精品解析：河北省邢台市宁晋县金太阳联考2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

邢台市2025—2026学年高二（上）第一次月考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章. 一､选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 5. 若，则方程能表示的不同圆的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与取值有关 9. 在直三棱柱中，是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 8 11. 将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13. 已知向量，则下列向量中，使是空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点.若圆过三点，则（ ） A. 圆的圆心到轴的距离是4 B. 当时，圆的圆心的纵坐标的取值范围是 C. 圆直径的最小值是4 D 圆恒过点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15. 点到平面的距离是__________. 16. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，则__________. 17. 已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是__________. 四､解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点. （1）求点坐标. （2）证明：四点共面. （3）证明：平面 19. 已知的三个顶点坐标分别为. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）已知过点的直线与轴的正半轴分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的一般式方程. 20. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面是棱上的动点. （1）设是棱的中点. ①证明：平面. ②求点到平面的距离. （2）求平面与平面夹角最小值. 21. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市2025—2026学年高二（上）第一次月考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章. 一､选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：D 3. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆的方程求解圆心和半径即可. 【详解】由可知圆的圆心坐标为，半径为2. 故选：B 4. 已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的一个方向向量与共线即可求解. 【详解】因为，所以， 因为直线的一个方向向量为，所以， 即，所以， 解得，则. 故选：C. 5. 若，则方程能表示的不同圆的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程表示圆的条件即可求解的取值范围，进而得解. 【详解】由方程表示圆，得， 即，解得， 因为，所以或， 则方程能表示的不同圆的个数是2. 故选：A. 6. 已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 7. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 8. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算出圆心到直线距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 9. 在直三棱柱中，是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，设可得，利用点到直线距离的向量公式求解即可. 【详解】因为直三棱柱中，所以两两垂直， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 设， 则， 故点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值是， 故选：A 10. 已知是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形（为圆的圆心）面积的最小值是（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质先计算圆的圆心和半径及圆心到直线距离，要求四边形面积的最小值，只要求出的最小值即可，求得面积即可. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 点到直线的距离， 当时，则， 因为是圆的切线，所以， 故四边形面积的最小值是. 故选：C. 11. 将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用角参数结合空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， 所以. 设，， 则，， 故. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知直线和直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线和直线平行的系数关系可列出方程组求出，进而判断A，B；根据直线和直线垂直的系数关系列出方程即可求出，进而判断C，D. 【详解】由，得，解得或，则A错误，B正确. 由，得，解得，则C，D正确. 故选：BCD 13. 已知向量，则下列向量中，使是空间的一个基底的是（ ） A. B. C D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念一一分析选项即可. 【详解】对于A，设，则,此方程组无解，所以向量不共面， 故是空间的一个基底，A符合题意. 对于B，设，则,此方程组无解， 所以向量不共面，故是空间的一个基底，B符合题意. 对于C，设，则,解得, 所以向量共面，故不是空间的一个基底，C不符合题意. 对于，则向量共面，故不是空间的一个基底， D不符合题意. 故选：AB 14. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个不同的交点.若圆过三点，则（ ） A. 圆的圆心到轴的距离是4 B. 当时，圆的圆心的纵坐标的取值范围是 C. 圆直径的最小值是4 D. 圆恒过点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数的对称性确定圆心在对称轴上判断A，设圆的方程求出圆心纵坐标与的关系得范围即可判断B，由圆的半径求最值判断C，由圆的方程化简可求出定点的纵坐标即可求解判断D. 【详解】不妨设在轴上， 因为二次函数的图象关于直线对称， 所以两点关于直线对称，则圆心在直线上， 故圆的圆心到轴的距离是2，A错误； 因为二次函数的图象交轴于两点，所以， 所以，因为二次函数的图象交轴于点，所以0， 所以的取值范围是.令，得. 设圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程得则. 当时，得，所以，即，B正确； 将，得，当且仅当时，等号成立，所以，则圆直径的最小值是4，C正确； 将代入圆的方程得， 当时，或4，则圆过定点和，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15. 点到平面的距离是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系点的特征计算即可. 【详解】由题意可知点到平面的距离. 故答案为：7 16. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积运算律计算即可. 【详解】因为是棱的中点，所以， 所以. 因为， 所以.， 所以， 所以，则. 故答案为： 17. 已知，圆是圆上的动点，是轴上的动点，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】首先把的最小值转化为的最小值，再利用最短路径问题的结论即可求解. 【详解】由题意可知圆心的坐标为，半径， 点关于轴对称的点的坐标为， 则，从而， 故，即的最小值是4. 故答案为：4 四､解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点. （1）求点的坐标. （2）证明：四点共面. （3）证明：平面. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系的概念直接写出点的坐标即可； （2）根据直线平行的向量坐标表示证明即可； （3）利用直线垂直的向量坐标表示和线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 由题意可得的坐标为，的坐标为， 的坐标为. 【小问2详解】 连接， 由题意可得 则 所以，所以， 故四点共面. 【小问3详解】 由题意可得 则 所以， 因为平面平面，且，所以平面. 19. 已知的三个顶点坐标分别为. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）已知过点的直线与轴的正半轴分别交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用边上的高所在直线与直线的位置关系可求出斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解； （2）设出直线的方程，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且为负数，则设直线， 令，得，则点的坐标为， 令，得，则点的坐标为， 因为的面积为，所以，即 所以，所以，即， 解得或， 当时，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即 综上，直线的一般式方程为或 20. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面是棱上的动点. （1）设是棱的中点. ①证明：平面. ②求点到平面的距离. （2）求平面与平面夹角的最小值. 【答案】（1）①证明见解析；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件确定两两垂直，通过向量法可证平面，由点到面的距离公式可求②； （2）求得平面法向量，代入夹角公式，借助一元二次函数求最值，即可求解. 【小问1详解】 因为平面，在平面内，同时四边形是正方形，所以两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ①证明：连接，交于点，连接 由题意可得， 因为四边形是正方形，所以是的中点，所以， 所以则，即 因为平面平面，所以平面. ②由题意，得，则， 设平面的法向量为，则，令，得. 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由题意可得，则，设，， 则，所以. 设平面的法向量为，则令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 因为，所以，所以. 因为，所以，则平面与平面夹角的最小值为. 21. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）已知斜率为的直线过点，且与圆交于两点，直线与直线交于点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设圆心的坐标为，可得，从而求出，利用圆心在直线，即可求出,得到半径，从而求得圆的标准方程 （2）①设直线.与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，分别表示出和，化简即可证明； ②分别写出直线和直线的方程，结合，通过联立直线和直线的方程，消去参数，得到的固定直线方程，即可确定点是否在定直线. 【小问1详解】 设圆心的坐标为. 因为是圆上的两点，所以，所以 即，解得. 因圆心在直线上，所以，解得， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线. 由整理得， 则， 故. ①证明：因为， 所以. 把代入上式， 得. ②直线的方程为，直线的方程为. 由得. 因为，所以， 所以， 即，则，即点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $