第3章勾股定理 单元同步练习题 2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册《第3章勾股定理》 单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．2，3，4 B．，， C．4，4，7 D．5，， 2．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，且点到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（　　） A． B． C．1 D．1 3．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 4．如图，某公园有一块草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．已知，他们踩伤草坪，仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 7．如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30 二、填空题 8．直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边长为 ． 9．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 10．如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 11．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ； 12．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 13．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为 米． 14．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题 15．计算： (1)在中,，求c； (2)在中,， 求c； (3)一个直角三角形的两边长分别为和，求这个三角形的第三边长． 16．某中学A、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．求出四边形空地的面积． 17．一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 18．[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 19．为了迎接国庆70周年，南海区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行爱国主义宣传教育．如图，笔直公路的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路的距离为1200米，假使宣讲车P周围1300米以内能听到广播宣讲，宣讲车P在公路上沿方向行驶． (1)请问村庄能否听到宣讲？并说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是250米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣讲？ 20．如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 21．已知：是等腰直角三角形，动点P在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： (1)如图①，若点P在线段上，且，，则： ①线段______． ②猜想：，，三者之间的数量关系，并证明． (2)如图②，若点P在的延长线上，问：在（1）中所猜想的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股树（数）问题，解题关键是掌握勾股树（数）并能运用求解． 根据勾股数的意义，通过计算对四组作出判断． 【详解】解：，故A不符合； 勾股数是整数，，，不是整数，故B不符合； ，故C不符合； ，故D符合， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴．先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵， ∴点C表示的数为， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查勾股定理的应用，用勾股定理解求出，进而即可求解． 【详解】解：由勾股定理，得， 少走了． 故选C． 5．B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 8．10 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边分别为6和8， ∴斜边长为． 故答案为：10． 9．5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 11．/5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边， 由题意得，，， 在中，， 即它所走的最短路线长度为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为 ． 故答案为：． 13．10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 14．7 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．根据题意知点B关于直线的对称点为点A，故当点P与点E重合时，的最小值，求出的值即可得到结论． 【详解】解：垂直平分， 关于对称， 如图，连接， ， ， ∴当P和D重合时，的值最小， 此时，， 在中，，，， ， 周长的最小值是． 故答案为：7． 15．(1)17 (2)3 (3)或 【分析】本题考查了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）的应用，解题的关键是明确直角三角形中斜边为直角所对的边，当已知两边长未明确斜边时，需分情况讨论哪条边为斜边． （1），故c为斜边，a、b为直角边，直接用勾股定理计算；   （2），故a为斜边，b、c为直角边，用勾股定理计算；   （3）两边长和，分两种情况：均为直角边时，第三边为斜边为斜边、为直角边时，第三边为另一直角边，分别用勾股定理计算． 【详解】（1）解：∵在中，，   ∴c为斜边，由勾股定理得，   ∵，   ∴． （2）∵在中，，   ∴a为斜边，由勾股定理得，即，   ∵，   ∴． （3）设第三边长为，   ①当和均为直角边时，x为斜边，   则；   ②当为斜边，为直角边时，x为另一直角边，   则．   故第三边长为或 ． 16．平方米 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，分别求出和的面积，题目可解． 【详解】解：连接，         在中， ∵，米，米， ∴米， 在中， ∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 平方米． ∴四边形空地的面积为平方米． 17．岛在港的北偏西． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，由题意得，，，，，，则，由勾股定理得，所以，由勾股定理的逆定理推知，然后由方向角的定义作答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【详解】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 19．(1)能听到，见解析 (2)4分钟 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解题关键． （1）根据村庄村庄A到公路的距离为1200米，小于1300米解答； （2）分两种场景，利用勾股定理求出线段的长度，求出听到声音的总长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：由题意知，宣讲车可传播声音范围为1300米， 因此只要在行驶途中宣讲车与村庄距离小于1300米， 即可让村庄听到宣讲， 由题知村庄到公路距离为米小于1300米， 因此，可以听到宣讲； （2）解：当宣讲车与村庄直线距离为1300米时，村庄恰好可以听到宣讲， 抽象为数学模型可知， 这里应注意P为动点，因此P可能在段，也可以在段， 当P移动到段时有图（一）， 则可知，， 在中由勾股定理知：． ， ； 当P移到段时有图（二）， 则可知，， 在中由勾股定理知：， ， ， 由此可知，可听到广播距离为米， 则能听到宣讲的时间为（分钟）． 20．(1)7 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 21．(1)①；②，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解； ②连接，证明，可得，再由勾股定理可得结论； （2）过点C作，垂足为D，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理分别表示出和，进而得，再由勾股定理得，，进而可得结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：； ②，证明如下： 如图①，连接， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， 由①知为直角三角形， ， 又， ； （2）解：（1）中所猜想的结论仍然成立，证明如下： 如图②：过点C作，垂足为D． 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可知：， ， 为等腰直角三角形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $