1.2一定是直角三角形吗 讲义　2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

1.2一定是直角三角形吗 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】由三边判定三角形形状 3 【题型2】综合分析直角三角形 5 【题型3】勾股数的识别与计算 8 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 10 【题型5】勾股定理与逆定理的应用 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春•东莞市校级月考）若三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据绝对值非负性，算术平方根的非负性质得出a,b,c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出这个三角形是直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：∵， ∴a-3=0，b-4=0，c-5=0， ∴a=3，b=4，c=5， ∴a2+b2=32+42=25，c2=52=25， ∴a2+b2=c2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积是． 故选：B． 2.（2024秋•江阴市期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c= B．a=1，b=2，c= C．a：b：c=3：4：5 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理对A、B、C进行逐一判断，再利用三角形内角和定理可得D选项中最大角的度数，进而可进行判断． 【解答】解：A、∵12+（）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； B、∵12+22=（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； C、∵32+42=52，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； D、∵180°×=5°，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求． 故选：D． 【知识点2】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2024秋•渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、，1，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意； B、∵32+42≠72， ∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、1，，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意； D、∵62+82=102， ∴这一组数是勾股数，符合题意， 故选：D． 【题型1】由三边判定三角形形状 【典型例题】的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、设，则，， ， ，解得， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【举一反三1】下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A.三个角的比为 B.三条边满足关系 C.三条边的比为 D.三个角满足关系 【答案】C 【解析】解：、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确； 、三条边满足关系，故正确； 、三条边的比为，，故错误； 、三个角满足关系，则为，故正确． 故选：． 【举一反三2】的三边为，，且，则该三角形是　　 A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】解：原式可化为， 此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理， 所以此三角形是直角三角形． 故选：． 【举一反三3】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【答案】直角 【解析】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为直角． 【举一反三4】已知的三边长分别为，，．求证：是直角三角形． 【答案】证明： ， ， ， 是直角三角形． 【题型2】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【答案】A 【解析】解：．，，并且， ， 不是直角三角形，符合题意； ．，， ， ， 是直角三角形，不合题意； ．， ，即， 是直角三角形，不合题意； ．，， ， ， ， 是直角三角形，不合题意． 故选：． 【举一反三1】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，，此条件能够判定为直角三角形，故符合题意， 故选：． 【举一反三2】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【答案】C 【解析】解：、， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， 不是直角三角形， 故符合题意； 、，，，， 是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【举一反三3】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，，此条件能够判定为直角三角形，故符合题意， 故选：． 【题型3】勾股数的识别与计算 【典型例题】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：、，0.4，0.5不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； 、， 是勾股数，故本选项符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【举一反三1】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】解：正整数，，是一组勾股数，根据题意，不妨设最大，则：， ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，一定是勾股数，故正确； ．，，， ， ，，不一定是一组勾股数，故错误． 故选：． 【举一反三2】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【答案】C 【解析】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【举一反三3】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【答案】C 【解析】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【举一反三4】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【答案】B 【解析】解：、，0.4，0.5不是整数， 不是勾股数，故本选项不符合题意； 、， 是勾股数，故本选项符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意； 、， 不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 　　组这样的“完美勾股数”． 【答案】7． 【解析】解：，， ， 大于3小于231的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，一共7个， ∴共有7组这样的“完美勾股数”． 故答案为：7． 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）、，能构成勾股数，故符合题意； （2）、，能构成勾股数，故符合题意； （3）、，不能构成勾股数，故不符合题意． （4）、均不是整数，所以不能构成勾股数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【答案】解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； 当时，，； 第四组勾股数是，40，； 故答案为：，，，40，； （2）证明：，，，其中且是整数， ， ， 以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】观察下列各组勾股数的组成特点， 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； 第7组：，，． （1）写出第7组勾股数，，各是多少． （2）写出第组勾股数，并证明． 【答案】解：（1）第一组：，，， 第二组：，，， 第三组：，，， 第四组：，， 第七组勾股数是，，，即15，112，113； （2）由（1）的规律可知，第组勾股数是，，． 证明：， ， ， ． 第组勾股数是，，． 【题型5】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】A 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，即为直角三角形， 这块地的面积为． 故选：． 【举一反三1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 这块菜地的面积为， 故选：． 【举一反三2】已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 【答案】36． 【举一反三3】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【答案】90． 【解析】解：以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， ， ，， ， ． 故答案为90． 【举一反三4】如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【答案】解：（1）连接，如图． 在中，，，， ． 即、两点之间的距离为； （2）， ， 四边形纸片的面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2一定是直角三角形吗 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】由三边判定三角形形状 2 【题型2】综合分析直角三角形 3 【题型3】勾股数的识别与计算 3 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 4 【题型5】勾股定理与逆定理的应用 5 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春•东莞市校级月考）若三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．10 2.（2024秋•江阴市期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c= B．a=1，b=2，c= C．a：b：c=3：4：5 D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 【知识点2】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2024秋•渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 【题型1】由三边判定三角形形状 【典型例题】的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三1】下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是　　 A.三个角的比为 B.三条边满足关系 C.三条边的比为 D.三个角满足关系 【举一反三2】的三边为，，且，则该三角形是　　 A.以为斜边的直角三角形 B.以为斜边的直角三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.锐角三角形 【举一反三3】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【举一反三4】已知的三边长分别为，，．求证：是直角三角形． 【题型2】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别是，，．下列不能说明是直角三角形的是　　 A.，， B. C. D. 【举一反三1】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【举一反三2】下列条件中，、、分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是　　 A. B. C. D.，， 【举一反三3】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【题型3】勾股数的识别与计算 【典型例题】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【举一反三1】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三2】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【举一反三3】下列四组数中，为勾股数的是　　 A.2，3，5 B.4，12，13 C.3，4，5 D.1，2，3 【举一反三4】下列各组数中，是勾股数的是　　 A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13 C.9，16，25 D.1，2，3 【题型4】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】满足的三个正整数，称为勾股数．若正整数，满足，这样的三个整数，，（如，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当时，共有 　　组这样的“完美勾股数”． 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】观察下列各组勾股数的组成特点， 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； 第7组：，，． （1）写出第7组勾股数，，各是多少． （2）写出第组勾股数，并证明． 【题型5】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 【举一反三1】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【举一反三2】已知，如图，，，，，，则四边形的面积是 　　． 【举一反三3】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，．则　　． 【举一反三4】如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，． （1）求、两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $