精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级月考 数学试题 一、单选题：5*8=40 1. 已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 4. 在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在六面体中，一定有 D. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 6. 不论为何实数，直线过定点（ ） A. B. C. D. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：3*6=18分 9. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 10. 下列命题中不正确的是（ ）. A. 若､､､是空间任意四点，则有 B. 若，则､的长度相等而方向相同或相反 C. 是､共线的充分条件 D. 对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面 11. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 三、填空题：3*5=15分 12. 若直线与互相垂直，则__________. 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 14. 已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是______. 四、解答题：72分. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 圆经过三点：，，. （1）求圆的方程. （2）求圆与圆:的公共弦的长. 17. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. （3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 18. （1）若函数有且仅有一个零点，求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期 高二年级月考 数学试题 一、单选题：5*8=40 1. 已知直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意，. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法运算即可求解. 【详解】由题意可得． 故选：C. 3. 设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，则，解得． 故选：B. 4. 在空间中，若三个非零向量满足，则的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】， ， , 所以，即知为锐角． 同理可知也为锐角． 故为锐角三角形． 故选：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在六面体中，一定有 D. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A根据向量的定义即可判断；对于B根据向量模的坐标运算即可判断；对于C举反例正四棱台即可否定；对于D根据两点的坐标特征得到两点关于平面对称即可判断. 【详解】对于A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C，当六面体为平行六面体时，成立， 当六面体不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就不成立，故C错误； 对于D，由点关于平面的对称点为，故D正确； 故选：D. 6. 不论为何实数，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 8. 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可. 【详解】依题意可得，，. 设是平面BCD的法向量， 则，即，令，则得. 所以点A到平面BCD的距离， 当时，d取得最小值，此时， 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为. 故选：C 二、多选题：3*6=18分 9. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断. 【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确； 对于B，斜率，故B错误； 对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确； 对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确； 故选：ACD 10. 下列命题中不正确的是（ ）. A. 若､､､是空间任意四点，则有 B. 若，则､的长度相等而方向相同或相反 C. 是､共线的充分条件 D. 对空间任意一点与不共线的三点､､，若()，则､､､四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质. 【详解】A选项，而不是，故A错， B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错， C选项，， 即， 即，与方向相反，故C对， D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量､､表示， ∴､､､四点不一定共面，故D错， 故选ABD. 11. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 三、填空题：3*5=15分 12. 若直线与互相垂直，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据垂直关系列出方程，求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 14. 已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】 ，因为，可得， 显然当时，可得，由的值域为， 利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：72分. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式求得. （2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案. 【小问1详解】 ， 解得． 【小问2详解】 . 16. 圆经过三点：，，. （1）求圆的方程. （2）求圆与圆:的公共弦的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设圆为：，代入点坐标求出，即可求出圆的方程.；（2）联立，求出交点坐标，即可求出公共弦的长. 【详解】（1）设圆为：， 代入，，， 有， ∴圆的方程为. （2）联立， 即， 解得：交点为，， 故弦长. 17. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. （3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】（1） （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间； （ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可； （ⅲ）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可； （3）根据总样本平均数和总方差公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为； （ⅱ）平均数为； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为共10种情况； 记事件为“选出的两人来自不同组”，则共4种情况， 所以； 【小问3详解】 由题意有：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 所以， . 18. （1）若函数有且仅有一个零点，求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）讨论不成立，当时令求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和，解不等式组即可. 【详解】解：（1）当时，无零点； 当时，有且仅有一个零点，则，即：，解得：或（舍），所以. （2）当，恒成立，所以成立； 当时， ，解得：. 故. 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）过定点， 【解析】 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. 【小问2详解】 由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $