函数的概念与性质：函数的性质 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质：函数的性质专项训练 函数的概念与性质：函数的性质专项训练 考点目录 函数的单调性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数的对称性 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 抽象函数的性质 考点一 函数的单调性 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的减函数， 则不等式等价于， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 5．（25-26高一上·四川绵阳·阶段练习）设下列函数的定义域都为，则下列函数不满足对、且，有恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若满足条件，时，，函数在上单调递减， 若不满足条件，说明函数在不是减函数， A. ，和在上都是减函数，所以函数在上是减函数，故A错误； B. ，在上是减函数，故B错误； C.在上单调递减，在上单调递增，故C正确； D. 在上是减函数，故D错误. 故选：C 6．（25-26高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设，由题意可知，因为， 令，则，即，所以， 因为函数的定义域为，所以，即， 令，则， 即，所以， 又是定义在上的单调函数，所以， 整理得，解得或（舍）. 故选：B 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，定义域为，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确； 对于选项B，设， 则 因为，所以，， 即，即， 所以在上单调递增，所以选项B正确； 对于选项C，当时，， 当时，， 即的值域为，所以选项C错误； 对于选项D， ，即，解得，则其解集为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习·多选）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．， C．若，则的取值范围是 D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 【答案】ABC 【详解】因为， 对于A，当时，， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即，解得， 即的取值范围为，故A正确； 对于B，∵， 即对所有的都成立， 因为函数是定义在上的减函数， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以在上单调递减，又，所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增，，解得.所以的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变， 据此可得函数的图象，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 故答案为：. 11．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 12．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 【答案】 【详解】因为函数在单调递增，， 所以，解得， 所以使得不等式成立的的取值集合为, 故答案为：. 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 14．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足． (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减证明见解析，在上的值域为 【详解】（1）由，令，则，则有， ，即， ，， 所以． （2）设，则， 因为，，所以，即在上单调递减， 又，，故值域为． 15．（25-26高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 又，则， 所以，故， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数． （2）因为函数是定义在区间上的增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或 16．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出的图象； (2)请根据图像分别写出函数的增区间和减区间； (3)利用定义法证明在上单调递增． 【答案】(1)图象见解析 (2)的增区间为，减区间为和和 (3)证明见解析 【详解】（1）函数的图象如下： （2）由函数的图象可知：函数的增区间为，减区间为和和. （3）当时，， 取任意的，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增． 考点二 函数的奇偶性 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 当，，所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：C 4．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 6．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， ，该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故D错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高一上·广东汕头·期中·多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 8．（24-25高一上·江苏南通·期末·多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 9．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 10．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 11．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 【答案】3 【详解】由题设，则，得恒成立，故， 由偶函数的定义域关于原点对称，则，可得， 所以. 故答案为：3 12．（24-25高一下·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【详解】已知是奇函数，则. 先求：将替换为，可得. 对进行化简： 因为，所以. 移项可得：. 可得. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）为奇函数，. （2）设， ， ，，，， 在上是减函数. （3）当时，，，； 又为定义在上的奇函数，， . 14．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式：； (3)若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，证明见解析 (2) (3)或或 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则 又，则 在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）在上是奇函数且单调递增 由得 解得： 不等式的解集为. （3）由（1）知在上单调递增，又因为 问题转化为，即对任意恒成立 设 即解得或或 故的取值范围是或或. 15．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ∵， ∴是奇函数. （2）设且， ， ∵且，∴， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 【答案】(1)，奇函数 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1），且，，解得，     ，则的定义域为，   对于，则，   且， 所以是定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递增．     证明：任取，且，     则 ，     ，    ，即，     函数在上单调递增． （3）由（2）得在上单调递增， 在上单调递增，     又，， 在上的值域为. 考点三 函数的周期性 1．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】由，得，则4是函数的一个周期， 由，得. 故选：B 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由，得， 两式相减得，即， 所以函数的周期为4，又，，所以， 因为,， ， . 故选：B. 3．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）设是上的周期为3的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．3 D．16 【答案】A 【详解】由题意知对一切成立， 于是. 故选：A. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则 ． 【答案】2 【详解】由可得为周期函数，且周期为4， ， 故答案为：2. 6．（25-26高二上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，当时，，则 . 【答案】340 【详解】因为，所以的周期， 当时，，则，， 则，， 当时，，则，，，， 则，， 则， ， 而， 所以． 故答案为：340. 7．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）设是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知， 而时，，所以， 所以. 故答案为： 8．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）函数满足，若，则 【答案】 【详解】由，可得， 所以， 所以， 可得，所以函数是周期为6的周期函数， 又由，所以，则， 所以． 故答案为：. 考点四 函数的对称性 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，， 所以，所以， 因为是偶函数，所以，故， 又因为的图象关于点中心对称， 所以，即，故． 故选：A. 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】B 【详解】因为函数图象关于对称，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 而， 又因为当时，，所以，即， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 7．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 【答案】120 【详解】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 8．（24-25高二上·上海·开学考试）函数的对称中心是，则 . 【答案】0 【详解】，故， 函数的对称中心是，则 故则. 故答案为：0 9．（24-25高一下·北京·期中）函数的图象的对称中心坐标是 ． 【答案】 【详解】根据题意，函数，则， 因为， 所以函数的图象的对称中心的坐标为， 故答案为： 10．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，且满足，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，. 令，则；由； 令，则. 由，代入，得， 用代替可得：， 两式相减得：，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以：，. 所以. . 所以. 故答案为： 考点五 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 1．（25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【详解】对于A，为偶函数，， 关于直线对称，即， 为奇函数，； ，， 的周期为，A正确； 对于B，， 即是函数的一条对称轴，B正确； 对于C，为定义在上的奇函数，， 当时，； 当时，，， ； 当时，， ， 在上单调递减，C错误； 对于D，由C知：，，，D正确. 故选：C. 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知是偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设. 故选：B 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由为奇函数，则， 即，则， 由为偶函数，则， 则，则， 则，则， 故周期为，则， 由，则， 则. 故选：D. 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．的周期 C． D．在上单调递增 【答案】AB 【详解】因为的图象关于直线对称，的图象可由的图象向左平移2个单位得到， 故的图象关于直线对称，即函数为偶函数，A正确； 在中，令，可得 因为是偶函数，所以，则， 故，即，故的周期，B正确； 由于对任意的，，且，都有， 故在上单调递减，，故； 而，C错误； 由于在上单调递减，，故在上不可能单调递增，D错误， 故选：AB 6．（2025·陕西商洛·模拟预测·多选）已知定义域为的函数在上单调递增，满足，且的图象关于点对称，则以下结论正确的有（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABC 【详解】对A，的图象关于点对称，则，又（说明的图象关于直线对称）， 所以， 所以， 对B，，B正确； 对C，在上单调递增，又的图象关于直线对称，所以在上单调递减，C正确； 对D，由A知，结合B知，D错， 故选：ABC 7．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习·多选）已知定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A．的周期为8 B．的最大值为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 【答案】ABD 【详解】选项A：因为定义在R上的奇函数满足， 所以，即， 所以，即， 所以的周期为8，故A正确； 选项B：由，可得图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且为一个周期， 所以的最大值为，故B正确； 选项C：图象关于对称，且为最小值，且不等于0， 所以不是的对称中心，故C错误； 选项D：因为在上单调递减，且周期为8， 所以在上单调递减，即在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 8．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习·多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A．4是的一个周期 B．的图象关于中心对称 C．关于对称 D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以由可得， 所以，所以是的一个周期；A正确； 对于B：若的图象关于中心对称，又是的一个周期， 所以的图象关于中心对称，所以既是偶函数，又是奇函数， 所以，而满足的偶函数不一定是， 所以B错误； 对于C：因为是偶函数，所以，所以， 即是奇函数，又，即， 所以，即关于对称，C正确； 对于D：因为是奇函数，所以， 又由，可得， 所以是的一个周期，所以，D正确； 故选：ACD. 9．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数是偶函数，是奇函数，当时，． (1)证明：在上为增函数； (2)若为周期函数，求出其周期，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)以为周期的周期函数 【详解】（1）设，则，则， 又是偶函数，所以， 即，， 所以，， 因为在定义域上单调递增， 所以，在上为增函数； （2）因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，，则， 所以，则，即， 所以以为周期的周期函数； 10．（25-26高三上·河北石家庄·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【详解】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数是周期为4， ∴ . 11．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)求证：函数的图象关于点对称. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由得，所以. （2）证明：由（1）知， 因为， 所以函数的图象是由的图象先向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称. 考点六 抽象函数的性质 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 【答案】C 【详解】对于任意实数，满足，且， 当时，， 即. 故选：C 3．（24-25高一上·安徽·阶段练习）函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】由可知， 所以， 又有， 故得， 由为奇函数可知关于中心对称， 通过赋值计算知： ， 故． 故选：B. 4．（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 【答案】D 【详解】对于A选项，由题，令，则 ，故A不正确； 对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确； 对于C选项，令，则， 故，两式相加整理得：即 故，故的一个周期为6， 则，故的一个周期为8不成立，C不正确， 对于D选项，由且为偶函数，故， 所以是的一个对称中心，故D正确； 故选：D. 5．（24-25高一上·福建福州·期末·多选）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，则，因为，所以， 令，则，所以，故A正确； 令，则，则，即，故B正确； 令，则，即，即，故C错误； 由可知，，即， 所以函数的周期为4，，， 所以， ，，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 6．（24-25高一上·湖北·期末·多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高一上·河南驻马店·期末·多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 8．（24-25高一上·河南·期末·多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在上单调递增 【答案】ACD 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以， 令，得，又，所以， 又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误； 令，得， 令，，得， 所以，故C正确； 当时，由，可得， 又，所以， 任取， 所以， 又，所以，，故， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 9．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)或 【详解】（1）在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； （2）令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； （3）因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式的解集为或. 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为定义域为， 所以有解得：， 所以的定义域为 （2）令，可得，即， 令，得， 即，是奇函数． 令，则， 且为奇函数， ， 在上单调递增． 由题意可知， ∴， 即不等式的解为． 11．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）设函数是增函数，对于任意，都有. (1)证明是奇函数； (2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）对于任意都有， 令，则； 再令，则 ，所以函数是奇函数. （2）不等式可化为， 即， 又函数在上是增函数，即 ，即， 若，则，解集中没有3个正整数， 若，不等式的解集为空集，也不成立， 若，则，该不等式的解集中恰有3个正整数， . 12．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【详解】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的概念与性质：函数的性质专项训练 函数的概念与性质：函数的性质专项训练 考点目录 函数的单调性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数的对称性 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 抽象函数的性质 考点一 函数的单调性 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知是定义在上的减函数，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·阶段练习）设下列函数的定义域都为，则下列函数不满足对、且，有恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于原点对称 B．在上单调递增 C．的值域为 D．不等式的解集为 8．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习·多选）已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（   ） A．的取值范围为 B．， C．若，则的取值范围是 D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 9．（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 10．（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是 ． 11．（24-25高一上·重庆·期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 12．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数的定义域为，且在定义域内单调递增，则使得不等式成立的的取值集合为 ． 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 14．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数满足． (1)证明：； (2)证明：在上单调递减，并求在上的值域． 15．（25-26高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·天津西青·阶段练习）已知函数 (1)请在给定的坐标系中画出的图象； (2)请根据图像分别写出函数的增区间和减区间； (3)利用定义法证明在上单调递增． 考点二 函数的奇偶性 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（   ） A． B．7 C． D．5 3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东汕头·期中·多选）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 8．（24-25高一上·江苏南通·期末·多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 9．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 11．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知是偶函数，则实数的值为 . 12．（24-25高一下·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 13．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 14．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式：； (3)若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数在上的值域． 考点三 函数的周期性 1．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）设是上的周期为3的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．3 D．16 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义域上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，则 ． 6．（25-26高二上·湖北·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，当时，，则 . 7．（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）设是定义在R上周期为2的奇函数，当时，，则 ． 8．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）函数满足，若，则 考点四 函数的对称性 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 4．（25-26高一上·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 8．（24-25高二上·上海·开学考试）函数的对称中心是，则 . 9．（24-25高一下·北京·期中）函数的图象的对称中心坐标是 ． 10．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，且满足，若，则 ． 考点五 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 1．（25-26高一上·贵州铜仁·阶段练习）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 3．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知是偶函数，且，当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A．1 B． C．0 D． 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．的周期 C． D．在上单调递增 6．（2025·陕西商洛·模拟预测·多选）已知定义域为的函数在上单调递增，满足，且的图象关于点对称，则以下结论正确的有（    ） A． B． C．在上单调递减 D． 7．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习·多选）已知定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ） A．的周期为8 B．的最大值为 C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 8．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习·多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（   ） A．4是的一个周期 B．的图象关于中心对称 C．关于对称 D． 9．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数是偶函数，是奇函数，当时，． (1)证明：在上为增函数； (2)若为周期函数，求出其周期，如果不是，请说明理由． 10．（25-26高三上·河北石家庄·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 11．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)求证：函数的图象关于点对称. 考点六 抽象函数的性质 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 3．（24-25高一上·安徽·阶段练习）函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（24-25高一下·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（   ） A． B．为奇函数 C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心 5．（24-25高一上·福建福州·期末·多选）已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北·期末·多选）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 7．（24-25高一上·河南驻马店·期末·多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 8．（24-25高一上·河南·期末·多选）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若当时，，则在上单调递增 9．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 11．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）设函数是增函数，对于任意，都有. (1)证明是奇函数； (2)关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $