精品解析：陕西省咸阳市乾县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

乾县一中2025秋季学年高二第二次阶段性考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.) 1. 已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意，. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即． 故选：C. 3. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可. 【详解】由题设，圆心，半径为，则到的距离， 由直线与圆相交所得弦长为4，则，即，所以. 故选：D 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，根据向量投影公式求出向量在向量上的投影向量即可. 【详解】， ， ， 向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，则， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点. （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证： 利用教材给出的材料，解决下面的问题： 已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式求解即可. 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量，平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，解得，，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 故选：A 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及复数的模以及几何意义以及韦达定理一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 所以，故A正确； ，故B错误； z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若z是方程的一个复数根，则有，， 但，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 B. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则r的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】当三条直线交于一点时，，可判断A；设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而可判断B；计算圆心到直线的距离，根据题意列不等式计算得，可判断C，根据对称性得，当最小时，计算可得，可判断D. 【详解】对于A，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 A错误； 对于B，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故B正确； 对于C，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 要使圆上恰有2个点到直线的距离等于， 则，解得，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径， 设四边形的面积为， 根据对称性可知，， 因为， 所以当最小时， 最小，也最小， 当垂直于直线时，最小，即， 此时，，故D正确. 故选：BCD 11. 在正方体中，若棱长为1，，分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与平面所成角的正弦值为定值 D. 异面直线与所成角的余弦值的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出对应直线的方向向量和平面的法向量，根据空间中证明线面垂直的向量方法，求线面夹角正弦值的向量方法，证明面面平行的向量方法，以及异面直线所成角的向量法，逐一计算判断各选项正误，可得结论. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 所以， 所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 又， 所以， 所以，又，平面， 所以平面，所以平面平面，故B正确； 设，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 所以 不为定值，故C错误； 设，，， 所以 因为，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值的范围为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知，则=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算结合模长公式计算求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 13. 已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程. 【详解】设直线的方程为，则，且， 解得或者， ∴直线l的方程为或，即或. 故答案为：或. 14. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】明确曲线的几何意义，作出其表示的图象，结合直线曲线与直线有两个交点，数形结合，即可求得答案. 【详解】方程可化为且， 所以曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合， 直线表示过点且斜率存在的直线，作图可得: 因为曲线与直线有两个交点, 观察图象可得， 又，，所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以； 【小问2详解】 由题意， 因为，， 所以，解得. 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合切线性质进行讨论即可得； （3）等价于点到点的距离的平方，再利用圆的性质计算即可得. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 由圆的标准方程为，即圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为， 故与圆相切，故符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 即，即； 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由实数满足圆的方程，则点在圆上，有， 则等价于点到点的距离的平方， 则 ， 即的最小值为， 当且仅当、、三点共线且在线段上. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 18. 过点的直线分别交与于、两点． （1）若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； （2）过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用中点公式求参数，进而确定的坐标，最后应用点斜式写出直线方程； （2）设直线m的方程为，根据已知有，再应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 设，点是A，B的中点， ∴ ，可得， ∴，则， ∴直线的方程为，即； 【小问2详解】 设直线m的方程为， ∵直线m过点，则， ， ∴当，即时取等号，则直线m的方程为. 19. 在如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，二面角为120°. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）探究平面与平面是否垂直. 【答案】（1） （2）不垂直 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得，可证平面平面，过在平面内作平面，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）求得平面的一个法向量，利用向量法可判断平面与平面是否垂直. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，则，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为，所以二面角的平面角为，则， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 过在平面内作平面，可得，， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 所以， 所以； 所以直线与平面所成角的正弦值； 【小问2详解】 由于， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面不垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾县一中2025秋季学年高二第二次阶段性考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.) 1. 已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线被圆截得的弦长为4，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 7. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点. （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，求证： （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，求证： 利用教材给出的材料，解决下面的问题： 已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 B. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于，则r的取值范围是 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则四边形面积最小值为4 11. 在正方体中，若棱长为1，，分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 直线与平面所成角的正弦值为定值 D. 异面直线与所成角的余弦值的范围为 三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 12. 已知，则=______. 13. 已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________. 14. 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 已知圆过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点作直线与圆相切，求直线的方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 18. 过点的直线分别交与于、两点． （1）若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； （2）过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 19. 在如图所示的几何体中，四边形为菱形，，，，二面角为120°. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）探究平面与平面是否垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $