4.1成比例线段课时练 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

4.1 成比例线段课时练 一、单选题 1．下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（    ） A．， ，， B．1，，， C．，，， D．，，，7 2．在比例尺为的地图上，A，B 两城市之间的距离为，则这两城市之间的 实际距离为（　　） A． B． C． D． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（    ） A．8 B．0.5 C．2 D．20 4．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 6．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 8．已知点P是线段的黄金分割点且，若，那么线段为（        ）． A． B． C． D． 9．若，则k的值为（    ） A． B．1 C． D．或 10．如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知线段，线段，则线段与的比为 ． 12．若且，则的值为 ． 13．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 14．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    15．已知，则： ． 三、解答题 16．若，求的值． 17．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18．已知 ，且，求的值 19．已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.1 成比例线段》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D A A C D C 1．C 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A. ，故四条线段不成比例，不合题意； B. ，故四条线段不成比例，不合题意； C. ，故四条线段成比例，符合题意； D. ，故四条线段不成比例，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2．D 【分析】本题考查了比例尺，根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：， ， A、B两城市之间的实际距离是， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键． 利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可． 【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，根据两内项之积等于两外项之积整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了黄金分割比，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割比的表示形式是解题的关键． 由题意知，，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，即，整理得，， ， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了比例，解题的关键是掌握比例的性质． 由题设条件可得三个方程，通过联立方程并分情况讨论a + b + c是否为0，得出k的可能值． 【详解】 将三式相加，得： 情况1：若，两边约去，得： 情况2：若，则，代入第一个方程得： 若，则， 同理，代入其他方程可得 此时分母（因），故成立， 综上，的值为或， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了此题考查根据不同比例关系列出比例式，解题关键在于熟练掌握比例式的运算和求解. 本题首先应统一线段单位，再根据所给比例关系列出比例式求解即可. 【详解】解：根据题知cmm， 所以, 故答案为： ． 12．/0.6 【分析】根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键． 13．2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 14． 【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 15． 【分析】根据比例关系假设，，代入即可求值． 【详解】∵， ∴， ∴设，， ∴ 【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是熟练掌握有关比例关系的数量关系． 16． 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设，，，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段， （1）根据题意可设，由得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据比例中项的定义得到，解之可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 18．33 【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值． 先设，可得，，，而，那么，易求，进而可求、、的值，代入计算即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 19．(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $