精品解析：山东省烟台市招远市第二中学2025-2026学年高二10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期高二期中月考检测 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 3. 在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 4. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 5. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 6. PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三条射线两两所成的角均为,不容易直接建系.可以把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．因此在正方体中建立空间直角坐标系，先求出直线与平面所成的角的正弦值，再根据同角三角函数关系式求出其余弦值. 【详解】如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系（其中为原点），设正方体的棱长为1， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，所以， 所以． 设直线与平面所成的角为，所以， 所以. 故选：A. 7. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，，又直线的斜率为， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，B正确；  对于C，当直线与平行时，解得， 当直线与平行时，解得， 显然直线与交于点，当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，得到， 故，解得，则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 10. 在直三棱柱中，，，E，F分别是BC，的中点，D在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明判断A；由线面角的向量求法计算判断B；利用异面直线向量求法求出直线与直线所成角最小时点的位置判断C；确定直三棱柱的外接球球心位置并计算半径，D正确. 【详解】在直三棱柱中，平面，又平面， 则，又，因此两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 对于A，点，，平面的一个法向量为， 则，又平面，因此平面，A正确； 对于B，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为， 则，B正确； 对于C，点，， 由在线段上，设，其中， 则， 因此直线与直线所成的角的余弦值为 ， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值， 由余弦函数单调性得此时直线与直线所成的角最小，因此，， 线段长为，C错误； 对于D，由，，得为等腰直角三角形， 外接圆圆心为的中点，外接圆半径为， 因此直三棱柱的外接球球心即为的中心，， 则外接球半径为，D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为1的正方体中，点P在正方形内，且不在棱上，又，则（ ） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点P在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面PAD和平面PBC所成角为、，则可以为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据可得的轨迹为如图所示的线段（不含两点），故可判断AC的正误，利用空间向量数量积的坐标形式计算后可判断B的正误，利用向量法求出后结合三角变换公式求出后结合在上无解可判断D的正误. 【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中， 因为点在正方形内，且不在棱上，故设， 对于C，因为，故，故， 故，取的中点为，的中点为， 则的轨迹为（不含两点），故C正确； 对于A，因为，故到平面的距离为1， 而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值， 故A正确； 对于B，又， 故，故B错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，取， 而，故. 而，设平面的法向量为， 则，取， 故. 因为，故，， 故， 令，整理得， 故，而，故， 而，故在无解，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，进而由截距式写出直线方程. 【详解】因为为的中点，故, 则直线的截距式方程为. 故答案为： 13. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 14. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点（含端点），，设.若三棱锥的体积为，则x的值为__________；二面角正切值的取值范围为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由，利用锥体的体积公式，列出方程，求得；过点作，推出且，得到为二面角的平面角，结合面积相等法，求得，设，求得，结合，进而求得二面角正切值的取值范围. 【详解】由正方体的棱长为，分别为上的动点，且， 在正方体中，可得底面， 则， 即，即，解得； 过点作，垂足为， 因为底面，底面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 又由，可得 在直角中，可得， 所以， 设，可得，则， 设，可得函数在上单调递减， 当时，取得最大值，最大值为，即的最大值为； 当时，取得最小值，最小值为，即的最小值为， 所以，又由， 当时，可得；当时，可得， 所以由，即二面角正切值的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线； （1）若，求实数的值； （2）若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，满足，解得. 所以实数的值为. 【小问2详解】 因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 16. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明:取中点，连接，， ∵，，点为中点， ∴， 又∥，∴四边形为平行四边形， ∴∥，，∵为正方形， ∴∥，，∴∥，， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴∥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，可证四边形为平行四边形，可得∥，可证结论； （2）以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为， ，令，则，，所以， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 18. 如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 19. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点. （1）当平面时，求的值； （2）当最小时，求与所成角的余弦值； （3）当二面角的大小为时，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴构建空间直角坐标系，由条件确定在轴上，设，求平面的法向量，由线面平行有求参数值，即可得； （2）利用空间两点距离公式求参数值，得，再应用向量法求异面直线夹角的余弦值； （3）求出平面的法向量，结合二面角大小及向量夹角的求法列方程求参数值，即可得. 【小问1详解】 底面是等腰梯形，，，，， 所以，则， 又，可得，故， 以为原点， 分别为轴，作射线垂直于点为轴， 构建如图空间直角坐标系，则， 所以，，显然满足， 因为是边长为的正三角形，故的高为， 所以的高为，且在平面上的投影在的角平分线上， 设且，则， ， 若是平面的一个法向量，则，可取， 若是平面的一个法向量，则，可取， 由平面平面，则，可得，故，即在轴上， 显然平面，又，故， 即为等腰直角三角形，则到的距离为，故，所以， 设，则，则， 所以，而，， 若是平面的一个法向量，则，取， 由平面，则，可得， 此时，故； 【小问2详解】 由，则， 当，最小，此时，则，而， 所以，故所求异面直线的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，平面的法向量为，，， 设平面的法向量，则，取， 二面角的大小为，则， 整理得，即，故， 所以（负值舍），故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二期中月考检测 数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 3. 在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 6. PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 10. 在直三棱柱中，，，E，F分别是BC，的中点，D在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线EF与平面ABC所成角的正弦值为 C. 直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 11. 在棱长为1的正方体中，点P在正方形内，且不在棱上，又，则（ ） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点P在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面PAD和平面PBC所成角为、，则可以为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当M为的中点时，此直线的截距式方程为______. 13. 如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为_____________ ． 14. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点（含端点），，设.若三棱锥的体积为，则x的值为__________；二面角正切值的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线； （1）若，求实数的值； （2）若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 16. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 19. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，为正三角形，且平面平面，设为线段上一动点. （1）当平面时，求的值； （2）当最小时，求与所成角的余弦值； （3）当二面角的大小为时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $