， ， ， ， 解得：． （2）过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形． ，． ． 即的最小值是13． 故答案为10，，13． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 压轴题型九 用勾股定理解三角形 85．如图，在中，，，、分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值是（   ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，过B作并截取，过A作于E，过D作于F，证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值为，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，证明，得出，，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过B作并截取，过A作于E，过D作于F， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值是， 故选：B． 86．如图，在中，为中线，点F在上，满足，连接并延长交于点E，若则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形是解决问题的关键． 延长到，使，连接，过点作于点，依题意得，则，证明和全等得，进而再证明是等腰三角形得，则，由此可求出，然后再由勾股定理求出BP的长即可得出答案． 【详解】延长到，使，连接，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴是等腰三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ． 故答案为：． 87．已知，在等腰中，，． (1)如图①，利用圆规和无刻度直尺，在等腰内作出点，使得点到顶点，，的距离相等．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连结，，，求的值． (3)阅读并解答： 如图②，若点在等腰内，连结，，，在线段，的左侧作等边和等边，连结，则可以证明结论成立．试利用该结论，求当最短时，线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用尺规作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点； （2）延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一、勾股定理可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得当最短时，点共线，再证出是的角平分线，延长交于点，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理可得的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，延长交于点， 则是边上的垂直平分线， ∵在等腰中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． （3）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（当点共线时，等号成立）， 即如图，当最短时，点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的角平分线， 如图，延长交于点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 所以当最短时，线段的长为． 【点睛】本题考查了作垂线、等腰三角形的三线合一、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式的应用等知识，综合性较强，较难的是题（3），找出当最短时，点共线是解题关键． 压轴题型十 直角三角形证全等综合 88．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（   ） ①平分；    ②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可判断，根据三角形的外角性质判断，根据全等三角形的性质判断，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分平分， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确，符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， 正确，符合题意； 平分平分， ， 正确，符合题意； 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； 故选：． 89．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，下列结论：；；平分；．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的性质可知正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明正确；若平分，则，与矛盾，可得错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明． 【详解】解：平分，，， ， 正确； ，平分， ， ，， ， ，， ， ， 正确； ， 若平分，则，与矛盾， 错误； 如图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 正确， 综上所述，正确的有， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 90．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接．四边形的面积为64，．则的长是（   ） A．8 B． C． D．6 【答案】A 【分析】过点作于点，利用可证得，于是可得，利用三角形的面积公式可得，利用可证得，于是可得，同理可证得，于是可得，于是可推出，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），三角形的面积公式，等式的性质，垂线的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$