精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. （，] B. （，] C. [，） D. [，） 7. 已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. C. 若，则的值域为 D. 若，则的值域为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5 B. 展开式中项的系数为140 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量X服从正态分布，则 10. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的图象关于点对称 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若关于x的方程在区间上有2023个零点，则的最小值为 11. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 为R上的增函数 D. 关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量x和y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 13. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则______. 14. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 17. 为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 次数 每周次 75 55 32 58 每周次 20 34 40 30 每周次及以上 8 8 24 16 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望； （3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用对数函数单调性解不等式，再求交集即可. 【详解】由，得，所以， 又， 所以. 故选:A. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合命题的真假判定，可得判定A错误，根据充分条件、必要条件的判定，可得判定B错误；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确，D错误. 【详解】对于A中，由命题p为真命题，命题q为假命题，根据复合命题的真假判定，可得命题“p且q”为假命题，所以A错误； 对于B中，由，可得或，所以充分性不成立； 当时，可得，所以必要性成立，所以B不正确； 对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以C正确； 对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，命题“”的否定是“” ，所以D不正确. 故选：C. 3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 4. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，，代入计算得，再根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、辅助角公式和余弦二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D 6. 已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. （，] B. （，] C. [，） D. [，） 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解. 【详解】解：， 令，，则，， 函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选：C. 7. 已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求得导数和单调性，画出图象，从而考虑有两个不同的根，从而可得或，结合图象可得，，，结合韦达定理即可得到所求值． 【详解】解：令，则， 故当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 可得处取得最小值， ，，画出的图象， 由可化为， 故结合题意可知，有两个不同的根， 故，故或， 不妨设方程的两个根分别为，， ①若，， 与相矛盾，故不成立； ②若，则方程的两个根，一正一负； 不妨设，结合的性质可得，，，， 故 又，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题． 8. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. C. 若，则的值域为 D. 若，则的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】用特例判断选项；求出值域，利用高斯函数定义求，判断. 【详解】对于A：由题意，故A错； 对于B：因为当时，，所以，故B错； 对于C：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故C错； 对于D：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故D正确． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5 B. 展开式中项的系数为140 C. 若随机变量服从二项分布，则方差 D. 若随机变量X服从正态分布，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据众数和百分位数的定义运算求解；对于B：根据题意结合二项式定理运算求解；对于C：根据二项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断. 【详解】对于选项A：可知数据的众数为5， 因为，可知第60百分位数为第6位数5， 所以众数和第60百分位数都为5，故A正确； 对于选项B：因为的展开式通项为， 则展开式中项， 所以项的系数为，故B错误； 对于选项C：因为，则， 所以，故C正确； 对于选项D：因为随机变量X服从正态分布， 所以，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的图象关于点对称 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若关于x的方程在区间上有2023个零点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的图象可求得，可知最大值为1，即A错误，由整体代入法可求得的一个对称中心为，可知B正确；利用导数的几何意义可求得C正确；根据函数的周期性以及一个周期内的零点个数可知D正确. 【详解】由题意可知的最大值为1，最小值为， 所以有解得， 因为，，所以， 又，所以，， 所以函数的解析式为，即的最大值为1，故A项错误； 令，解得，所以当时，的图象关于点对称，故B项正确； 设切点为， 由，可得， 切线方程为， 所以可得，所以，满足题意； 此时切点为，切线为，故C项正确； 令，得，此时或， 由函数周期为，且一个周期内有两个零点， 所以可得，故D项正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数的图象转换成函数的图象，并由图象求得函数的解析式，即可逐一判断选项是否正确. 11. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 为R上的增函数 D. 关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值推理判断AB；利用函数单调性定义推理判断C；将不等式等价转化，再利用单调性求解. 【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确； 对于B，令，则，，假设存在使得， 对任意实数x，有， 此时为常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误； 对于C，由，得， ，且，则，又当时，，则， 又恒成立，因此 ， 即，因此为R上的增函数，C正确； 对于D，，则， ，不等式 ，令，由，即， 解得或，即或，而为R上的增函数，， 于是或，不等式的解集为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量x和y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据经验回归直线经过样本中心点求解. 【详解】易知，， 经验回归直线过样本点的中心， 所以，则． 故答案为： 13. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得即可. 【详解】由辅助角公式得， 由，得记为①， 对于， 由，得， 依题意，所以记为②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故答案为： 14. 已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离. 【详解】解：令，则，，． 因为与关于直线对称， 所以函数与函数关于直线对称， 所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍， 函数在点处的切线斜率为， 令得，，， 所以点P到直线距离的最小值为， 所以这两点之间距离的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出C； (2)根据已知条件平方相减可得到再根据余弦定理可得出，根据三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得 内角，所以 则可得，又因， 所以 【小问2详解】 根据余弦定理可知， 则可得， 又因，且， 可得， 可得 则 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 令，则， 令， 则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ，当时，， 当时，， 如图，作出函数的大致图象， 因为函数在上恰有两个零点， 所以函数的图象恰有两个交点， 所以的取值范围为. 17. 为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 次数 每周次 75 55 32 58 每周次 20 34 40 30 每周次及以上 8 8 24 16 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望； （3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，求出卡方值，结合独立检验的基本思想得结论； （2）由分层抽样确定区间人数，再应用超几何概率的求法求对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件，根据已知确定对应概率，应用全概率公式、贝叶斯公式求目标概率. 【小问1详解】 提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在与内的人数分别为1、2， 依题意，的所有可能取值分别为0、1、2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件， 则，， . . 18. 函数的最小正周期为，为该函数的一个对称中心. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）当时，设的最大值为，求的值域； （3）把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线.试问当时，，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）能， 证明如下：先证明： 由题意可知，，，， 故， 同理， 又. 综上能作为三边长. 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，， 所以，， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值.，为定值 【解析】 【分析】（1）根据周期及对称性求得，再利用整体法结合正弦函数的性质可求增区间； （2）就对称轴是否在区间中分类讨论后可求，从而求得其值域； （3）图象变换得的解析式，再根据三角变换可证任意两数和大于第三个数，结合余弦定理可证外接圆的半径为定值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 则 ， 又，则，， 又，，所以， 令解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 的值域即为在区间上最大值与最小值之差的取值范围. ①若的对称轴在区间内，不妨设对称轴在内， 则的最大值为1，当，即时， 的最小值为； ②若的对称轴不在区间内， 则在区间内单调，在两端点处取得最大值与最小值， 且，故， 则 ， 故 故函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为，即的值域为. 【小问3详解】 把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 当时，可以作为三边长，将问题转化为证明任意两数之和大于第三个数 . 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）； （3）证明：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调递区间. （2）等价变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. （3）由（2）的结论可得，利用不等式的性质及已知得，再利用导数及零点存在性定理，结合不等式性质证得即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 不等式， 设函数，求导得， 设，求导得， 函数在上单调递增，且， 则当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $