专题02 矩形、正方形的性质与判定10题型（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期北师大版

专题02 矩形、正方形的性质与判定 1．(24-25九上·广东茂名化州·期中)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ）地 城 题型01 矩形性质的理解 A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 2．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．四个角都为直角 D．对角线互相垂直 3．(24-25九上·广东佛山顺德区北滘镇君兰中学·期中)矩形、菱形都具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分 4．(24-25九上·广东深圳高级中学·期中)如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，． 如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF． (1)下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 选择条件：_____（填序号），理由如下． (2)若，，，求四边形的面积是多少． 5．(24-25九上·广东梅州兴宁实验学校·期中)如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 1．(24-25九上·广东深圳龙岗区·期中)如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（   ）地 城 题型02 利用矩形的性质求解 A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区北滘镇君兰中学·期中)如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 6．(24-25九上·广东深圳宝安中学·期中)如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 7．(24-25九上·广东深圳宝安区振兴学校·期中)如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则 ． 8．(24-25九上·广东梅州五华县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为 ． 1．(24-25九上·广东佛州市·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ）地 城 题型03 利用矩形的性质证明 A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东佛州市·期中)如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为 ． 3．(24-25九上·广东深圳市·期中)下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．    已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． (1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期中)如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 5．(24-25九上·广东深圳南山外国语集团滨海学校·期中)如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 6．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C， 与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期中)如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ）地 城 题型04 矩形与折叠问题 A． B． C． D．5 2．(24-25九上·广东清远阳山县·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．若，，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为 ． 4．(24-25九上·广东清远连州·期中)综合与实践 【实践操作】 步骤1：准备一张矩形纸片； 步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A落在对角线上的点M处； 步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C落在对角线上的点N处．    【实践探索】 (1)用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，且，求菱形的面积． 5．(24-25九上·广东佛山南海区狮山镇·期中)如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 1．(24-25九上·广东佛山顺德区15校联考·期中)如图，在中，，，D为的中点，则的长是（    ）地 城 题型05 斜边的中线等于斜边的一半    A．2.5 B．5 C．10 D．20 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．(24-25九上·广东清远阳山县·期中)如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 5．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 1．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形是矩形，那么这个条件可以是（）地 城 题型06 证明四边形是矩形 A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD=AB D．∠BAD＝∠ADC 3．(24-25九上·广东河源·期中)如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 4．(24-25九上·广东茂名·期中)如图，在菱形中，过点B作于点E，点F在边上，，求证：四边形是矩形． 5．(24-25九上·广东清远·期中)如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形． 6．(24-25九上·广东佛山·期中)如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． (1)求证：； (2)点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 1．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，则的长为（　　）地 城 题型07 利用矩形的性质与判定求解    A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东梅州·期中)如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为（    ）    A． B．5 C． D．2.5 3．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 4．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 1．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（    ）地 城 题型08 利用正方形的性质求角度/面积 A．15° B．22.5° C．20° D．10° 2．(24-25九上·广东深圳龙华区外国语学校·期中)如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期中)将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东佛山·期中)已知正方形的对角线长为，则正方形的面积为 ． 1．(24-25九上·广东揭阳揭西县五校联考·月考)若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ）地 城 题型09 利用正方形的性质求线段长 A．1 B． C．2 D．4 2．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长为（    ） A．2 B．5 C． D．10 3．(24-25九上·广东佛山·期中)如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D．4 4．(24-25九上·广东清远英德·期中)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东清远·期中)如图，将正方形一个顶点放在数轴上表示1的位置，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴原点右侧于点．若这个正方形的面积为2，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东深圳南山实验教育集团麒麟中学·期中)如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B． C． D．4 7．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 1．(24-25九上·广东揭远·期中)下列判断正确的是（    ）地 城 题型10 正方形的判定定理的理解 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．(24-25九上·广东揭远·期中)在平面中，下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 3．(24-25九上·广东深圳·期中)．下列命题中正确的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 4．(24-25九上·广东深圳·期中)下列说法错误的是（    ） A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．四条边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形 5．(24-25九上·广东深圳南山区育才教育集团·期中)下列命题中，为真命题的是（   ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 6．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)下列说法不正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形、正方形的性质与判定 1．(24-25九上·广东茂名化州·期中)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（   ）地 城 题型01 矩形性质的理解 A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度变大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 2．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分 C．四个角都为直角 D．对角线互相垂直 【答案】D 【详解】解：A．菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，故选项不符合题意； B．菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，故选项不符合题意； C．矩形的四个角都等于，故选项不符合题意； D．菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不一定垂直，故选项符合题意； 故选：D 3．(24-25九上·广东佛山顺德区北滘镇君兰中学·期中)矩形、菱形都具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【详解】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，不符合题意； B、矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意； C、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定相互垂直，矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，不符合题意； D、矩形和菱形的对角线互相平分，符合题意； 故选：D． 4．(24-25九上·广东深圳高级中学·期中)如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，． 如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF． (1)下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程． 选择条件：_____（填序号），理由如下． (2)若，，，求四边形的面积是多少． 【答案】(1)②（答案不唯一），见解析 (2) 【详解】（1）证明：我选择条件：②， 理由如下：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 我选择条件：③， 理由如下：连交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形． 故不选择①； （2）解：∵四边形是矩形，则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的面积是． 5．(24-25九上·广东梅州兴宁实验学校·期中)如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 1．(24-25九上·广东深圳龙岗区·期中)如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（   ）地 城 题型02 利用矩形的性质求解 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故选：C ． 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 3．(24-25九上·广东佛山顺德区北滘镇君兰中学·期中)如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 4．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上，且，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，，在直角三角形中，由勾股定理得： ， 又点到y轴的距离为的长度4，到x轴的距离为的长度3． 又因为点在第一象限，所以点的坐标为． 故选择：B 5．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】解：在矩形中，，交于点，若，， ， ，即， ， 又、分别为、的中点， 是的中位线， ． 故选：C． 6．(24-25九上·广东深圳宝安中学·期中)如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选∶D． 7．(24-25九上·广东深圳宝安区振兴学校·期中)如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 8．(24-25九上·广东梅州五华县·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．(24-25九上·广东佛州市·期中)如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ）地 城 题型03 利用矩形的性质证明 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．(24-25九上·广东佛州市·期中)如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为 ． 【答案】16 【详解】解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 3．(24-25九上·广东深圳市·期中)下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．    已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． (1)请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 【答案】(1)见解析 (2)①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作法可知：，由此即可得出四边形是菱形 （2）根据菱形和矩形性质可证明，，继而判定四边形是平行四边形. 【详解】（1）解：如图所示，   ， （2）①由作法可知：， ∴四边形是菱形， 依据是：四条边都相等的四边形是菱形； ②连结、，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 故答案为：①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期中)如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 5．(24-25九上·广东深圳南山外国语集团滨海学校·期中)如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【详解】（1）解：如图，    由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是矩形且， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得  ，即， ∴， 如图，连接，    根据折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F、P、B三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 即最小值为 ． 6．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C， 与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵矩形和矩形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）由（1）知：四边形是菱形， ∴四边形的面积． 1．(24-25九上·广东揭阳榕城区·期中)如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ）地 城 题型04 矩形与折叠问题 A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】在和中， ， ∴； ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C 2．(24-25九上·广东清远阳山县·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．若，，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处， ∴，， 设，则， 在中， ， ， 解得， ∴， ∵点在轴负半轴， 点F的坐标为， 故选：D． 3．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，将矩形沿着对角线折叠得到，若，，则与矩形重叠部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿着对角线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴． 解得， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东清远连州·期中)综合与实践 【实践操作】 步骤1：准备一张矩形纸片； 步骤2：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点A落在对角线上的点M处； 步骤3：按如图所示方式操作：将沿翻折，使点C落在对角线上的点N处．    【实践探索】 (1)用你所学数学知识说明：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，且，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，，则， 由折叠性质可得： ，， ， ， 又 ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，， 由折叠性质可知，， ， 又， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ， ． 5．(24-25九上·广东佛山南海区狮山镇·期中)如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ， ，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ， ， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 1．(24-25九上·广东佛山顺德区15校联考·期中)如图，在中，，，D为的中点，则的长是（    ）地 城 题型05 斜边的中线等于斜边的一半    A．2.5 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，D为的中点， ∴， 故选B． 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 3．(24-25九上·广东清远阳山县·期中)如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 4．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)如图，在中，D是的中点，，，则的长是 ． 【答案】3 【详解】解：∵在中，D是的中点， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3 5．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：，点是中点， ， ， ， ， ， 点是中点， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：，， ，， ， ，四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为． 1．(24-25九上·广东深圳九校联考·期中)如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形是矩形，那么这个条件可以是（）地 城 题型06 证明四边形是矩形 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、平行四边形中，， 平行四边形是矩形，故选项B符合题意； C、平行四边形中，，能判定平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·广东深圳·期中)如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD=AB D．∠BAD＝∠ADC 【答案】C 【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形， A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误； B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误； C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确； D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误； 故选：C． 3．(24-25九上·广东河源·期中)如图，在平行四边形中，过点D作于点F，点E在边上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 4．(24-25九上·广东茂名·期中)如图，在菱形中，过点B作于点E，点F在边上，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． 5．(24-25九上·广东清远·期中)如图，，平分，平分．，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 6．(24-25九上·广东佛山·期中)如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，，连接、． (1)求证：； (2)点H、G分别是、上的点，若，，试判断四边形是什么图形，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是矩形 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． （2）四边形是矩形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 1．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设，则的长为（　　）地 城 题型07 利用矩形的性质与判定求解    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：D． 2．(24-25九上·广东梅州·期中)如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为（    ）    A． B．5 C． D．2.5 【答案】A 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 当时，最短，此时的面积， ∴的最小值， ∴线段的最小值为， 故选：A． 3．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 4．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在中，过点作于点，点在边上，．连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点在边上，点在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，则， ∴平行四线是矩形． （2）解：∵， ∴，则， 在中，， ∴， ∴，， ∵由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， 已知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 1．(24-25九上·广东深圳·期中)如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（    ）地 城 题型08 利用正方形的性质求角度/面积 A．15° B．22.5° C．20° D．10° 【答案】A 【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故选：A． 2．(24-25九上·广东深圳龙华区外国语学校·期中)如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 3．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 4．(24-25九上·广东河源紫金县·期中)将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：A． 5．(24-25九上·广东佛山·期中)已知正方形的对角线长为，则正方形的面积为 ． 【答案】18 【详解】解：四边形为正方形， ，， 正方形的面积， 故答案为：18． 1．(24-25九上·广东揭阳揭西县五校联考·月考)若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（    ）地 城 题型09 利用正方形的性质求线段长 A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：正方形的边长为1，相邻两直角边与对角线可组成直角三角形， ∴对角线长为， 故选：B ． 2．(24-25九上·广东河源龙川县·期中)已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长为（    ） A．2 B．5 C． D．10 【答案】C 【详解】解：设每个正方形的边长为，则面积为， 个完全相同的正方形的面积之和为100， ， 解得：（负值已舍去）， 正方形的对角线长为． 故选：C． 3．(24-25九上·广东佛山·期中)如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积和， ∴， ∴． 故选：B． 4．(24-25九上·广东清远英德·期中)如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点A作轴，于点H，过点C作轴，于点F，过点B作，交的延长线于点E． ∴． ∵点A的坐标为， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为． 故选：C． 5．(24-25九上·广东清远·期中)如图，将正方形一个顶点放在数轴上表示1的位置，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径画圆弧，交数轴原点右侧于点．若这个正方形的面积为2，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵这个正方形的面积为2， ∴正方形边长为：， ∵由题意知：点表示的数为， 故选：D． 6．(24-25九上·广东深圳南山实验教育集团麒麟中学·期中)如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当的长度最小时，的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】.解：当时，的长度最小， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． 三点在一条直线上， ∴， ∴， ． 在中， ∴． 故选：B． 7．(24-25九上·广东清远连州·期中)如图，正方形的周长为16，是等边三角形，点E在正方形内部，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：连接，与交于点F． ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， ∴最小， ∵正方形的周长为16， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为4． 故选：C． 1．(24-25九上·广东揭远·期中)下列判断正确的是（    ）地 城 题型10 正方形的判定定理的理解 A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误； 对角线相等的菱形是正方形，故B正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误； 对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误． 故选B． 2．(24-25九上·广东揭远·期中)在平面中，下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】A 【详解】解：A. 四边相等的四边形是菱形,正确     B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,故此选项错误, C. 四个角相等的四边形是矩形, 故此选项错误, D. 对角线互相垂直的四边形是菱形, 故此选项错误, 综上,选择A. 3．(24-25九上·广东深圳·期中)．下列命题中正确的是（　　） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；   B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 4．(24-25九上·广东深圳·期中)下列说法错误的是（    ） A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．四条边都相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； C、对角线互相相等且垂直的平行四边形是正方形，选项说法错误，符合题意； D、四个角都相等的四边形是矩形，选项说法正确，不符合题意； 故选C． 5．(24-25九上·广东深圳南山区育才教育集团·期中)下列命题中，为真命题的是（   ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 【答案】D 【详解】解：A、由四个角相等的四边形是矩形得知此命题是假命题，所以此选项错，不合题意误； B、由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可知此命题是假命题，所以此选项错误，不合题意； C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以原命题为假命题，所以此选项错误，不合题意； D、一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形是真命题，所以此选项正确． 故选：D． 6．(24-25九上·广东佛山顺德区容桂外国语学校·期中)下列说法不正确的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； B. 四边相等的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $