精品解析：湖南省天壹名校联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题 （B卷）

2025年下学期10月高二联考数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算和乘方运算法则求得复数，进而可得在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B． 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可. 【详解】点关于平面的对称点为， 故选：C 3. 国庆8天小长假过后，某同学统计了该年级3个班级的同学在假期旅游去过的城市个数分别为12，15，18，则这三个数据的方差为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求这三个数据的平均数，由方程的公式即可求得结果. 【详解】易得这三个数据的平均数， 方差， 故选：D． 4. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 5. 设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项可由判断；其余选项均可设，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断. 【详解】当时，， 所以与共线，则共面， 所以不能构成空间向量的一组基底，故A符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，解得，故， 则共面，故B符合题意； 当时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：AB． 6. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式求出的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由二倍角余弦公式可得， 所以， 故选：D． 7. 已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可设圆台的上、下底面圆的半径分别为，则其母线长为，可求得高，进而计算下底面圆心到上底面圆周上任意一点的距离，看到正好等于下底面圆的半径，由此得到球心位置，进而得到球的半径为，结合球的体积可求得，进而求得圆台的表面积即可. 【详解】由题意设圆台的上、下底面圆的半径分别为，则其母线长为， 可得高为， 所以下底面圆心到上底面圆周上任意一点的距离为， 又因为下底面圆的半径也等于，所以下底面圆心正好就是已知球的球心，所以球的半径为. 已知该球的体积为，由球的体积公式得，解得. 所以该圆台的表面积. 故选：C． 8. 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为. 设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知正数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；由基本不等式可判断BC；由基本不等式结合对数的运算可得D. 【详解】对于A，当时，，则不成立，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立，则，故C错误； 对于D，，因为，当且仅当时等号成立， 所以，于是，即，故D正确. 故选：BD. 10. 已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据题意得到，且两两之间的夹角均为.对选项A，计算即可判断A正确；对选项B，计算，即可判断B错误；对选项C，计算，即可判断C正确；对选项D，分别计算和，即可判断D正确. 【详解】由已知得，且两两之间的夹角均为， 所以， 对选项A，，故A正确； 对选项B， . 故B错误； 对选项C， ，即，故C正确； 对选项D， ， 又因为，所以， 又因为余弦函数在单调递减， 故，故D正确. 故选：ACD 11. 若曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 若曲线与直线有公共点，则 C. 曲线上任意两点之间距离的最大值为 D. 若圆能完全包围曲线，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过配方得到，进而得到对应曲线，结合曲线逐项判断即可. 【详解】由，得，易知曲线位于四个象限的图象分别是以，，，为圆心，为半径的半圆弧，如图所示. 选项A：曲线围成图形的面积为，（提示：通过观察图形，可得曲线围成的图形由一个边长为的正方形和四个半径均为的半圆组成） 故A错误； 选项B：若直线与曲线在第四象限相切，则，，（提示：直线与曲线在第四象限相切，即直线与圆心为，半径为的圆在第四象限相切） 得，由对称性可得直线与曲线在第二象限相切时，，数形结合可知若曲线与直线有公共点，则，故B正确； 选项C：连接，则曲线上任意两点之间距离的最大值为，故C正确； 选项D：若圆能完全包围曲线，则的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 13. 已知集合，则___________（用区间的形式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式得到集合，由指数函数的值域得到集合，然后由集合的运算即可求得结果. 【详解】由题意知， 故，所以， 故答案为：． 14. 空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，利用向量夹角公式建立方程求出，再由勾股定理得解. 【详解】如图， 由得， 由得， 由可得， 由可得， 而，得． 由得， 即，即，解得， 故由勾股定理得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的三个顶点分别是、、 （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边上的高所在直线的斜率，再由点斜式即可求得直线的方程； （2）先求出的中垂线方程，将其与联立，求得圆心，再求其半径，即得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为直线的斜率为，所以上的高所在直线l的斜率为， 故上的高所在直线l的方程为，即. 【小问2详解】 因为的中点为，斜率为，则的中垂线斜率为2， 故的中垂线方程为，即， 由联立，求解可得圆心，则圆的半径， 故圆的标准方程为． 16. 如图，在几何体中，底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，连接，过向作垂线，垂足为，先证平面，然后证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，根据向量夹角公式可得. 小问1详解】 设，连接，过向作垂线，垂足为， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因平面，所以， 因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为，结合（1）可知底面为正方形， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，. 设平面的一个法向量为， 则，令得，. 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）由正弦定理求出的表达式，利用三角函数的最值得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以． 因为，所以. 【小问2详解】 由题意可得，设，则. 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理，得， 所以 由，得，所以当， 即时，取得最小值为2. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点和分别为棱和的中点．平面经过点，设平面与分别交于两点． （1）求点到平面的距离； （2）求，并证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用等体积法求出距离； （2）利用直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证； （3）根据直线与平面所成角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 如图，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则. 因为分别为棱和的中点，所以. 设点到平面的距离为，等价于到平面的距离为． 三棱锥的体积，其中表示的面积，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 则有，又且， 则， 又，， 所以，即点到平面的距离为. 【小问2详解】 点在棱上，设． 由在平面上，则与共面，即存在实数使得 所以，可得， 解得，则，故. 同理，设，令，则， 解得，则，则， 平面的一个法向量为，且，则． 又直线不在平面内，所以平面. 【小问3详解】 由题，． 设平面的法向量为， 则，解得， 令，得法向量. 设直线与平面所成角为． 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，， 为线段上一动点． （1）证明：平面； （2）已知四点均在球的球面上． （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）2 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可证明，由线面垂直性质定理可证明，再根据线面垂直判定定理可证明得出结论； （2）（i）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示以及共线定理可证明三点共线；方法二：不妨记为中点，为中点，可得，再由线面垂直判定定理可证明平面，再结合空间距离以及点与线的位置关系可得三点共线； （ii）建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面的法向量，再由线面角的空间向量求法得出其表达式，解方程可得，求得. 【小问1详解】 因为，，所以，， 于有，故， 由平面平面，可知平面， 由平面可知， 由平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 （i）方法一：建系法：以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 设，则由， 即 解得， 于是， 故由可知三点共线. 方法二：几何法：不妨记为中点，为中点，显然有， 而由知， 由平面平面知平面. 由可知，易知有且仅有直线上任一点到的距离相等，故， 同理可知过点且垂直于平面的直线上任一点到的距离相等， 故由知点即为点，于是三点共线. （ii）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 记平面的法向量， 则，即，可取， 记直线与平面所成角为， 即，解得或（舍去），故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期10月高二联考数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 国庆8天小长假过后，某同学统计了该年级3个班级同学在假期旅游去过的城市个数分别为12，15，18，则这三个数据的方差为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 两条平行直线：与：之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A. B. C. D. 6 设，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面圆均在体积为的球的球面上，若圆台的下底面圆的半径与母线长均为上底面圆半径的2倍，则该圆台的表面积为（　　） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 已知正数满足，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A. B. C. D. 11. 若曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线围成图形的面积为 B. 若曲线与直线有公共点，则 C. 曲线上任意两点之间距离的最大值为 D. 若圆能完全包围曲线，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 13. 已知集合，则___________（用区间的形式表示）． 14. 空间内不共面的三条直线满足，且，记，已知，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的三个顶点分别是、、 （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 16. 如图，在几何体中，底面为平行四边形，平面，平面平面． （1）证明：； （2）若，且，求平面与平面夹角余弦值． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点和分别为棱和的中点．平面经过点，设平面与分别交于两点． （1）求点到平面的距离； （2）求，并证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，， 为线段上一动点． （1）证明：平面； （2）已知四点均在球球面上． （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角正弦值为，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $