精品解析：广东省中山市共进联盟2025-2026学年上学期十月联考九年级数学试题

九年级十月数学单元练习试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是将一般式化为顶点式求解． 将一般式化为顶点式即可求出顶点坐标． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：A． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 7. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，这是解题的关键所在． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故③错误； ④由图象可得，当时，， ∴， ∴，故④正确； ⑤当时，为最小值， 当（m为任意实数）时，， ∴ 整理得：，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤， 故选：C． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 【详解】将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到的新抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 14. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 15. 如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移、图形的对称性、阴影面积的计算，根据抛物线的平移规则，通过将阴影部分转化为一个矩形从而计算面积． 【详解】阴影部分是一个底为(从到)，高为（从到)的矩形， 因此阴影部分的面积为底乘以高， 即， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，重点考查配方法的运用．先通过移项将常数项移到等号右侧，再在方程两边添加一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后利用直接开平方法求解未知数． 【详解】解：移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或； ∴，． 17. 已知抛物线经过点． （1）求m的值； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质与解析式，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)把代入，得出，即可解答； (2)将代入抛物线解析式，得到，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， 答：m的值为4； 【小问2详解】 将代入，得 ， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】；方程的根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求出的值，再利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个一元二次方程根的判别式， 解得． ∴这个一元二次方程为，即， ∴方程的根为． 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9分，共27分．） 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 20. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S （单位：）． （1）直接写出y与x的函数解析式（写出x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，矩形实验田的面积S能达到， （3）当时，S有最大值 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数和二次函数的应用，二次函数的最值问题，理解题意，正确列出方程与函数表达式是解题的关键； （1）根据，求出y与x的函数解析式，然后求出x的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式，再将代入函数中，求出x的值； （3）将S与x的函数配成顶点式，求出S的最大值． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， ， ， ， 即， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ，即， 分解因式得：， 或， 或（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积S能达到； 【小问3详解】 解：∵， 当时，S有最大值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．） 22. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： （1）； （2）； （3）已知实数a满足，则______． 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； 【小问2详解】 解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． 【小问3详解】 解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3），四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， 【小问3详解】 解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级十月数学单元练习试题 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图像的顶点坐标是 B. 当时，有最小值为7 C. 当时，随的增大而增大 D. 图像的对称轴是直线 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 7. 若m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 8. 某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且），小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）．其中结论正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为___________． 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 14. 若抛物线经过和两点，则______． 15. 如图，网格的每个小正方形边长均为，将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，则图中阴影部分的面积为______； 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 解方程：． 17. 已知抛物线经过点． （1）求m的值； （2）求抛物线的顶点坐标． 18. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9分，共27分．） 19. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 20. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：），与墙平行的一边长为y（单位：），面积为S （单位：）． （1）直接写出y与x的函数解析式（写出x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．） 22. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： （1）； （2）； （3）已知实数a满足，则______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $