第3章勾股定理 自主学习单元达标测试题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册《第3章勾股定理》 自主学习单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为（     ）． A． B． C． D． 2．下列各组数据是三角形三条边的长，组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 5．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（   ） A．7m B．8m C．9m D．10m 7．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（   ） A．13米 B．10米 C．米 D．米 8．如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 10．若一个三角形的三边长分别是12、16、20，则这个三角形的形状是 ． 11．已知中，，则最长边上的高为 ． 12．如图，点A表示的实数是 ． 13．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ． 14．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 15．如图，在水塔O的东北方向处有一抽水站A，在水塔O的东南方向处有一建筑工地B．若要在之间修建一条直水管，则水管的长为 m． 16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为 米． 三、解答题（满分72分） 17．在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 18．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19．如图，在中，，，，求： (1)边上的高的长度； (2)的面积． 20．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 21．（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长． （2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上． ①求的长． ②求的长． 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 23．【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算即可，解题的关键是掌握直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴斜边长为， 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据题意，逐项验证是否符合勾股定理即可判断． 【详解】对于A，，故是直角三角形，不符合题意； 对于B，，故是直角三角形，不符合题意； 对于C，，故不是直角三角形，符合题意； 对于D，，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，整体考虑是解题的关键．根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 5．B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识解决问题的关键．根据勾股定理可求出，则题目可求． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是． 故选： B． 7．D 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 9．13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 10．直角三角形 【分析】选取较短的两条边求其平方和，与最长边的平方进行比较，根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形； 本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13等等. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形. 故答案为：直角三角形． 11． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据三角形的三边分别为，得出此三角形为直角三角形，根据等积法求出斜边上的高，即可得出最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， 设边上的高为h，则， 即， 即最长边上的高为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，从数轴上获取已知信息是解题的关键． 根据数轴上获取的条件和数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可． 【详解】解：“捷径”长（米）， 他们仅仅少走了（米）， 故答案为：． 15．17 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 16．2.7 【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可得： ， 在中， ∵米， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴小巷的宽度为（米）． 故答案为：2.7． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 18．36 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 19．(1)12 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先，则，又因为是边上的高，则运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）根据三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， ∵ 则， ∵是边上的高，， ∴ ∴， 解得， ∴， （负值已舍去）． （2）解：由（1）得，是边上的高， ∵， ∴． 20．超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 21．（1）10cm；（2）① 4cm；② 3cm 【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可； （2）①根据翻折得到，利用求出的长即可； ②在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）设，则， 在中：，即：， 解得：； ∴； （2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， ∴； ②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， 设，则， 在中：，即：， 解得：； 即：． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键． 22．(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 23．解：（1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 学科网（北京）股份有限公司 $