精品解析：黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一上学期10月考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025--2026学年度10月份考试 高一数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 的充要条件是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的最小值为2 B. 若，则函数的最大值为 C. 若，，，则的最大值为1 D. 函数的最小值为 11. 下列各选项给出的数学命题中，正确的是（ ） A. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为 B. 若函数，且，则实数的值为 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 命题：“，”的否定是__________． 13. 已知则的取值范围为_________． 14. 莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，已知在上为减函数，则实数的取值范围为_______________ 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为. （1）求的单调区间. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）设，解关于的不等式. 19. 若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． （1）若为区间上的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025--2026学年度10月份考试 高一数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】交并补混合运算 【详解】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 因为， 所以，又 所以， 故选：B 2. 下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 4. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义代入即可求解. 【详解】. 故选：D. 6. 将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可. 【详解】由图知，过点，过点， 则，有 解得， 所以， 故选：B. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的定义域，再利用函数的单调性可求得的解集． 【详解】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得， 故选：C． 8. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，根据可知，并解出和，表示，根据的范围，再代入分段函数求值域. 【详解】 设， 作出的图象， 由图象知，， 由，得， 由，得， 则， ∵，∴， 则， 即， 此时， 即的取值范围是， 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是用表示，并求其范围. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 是的必要不充分条件 B. 或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 C. 是的充分不必要条件 D. 的充要条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，选项A，可举例当时，判断是否满足必要性；选项B，选项C，选项D，可根据条件和结论分别验证充分性和必要性. 【详解】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误； 选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确； 选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误； 选项D，必要性：， 所以， 即，所以； 充分性：，则，该选项正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的最小值为2 B. 若，则函数的最大值为 C. 若，，，则的最大值为1 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式对各选项逐一分析判断即可得解. 【详解】A：因为，，所以， 即，当且仅当时，等号成立，故A错误； B：因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C：因为，，， 所以由，则，解得， 当且仅当时，等号成立，故C正确； D：因为， 当且仅当，等号成立， 即，显然该方程无实根，即等号不成立，故D错误， 故选：BC. 11. 下列各选项给出的数学命题中，正确的是（ ） A. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为 B. 若函数，且，则实数的值为 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求出不等式解集；对于选项B，通过配凑法求出函数的表达式，再代入求值；对于选项C，利用分离常数法求函数值域；对于选项D，通过换元法将函数转化为二次函数求值域. 【详解】对于选项A，由不等式的解集，可知的两个根是和3，且，根据根与系数的关系可得，即. 故不等式可化为，即， 解得不等式，故A正确； 对于选项B，由， 故或，因为， 即，解得，故B错误； 对于选项C，函数， 因为，所以， 即函数的值域为，故C正确； 对于选项D，令，则， 故，开口向下，且对称轴为，故当时，函数取得最大值，所以函数的值域为，故D正确. 故选：. 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 命题：“，”的否定是__________． 【答案】，或 【解析】 【分析】由全称命题的否定为，否定原结论，即可写出命题的否定. 【详解】由特称命题的否定：命题的否定为“，或”. 故答案为：，或 13. 已知则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把看成一个整体变量来表示，再利用同向不等式的可加性求解. 【详解】假设，则，解得， 因为，所以； 又因为，所以； 由上两同向不等式相加得：， 整理得： 故答案为： 14. 莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，已知在上为减函数，则实数的取值范围为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性的定义以及二次函数的性质进行求解即可 【详解】因为在上为减函数， 则，解得. 故答案为：. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【小问1详解】 因为集合 ，由 ，解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 16. 已知函数. （1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 17. 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为. （1）求的单调区间. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2）. 【解析】 【分析】（1）由，求得，令，结合二次函数的性质和复合函数的单调的判定方法，即可求解； （2）由（1）知，结合一元二次不等式的解法，求得，把是的充分条件，得到，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数有意义，则满足， 即，解得，即的定义域，即， 令， 可得函数的图象开口向下，且对称轴方程为， 所以在单调递增，在上单调递减， 又因为函数在上单调递减， 结合复合函数单调性的判定方法，可得在单调递减，在上单调递增. 即函数递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 解：由（1）知，集合， 又由，解得或， 因为，可得， 所以不等式的解集为，即， 若是的充分条件，可得，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 已知二次函数满足的解集为，且． （1）求的解析式； （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）设二次函数，可得出，分析可知方程的两根为和，且，利用韦达定理可求得、的值，由此可得出二次函数的解析式； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法解原不等式即可得其解集. 【小问1详解】 设二次函数， 又，的解集为，即的解集为， 则方程的两根为和，且，所以， 解得，所以. 【小问2详解】 由，即， 当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，解原不等式可得； 当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． （1）若为区间上的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 【解析】 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【小问1详解】 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $