3.3勾股定理的简单应用 题型分类解答题专题训练 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册《3.3勾股定理的简单应用》 题型分类解答题专题训练一（附答案） 一、勾股定理与网格问题 1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，请分别画出面积为和的两个正方形： 2．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上． (1)图中与线段的长相等的线段是________； (2)求的值． 3．如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中格点 的面积． (2)判断的形状，并证明你的结论． 4．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上． (1)求四边形的周长及面积； (2)求的度数； (3)画出点C到线段的垂线段，并求出垂线段的长． 5．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．    (1)在图1中画一条线段，使，线段的端点在格点上； (2)在图2中画一个斜边长为的等腰直角三角形，其中，三角形的顶点在格点上，并求的面积． 二、勾股定理与折叠问题 6．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    7．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 8．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 9．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 10．矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 三、勾股定理与旗杆问题 11．强大的台风使得一根旗杆在离地面5处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12处，旗杆折断之前的高度是多少米？ 12．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度．（滑轮上方的部分忽略不计） 13．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 14．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 15．实践与探究 八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 四、勾股定理与梯子滑落问题 16．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 17．如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 18．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处，，测得顶端A距离地面的高度为2米，为米，且顶端C距离地面的高度比多米，求的长． 19．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 20．【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端外移的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 参考答案 1．见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．由正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，且，， 画出面积为和的两个正方形如图所示：    2．(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解． （1）根据勾股定理可得，据此即可求解； （2）由图推出得，据此即可求解 【详解】（1）解：由图可知：， 所以与线段的长相等的线段是． 故答案为：． （2）解：由图可知：，，， 所以， 所以， 所以． 由图可知，， 所以． 3．(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）先根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：是直角三角形．理由如下： 是直角三角形． 4．(1) (2) (3)图见解析， 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据勾股定理求出各边的长度即可得到周长，根据三角形面积公式即可求出四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案； （3）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， ， ∴四边形的周长, 四边形的面积； （2）∵， ∴， ∴是直角三角形，， （3）如图，即为所求， ∵， ∴， ∴ 5．(1)图见解析 (2)图见解析； 【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定． （1）结合勾股定理作图即可； （2）根据，结合勾股定理作图即可；根据等腰直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）如图1所示，线段即为所求．    （2）斜边长为的等腰直角三角形， 又 如图2所示，斜边长， 又， ， 如图2中，等腰直角三角形即为所求．    6． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 7．(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 8．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 10．(1)①；② (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作，为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； （3）解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， 由翻折知， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 用勾股定理求出折断部分的长度，加上未折断的长度即可求出旗杆折断之前的高度． 【详解】解：折断部分的长度为 旗杆折断之前的高为 12．旗杆的高度为17米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过点作于点，设旗杆的高度为，则，，．然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设旗杆的高度为，则，，． 在中，，即，解得． 答：旗杆的高度为17米． 13．(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 14．(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 15．(1)风筝的垂直高度为13.6米 (2)风筝的牵引线的长是41米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：                                               ， 答：风筝的牵引线的长是41米． 16．点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 17．(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 18．2.2米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键．先在中，根据勾股定理求出梯子的长度，然后在中根据勾股定理求出的长，进而可求解． 【详解】解：由题意可得：在中，，米，米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 19．(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 20．(1) (2) (3)能，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得云梯能达到的高度，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）解：，， ∴， ∴； （3）解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 学科网（北京）股份有限公司 $