5.2二次函数的图象与性质（同步提升训练）2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 5.2二次函数的图象与性质 （同步提升训练） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3.若函数的图象过点 、、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4.若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5.二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ） A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定 6.设函数(a，h，k实数，)，当时，，当时，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.函数与y轴的交点坐标是_______． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________________． 11. 二次函数y＝﹣3x2中，当x2＜x1＜0时，相应的函数值y1与y2的大小关系是 　　 ． 12.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为___________. 13.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 14.若实数a，b，c满足：，则c的最大值为____． 15.如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 　 　． 16.如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是_________． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 18.已知抛物线． （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式． 19.平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0）． （1）求二次函数对称轴； （2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标． 20.已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； （2）当时，______； （3）与x轴的交点_______； （4）当函数值时，x的取值范围_________． 21.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为A（﹣1，0），另一交点为B，与y轴的交点为（0，3），顶点为P． （1）求此二次函数的解析式； （2）用配方法把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出点P坐标． （3）直接写出当﹣2＜x＜2时y的取值范围 　 　． 22.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值． 23.二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B的坐标； （2）若，点D是该二次函数在第一象限图象上的动点，作轴，交二次函数的图象于另一点E，作点D关于y轴的对称点F．那么线段的长是否为定值，请说明理由； （3）若点P是该二次函数图象上的动点（不与A，B，C重合），作直线，分别与y轴交于点M，N，在P点运动的过程中，是否为定值，说明理由． 24.如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.若函数的图象过点 、、，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4.若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ） A. 有1个交点 B. 有2个交点 C. 无交点 D. 无法确定 【答案】B 6.设函数(a，h，k实数，)，当时，，当时，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 7.已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.函数与y轴的交点坐标是_______． 【答案】 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________________． 【答案】 12. 二次函数y＝﹣3x2中，当x2＜x1＜0时，相应的函数值y1与y2的大小关系是 　　 ． 【答案】y1＞y2 12.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为___________. 【答案】0 13.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线的解析式是______． 【答案】 14.若实数a，b，c满足：，则c的最大值为____． 【答案】5 15.如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 　 　． 【答案】 16.如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是_________． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.已知抛物线与轴交于点，，且经过点求出二次函数的解析式． 【答案】设二次函数的解析式为 抛物线经过点 解得： 二次函数的解析式为． 18.已知抛物线． （1）求证：无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：∵，， ∴该抛物线的最低点为， ∵直线经过该抛物线的最低点， ∴， 解得：或， 当时，二次函数解析式为， 当时，二次函数解析式为， 综上所述，二次函数的解析式为或． 19.平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0）． （1）求二次函数对称轴； （2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标． 【答案】解：（1）∵y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a， 即：， ∴该二次函数的对称轴为； （2）设点（﹣1，y1），（3，y2）是二次函数图象上的点， ∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）图象的开口向上，对称轴为， ∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离小于（3，y2）到对称轴的距离， ∴y1＜y2， ∵当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4， ∴当x＝3时，y2＝4， ∴9﹣3﹣a2﹣a＝4， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得：a1＝1，a2＝﹣2， ∵a＞0， ∴a＝1， 当a＝1时，， ∴该函数的顶点坐标为． 20.已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … （1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； （2）当时，______； （3）与x轴的交点_______； （4）当函数值时，x的取值范围_________． 【答案】（1）观察表格可知当时，，当时，， 所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 因为对称轴是， 所以和时的函数值相等，所以． 故答案为：5； 【小问3详解】 观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和． 故答案为：和； 【小问4详解】 当时，，当时，，且抛物线开口向上， 所以当或时，． 故答案为：或． 21.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为A（﹣1，0），另一交点为B，与y轴的交点为（0，3），顶点为P． （1）求此二次函数的解析式； （2）用配方法把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出点P坐标． （3）直接写出当﹣2＜x＜2时y的取值范围 　 　． 【答案】（1）∵二次函数经过点（-1，0），（0，3）， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）∵二次函数解析式为， ∴， ∴P（1，4）； （3）由（2）可知二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数解析式为，-1＜0， ∴二次函数开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数在时有最大值4，即当时，y的最大值为4， 当时，，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 22.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）直接写出该二次函数的表达式； （2）当点是抛物线上一点，且在第一象限内时， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点坐标，以及最大值． 【答案】（1）解：将点代入， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作轴于点， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点代入， 得，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵、， ∴ 设点，则， ∵ ∴ ∴，即 解得：或（舍去） ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作轴交于点， ∵点关于直线对称点为点，当线段最大时，则取得最大值， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当线段最大时，取得最大值，， 设点，则， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， ∴，此时； 23.二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B的坐标； （2）若，点D是该二次函数在第一象限图象上的动点，作轴，交二次函数的图象于另一点E，作点D关于y轴的对称点F．那么线段的长是否为定值，请说明理由； （3）若点P是该二次函数图象上的动点（不与A，B，C重合），作直线，分别与y轴交于点M，N，在P点运动的过程中，是否为定值，说明理由． 【答案】（1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：长是定值，理由如下： 由得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是定值，理由如下： 当时，， ∴ 设，直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当，， ∴， 设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，且为． 24.如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图2，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $