1.1 探索勾股定理 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

探索勾股定理 1.1探索勾股定理 目录 模块 内容 知识点 课前准备 三角形 直角三角形 等腰三角形与等边三角形 三角形的底和高 三角形的面积 方程的解法 解法步骤 求解过程 新课探索 勾股定理的内容 勾股定理的概念 注意点 勾股定理的证明方法 赵爽证明 题型练习 用勾股定理理解三角形 以直角三角形三边为边长的图形面积 以弦图为背景的计算题 用勾股定理构造图形解决问题 易错点 总结 课前准备 三角形 1.直角三角形 定义为“有一个内角是直角（90°）的三角形”。其中，夹直角的两条边称为“直角边”，直角所对的边称为“斜边”（斜边是直角三角形中最长的边）。需能识别直角三角形的直角边和斜边。如下图所示： （ 直角边） （ 斜边） （ 直角边） 2. 等腰三角形与等边三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的底和高 从三角形的一个顶点A到它的对边BC作一条垂线，顶点和垂足之间的线段AD叫做三角形BC边上的高，边BC叫做三角形的底。 4 三角形的面积 三角形面积的核心计算公式为：( S = x底 x 高 )（其中“底”为三角形任意一边的长度，“高”为这条底边对应的垂线段长度，两者必须对应） 若两条直角边分别为 ( a ) 和 ( b )，则面积（直角边互为底和高） 方程的解法 1. 解法步骤 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得 2. 求解过程： 示例：解方程 去分母（分母2和3的最小公倍数是6，两边同乘6）： 化简得： 去括号（乘法分配律）： 左边：(3x + 3 - 6)；右边：(4x - 2) 即： 移项（含未知数项移到右边，常数项移到左边，移项变号）： 合并同类项： 系数化为1： 解析： 去分母：依据等式性质2（等式两边乘同一个非零数，等式仍成立），需注意每一项都要乘，避免漏乘常数项（如示例中的“-1”）。 去括号：依据乘法分配律 ，注意括号前的符号（正不变负变）。 移项：依据等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），移项要变号（如“3x”移到右边变为“-3x”）。 合并同类项：依据整式加减法则，将同类项系数相加。 系数化为1：依据等式性质2，两边同除以未知数系数（此处系数为1，直接得解）。 答案：方程的解为 。 3. 练习 题目1：解方程 题目2：解方程 题目3：解方程 新课探索 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么： 注意：①勾股定理只有在直角三角形中适用 ②一定要弄清楚哪条边是斜边 【练习】： 例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。 例题2：若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ） 2、 勾股定理的证明方法 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。理想状态下，可以通过左图的方式验证勾股定理； 那么,如何在“非理想”状态下验证勾股定理呢? 【赵爽证明】 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c², 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)². ∴ 4×2ab+(b-a)²=c² ∴ a²+b²=c². ∴ 【练习】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 题型练习 一、用勾股定理理解三角形 1．在△ABC中，分别是的对边，若，则的值为（    ） A．10 B．15 C．25 D．50 2．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　） A．81 B．45 C．18 D．9 5．如图，已知两正方形的面积分别是25和16，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．9 D．8 6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 三、以弦图为背景的计算题 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 8．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 9．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 四、用勾股定理构造图形解决问题 10．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 11．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 易错点 1. 忽略直角条件：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接应用。 2. 混淆直角边与斜边：误用直角边作斜边或斜边作直角边代入公式（a²+b²=c²中c为斜边）。 3. 计算遗漏平方或开方：如直接用a+b=c计算边长，或未对平方和开方得到边长。 总结 1、 直角三角形 2、 等腰三角形与等边三角形 3、 三角形的底和高 4、 三角形的面积：S = x底 x 高 5、 方程的解法 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得 6、 勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么： 7、 赵爽证明 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c², 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)². ∴ 4×2ab+(b-a)²=c² ∴ a²+b²=c². ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索勾股定理 1.1探索勾股定理 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 第一章节暂无 课前准备 三角形 直角三角形 2 三角形 等腰三角形与等边三角形 三角形的底和高 三角形的面积 方程的解法 解法步骤 4 方程的解法 求解过程 新课探索 勾股定理的内容 勾股定理的概念 6 勾股定理的内容 注意点 勾股定理的证明方法 赵爽证明 7 勾股定理的证明方法 题型练习 用勾股定理理解三角形 9 题型练习 以直角三角形三边为边长的图形面积 以弦图为背景的计算题 用勾股定理构造图形解决问题 易错点 17 易错点 总结 18 总结 课前准备 三角形 1.直角三角形 定义为“有一个内角是直角（90°）的三角形”。其中，夹直角的两条边称为“直角边”，直角所对的边称为“斜边”（斜边是直角三角形中最长的边）。需能识别直角三角形的直角边和斜边。如下图所示： （ 斜边） （ 直角边） （ 直角边） 2. 等腰三角形与等边三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 3. 三角形的底和高 从三角形的一个顶点A到它的对边BC作一条垂线，顶点和垂足之间的线段AD叫做三角形BC边上的高，边BC叫做三角形的底。 4 三角形的面积 三角形面积的核心计算公式为：( S = x底 x 高 )（其中“底”为三角形任意一边的长度，“高”为这条底边对应的垂线段长度，两者必须对应） 若两条直角边分别为 ( a ) 和 ( b )，则面积（直角边互为底和高） 方程的解法 1. 解法步骤 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得 2. 求解过程： 示例：解方程 去分母（分母2和3的最小公倍数是6，两边同乘6）： 化简得： 去括号（乘法分配律）： 左边：(3x + 3 - 6)；右边：(4x - 2) 即： 移项（含未知数项移到右边，常数项移到左边，移项变号）： 合并同类项： 系数化为1： 解析： 去分母：依据等式性质2（等式两边乘同一个非零数，等式仍成立），需注意每一项都要 乘，避免漏乘常数项（如示例中的“-1”）。 去括号：依据乘法分配律 ，注意括号前的符号（正不变负变）。 移项：依据等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），移项要变号（如“3x”移 到右边变为“-3x”）。 合并同类项：依据整式加减法则，将同类项系数相加。 系数化为1：依据等式性质2，两边同除以未知数系数（此处系数为1，直接得解）。 答案：方程的解为 。 3. 练习 题目1：解方程 解析： ， ， 。 题目2：解方程 解析： ， ， ， ， 。 题目3：解方程 解析： ， ， ， ， 。 新课探索 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么： 注意：①勾股定理只有在直角三角形中适用 ②一定要弄清楚哪条边是斜边 【练习】： 例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。 解：设斜边的长为 c。 根据勾股定理，得 将 ， 代入，得 计算得 所以 答：斜边的长为10。 例题2：若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ） 解析：根据勾股定理，得=- 所以：==64 另一条直角边为 8 2、 勾股定理的证明方法 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。理想状态下，可以通过左图的方式验证勾股定理； 那么,如何在“非理想”状态下验证勾股定理呢? 【赵爽证明】 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c², 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)². ∴ 4×2ab+(b-a)²=c² ∴ a²+b²=c². ∴ 【练习】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的 面积.用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案. 【详解】解：大正方形的边长为c,因此面积可以表示为c2,中间小正方形的边长(b-a),因此 面积可以表示为(b-a)²,大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三 角形的面积，因此大正方形面积可以表示为：(b-a)²+4×2ab=a²+b²,a2+b²=c2. 故答案为：a2+b²=c2. 题型练习 一、用勾股定理理解三角形 1．在△ABC中，分别是的对边，若，则的值为（    ） A．10 B．15 C．25 D．50 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长度的平方和等于斜边长 度的平方，据此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵在△ABC中，分别是的对边， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作 交于D，由勾股定理可求得长，根据等腰三角形三线合一可知 ，则题目可解． 【详解】解：作交于D， ∴BD=8 ∵， ． 故选：C． 3．如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键； 先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积． 【详解】解：∵，，， ∴AC=15 又∵，， ∴AD=9， ∴的面积为：， 故选：B． 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　） A．81 B．45 C．18 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得．注意勾股定理应 用的前提条件是在直角三角形中．小正方形的面积为的平方，大正方形的面积 为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得 长度已知，故可以求出两正方形面积的和． 【详解】解：正方形的面积为：， 正方形的面积为：； 在中，， 则． 即正方形和正方形的面积和为81． 故选：A． 5．如图，已知两正方形的面积分别是25和16，则字母B所代表的正方形的面积是（   ） A．12 B．13 C．9 D．8 【答案】C 【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，建立起，，的关系，代入计算即可． 2 本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键：直角三角形的两 条直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：如图，设以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为， 以为边的正方形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 三、以弦图为背景的计算题 7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积 个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除 以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大 正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 9．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正 方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求 出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 四、用勾股定理构造图形解决问题 10．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（    ）尺． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水 深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 11．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺， 退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 易错点 1. 忽略直角条件：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接应用。 2. 混淆直角边与斜边：误用直角边作斜边或斜边作直角边代入公式（a²+b²=c²中c为斜边）。 3. 计算遗漏平方或开方：如直接用a+b=c计算边长，或未对平方和开方得到边长。 总结 1、 直角三角形 2、 等腰三角形与等边三角形 3、 三角形的底和高 4、 三角形的面积：S = x底 x 高 5、 方程的解法 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得 6、 勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么： 7、 赵爽证明 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c², 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)². ∴ 4×2ab+(b-a)²=c² ∴ a²+b²=c². ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $