2025-2026学年北师大版九年级上册数学期中提升模拟试题（1-3章）

2025-2026学年北师大版九年级上册数学期中提升模拟试题 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列选项中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 3．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若，是关于的方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 5．（本题3分）如图，在矩形中，点在的延长线上，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，将长方形纸片折叠，使边落在上，折痕为，且点落在点处，，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．5 8．（本题3分）如图，正方形的边长是6，点是线段上一动点，过点作于点，连接，若，则的面积是（   ） A． B． C．6 D．18 9．（本题3分）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A．6 B．6 C． D．6 10．（本题3分）如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 12．（本题3分）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为 ． 13．（本题3分）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点为边上一点，连接，．若平分，则的长为 ． 15．（本题3分）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为 ． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为 ． 17．（本题3分）“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 18．（本题3分）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价x元，若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价 元． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程： (1) (2) 20．（本题9分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求的值和方程的另一个根． 21．（本题9分）如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作于点，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，求的度数． 22．（本题9分）如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)若，，求四边形的面积． 23．（本题9分）国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： (1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 24．（本题10分）我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； (2)该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 25．（本题12分）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C A D A C C 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A项：方程中含有两个未知数a和c，不符合“一元”条件，不符合题意； B项：方程中未知数x的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合题意； C项：方程中含有两个未知数a和b，不符合“一元”条件，不符合题意； D项：方程中仅含有一个未知数b，且b的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 故答案为：D． 2．A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 3．B 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线平分一组对角”这一核心性质，利用该性质将已知角转化为所求角． 先明确菱形中，对角线是的角平分线；再根据已知，可得为的一半；计算得出的度数后，匹配选项即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，   ∴菱形的对角线平分一组对角，即平分；   又∵，   ∴；   该结果与选项B一致，   故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，若方程的两根为，，则．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据矩形的性质得出，即可求出，进而可求出，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O，如图，   四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：，，，共3种， 第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 根据长方形的性质可得，，，在中，运用勾股定理求得．设，由折叠可得，，，从而，，在中，运用勾股定理构造方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴在中，． 设， 由折叠可得，，， ∴，， ， ∴在中，， 即 ， 解得， ∴的长为， 故选D． 8．A 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出的值．根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到和全等，然后即可得到和的关系，根据等腰三角形的性质可以得到和的关系，再根据勾股定理可以得到的值，然后即可计算出的面积． 【详解】解：作于点，如图所示，   四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即， 解得， ∴， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：C． 10．C 【分析】连接交于M，由矩形的性质和勾股定理可求出；由等边三角形的性质得到，则可证明垂直平分，得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由垂线段最短，可知当时，有最小值，则此时． 【详解】解：如图所示，连接交于M， \ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴； ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时为直角三角形，其中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． 11． 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得； 故答案为：． 12． 【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果． 本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 故答案为： 13．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意且，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 14． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，过点作于点，连接，易证得，得到，，再由，可证，从而得到，设，则，， 由勾股定理得：，列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，点为的中点， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 15．2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数是一元二次方程的解． 利用一元二次方程解的定义得到．移项得到的值，将整体代入表达式中计算即可． 【详解】解：已知是方程的根，代入得：， ， 将代入所求表达式中： 则 ， 故答案为：2025． 16． 【分析】本题考查了菱形的性质（四条边相等、对边平行）及两点间距离公式，解题的关键是利用菱形对边平行得纵坐标关系，结合边相等求横坐标． 先求长度；由菱形（在x轴）得与纵坐标相同；再根据求横坐标，确定坐标． 【详解】解：，， ； 因菱形，且B、C在x轴上，故轴，则纵坐标与相同，即纵坐标为6； 又菱形，，轴，故横坐标为； 因此． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键． 设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种， 这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是． 故答案为： 18．6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用售出这批扇子每天获得的总利润每把扇子的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能地减少库存，即可确定结论． 【详解】解：根据题意得：每天可售出扇子把，则 ， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能地减少库存， ∴． 即每把扇子应降价6元． 故答案为：6． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法等知识﹒ （1）利用配方法即可求解； （2）利用公式法即可求解﹒ 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得， 则， ∴， 解得； （2）解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)，方程的另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）先计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把代入一元二次方程得到，解一次方程得到，所以原方程为，然后用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入一元二次方程得到， 解得， ∴原方程为， 设方程的另一个根为，则， 解得， 所以方程的另一个根是． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）菱形的性质，得到，进而得到，平行线的性质推出，，得到，即可得证； （2）菱形的性质求出的度数，矩形的性质结合等边对等角，求出的度数，对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为菱形，， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∴． 22．(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质． （1）证明即可得到； （2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形； （3）连接，证明四边形是平行四边形，则，再由菱形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：四边形是菱形， 理由如下：∵D是的中点， ∴， ∵由（1）得，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由（2）得四边形是菱形 ∴． 23．(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；用关注的人数所占百分比乘以即可得到“关注”对应扇形的圆心角的度数； （2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可； （3）列出表格，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50；； （2）解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下： （3）解：如表所示： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，， ． 24．(1)游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 (2)为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的日平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每件漆器应降价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为； （2）设每件漆器应降价元，根据题意得 ， 解得（舍），， 答：为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元． 25．(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； （2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 答案第12页，共12页 答案第11页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $期中提升模拟试题 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16 17 18 三、解答题（共66分) 19.(本题8分)解方程： (1)x2-5x+4=0 (2)√6x2-x-26=0 20.(本题9分) 21.(本题9分) 22.(本题9分) F E B D 23.(本题9分) 个人数 24 16 关注 非常关注 12 12% --6 4 比较关注 0 不关注关注比较非常类别 关注关注 (0L￥)忆 ■ 园 E园 园 L 9 4! 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