第16讲 定义新运算（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第16讲 定义新运算 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.定义新运算的含义：用特定符号（如△、☆、※、○等）表示一种人为规定的运算规则，运算结果需严格按照给定规则计算，与常规加减乘除无关。 2.基本表示形式：若规定“a※b”表示新运算，则需明确给出运算规则（如a※b = 3a + 2b），计算时将具体数值代入规则中的“a”“b”即可。 3.核心公式：设新运算符号为“△”，常见规则类型： 加减型：a△b = a + 2b（如a=3，b=4时，3△4=3+2×4=11） 乘除型：a△b = (a + b)×(a - b)（如a=5，b=2时，5△2=(5+2)×(5-2)=21） 分步型：a△b = 先算a×3，再算b×2，最后相加（即3a + 2b） 二、核心题型与技巧 1.直接计算型：已知新运算规则和具体数值，直接代入计算。 技巧：严格按规则分步计算，先替换字母，再算每一步结果。 2.含未知数型：已知新运算结果，反求其中一个字母代表的数。 技巧：将未知数代入规则，转化为常规方程（如a△3=10，规则a△b=2a + b，则2a + 3=10，解得a=3.5）。 3.复合运算型：新运算与常规运算结合，或多个新运算嵌套（如a△b=2a + b，计算(3△4)△5）。 技巧：先算括号内的新运算，再算括号外，注意运算顺序。 4.规律定义型：通过多个例子总结新运算规则，再按规则计算。 技巧：对比已知算式的输入与输出，找不变的运算逻辑（如1△2=5，2△3=8，3△4=11，可发现a△b=3a - b + 4）。 三、常见错误提醒 1.混淆新运算与常规运算：误将“△”当“+”或“×”，忽略自定义规则（如a△b= a - b，错算成a + b）。 2.漏看运算顺序：新运算中若有括号，需先算括号内（如(a△b)△c与a△(b△c)可能结果不同）。 3.代入数值错误：字母与数值对应错误（如规则a※b= a×2 + b，计算3※5时，误将a=5，b=3代入）。 4.忽略符号特殊性：认为新运算满足交换律或结合律（如a△b不一定等于b△a，需严格按规则验证）。 例题讲解 题型一：直接计算型 例题1：规定a☆b = (a + b)×2 - a，求3☆5的值。 跟踪练习1：规定，求的值。 题型二：含未知数型 例题2：规定a※b = 4a - 2b，若5※x = 14，求x的值。 跟踪练习2：规定，若，求的值。 题型三：复合运算型 例题3：规定a△b = a×b - a，b□a = b + a÷2，求(2△3)□4的值。 跟踪练习3：规定，，求的值。 题型四：规律定义型 例题4：观察下面的算式，找出“△”的运算规则，再计算5△3。 1△2 = 1×2 + 1 = 3 2△3 = 2×3 + 2 = 8 3△4 = 3×4 + 3 = 15 跟踪练习4：根据，，，计算的值。 提升练习 1．规定运算“※”为：。计算 。 2．如果，，那么 。 3．定义一种运算符号@，如果，，，，那么 。 4．对于任意自然数，定义运算。那么，算式2017！－15！的结果的个位数字是 。 5．如果5*2=5×（2+2），6*4=6×（4+2），那么7*3等于 ． 6．规定“*”是一种新运算：“a*b＝a＋b÷（b﹣a）”，则2*（1*2）＝ ． 7．定义新运算“♂”，规定m♂n=（m－n）÷2，那么8 ♂（12♂2）与12♂（8♂2）是否相等？如果不相等，哪个大？ 8．定义一种新运算“△”满足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34， 6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10. 9．设p、q是两个数，规定p△q＝p2＋（p－q）×2。求30△（5△3）。 10．规定a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－1），其中a，b表示自然数．求：3△8的值． 11．在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：135＝3，62＝0．试计算：(200049)9． 12．定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求值：6△（3△4）. 13．规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，例如：3△5=5，3▽5=3，请计算：1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100．（运算的顺序是从左至右） 14．记号n!表示前n个正整数相乘，并且规定0！=l，例如：4!=1×2×3×4．每一个三位数都有一个“对应数”：a！+b!+c!，例如：254的对应数是2!+5!+4!=146．请问：对应数与自身相同的三位数是什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第16讲 定义新运算 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.定义新运算的含义：用特定符号（如△、☆、※、○等）表示一种人为规定的运算规则，运算结果需严格按照给定规则计算，与常规加减乘除无关。 2.基本表示形式：若规定“a※b”表示新运算，则需明确给出运算规则（如a※b = 3a + 2b），计算时将具体数值代入规则中的“a”“b”即可。 3.核心公式：设新运算符号为“△”，常见规则类型： 加减型：a△b = a + 2b（如a=3，b=4时，3△4=3+2×4=11） 乘除型：a△b = (a + b)×(a - b)（如a=5，b=2时，5△2=(5+2)×(5-2)=21） 分步型：a△b = 先算a×3，再算b×2，最后相加（即3a + 2b） 二、核心题型与技巧 1.直接计算型：已知新运算规则和具体数值，直接代入计算。 技巧：严格按规则分步计算，先替换字母，再算每一步结果。 2.含未知数型：已知新运算结果，反求其中一个字母代表的数。 技巧：将未知数代入规则，转化为常规方程（如a△3=10，规则a△b=2a + b，则2a + 3=10，解得a=3.5）。 3.复合运算型：新运算与常规运算结合，或多个新运算嵌套（如a△b=2a + b，计算(3△4)△5）。 技巧：先算括号内的新运算，再算括号外，注意运算顺序。 4.规律定义型：通过多个例子总结新运算规则，再按规则计算。 技巧：对比已知算式的输入与输出，找不变的运算逻辑（如1△2=5，2△3=8，3△4=11，可发现a△b=3a - b + 4）。 三、常见错误提醒 1.混淆新运算与常规运算：误将“△”当“+”或“×”，忽略自定义规则（如a△b= a - b，错算成a + b）。 2.漏看运算顺序：新运算中若有括号，需先算括号内（如(a△b)△c与a△(b△c)可能结果不同）。 3.代入数值错误：字母与数值对应错误（如规则a※b= a×2 + b，计算3※5时，误将a=5，b=3代入）。 4.忽略符号特殊性：认为新运算满足交换律或结合律（如a△b不一定等于b△a，需严格按规则验证）。 例题讲解 题型一：直接计算型 例题1：规定a☆b = (a + b)×2 - a，求3☆5的值。 思路导航： 1.明确新运算“☆”的规则：用a和b的和乘2，再减去a。 2.代入a=3，b=5：先算括号内3+5=8，再算8×2=16，最后16 - 3=13。 规范解答： 3☆5 = (3 + 5)×2 - 3 = 8×2 - 3 = 16 - 3 = 13 跟踪练习1：规定，求的值。 解析： 根据规则，直接代入，： 先算，再算，最后相加得。 答案：20 题型二：含未知数型 例题2：规定a※b = 4a - 2b，若5※x = 14，求x的值。 思路导航： 1.根据规则，将a=5，b=x代入：4×5 - 2x = 14。 2.化简方程：20 - 2x = 14，解得2x=6，x=3。 规范解答： 5※x = 4×5 - 2x = 20 - 2x 已知20 - 2x = 14 则2x = 20 - 14 = 6 x = 6÷2 = 3 跟踪练习2：规定，若，求的值。 解析： 根据规则，将，代入得：。 化简：，解得。 答案：4 题型三：复合运算型 例题3：规定a△b = a×b - a，b□a = b + a÷2，求(2△3)□4的值。 思路导航： 1.先算括号内的“△”运算：2△3 = 2×3 - 2 = 6 - 2 = 4。 2.再算“□”运算：将b=4，a=4代入b□a（注意“□”的规则是b + a÷2），即4 + 4÷2 = 4 + 2 = 6。 规范解答： 2△3 = 2×3 - 2 = 4 4□4 = 4 + 4÷2 = 4 + 2 = 6 所以(2△3)□4 = 6 跟踪练习3：规定，，求的值。 解析： 先算括号内的：根据规则，代入得。 再算：根据规则，代入得。 答案：11 题型四：规律定义型 例题4：观察下面的算式，找出“△”的运算规则，再计算5△3。 1△2 = 1×2 + 1 = 3 2△3 = 2×3 + 2 = 8 3△4 = 3×4 + 3 = 15 思路导航： 1.对比例子：1△2=1×2+1，2△3=2×3+2，3△4=3×4+3。 2.总结规则：a△b = a×b + a（即a×(b + 1)）。 3.计算5△3 = 5×3 + 5 = 15 + 5 = 20。 规范解答： 规则：a△b = a×b + a 5△3 = 5×3 + 5 = 20 跟踪练习4：根据，，，计算的值。 解析： 观察规律：表示从开始，连续加个数（如是从1开始加3个数：1、2、3）。 则是从4开始加2个数：。 答案：9 提升练习 1．规定运算“※”为：。计算 。 【答案】72 【分析】a※b等于两个数的乘积与2的和，由此解答本题。 【详解】4※2 ＝4×2＋2 ＝10， 7※（4※2） ＝7※10 ＝7×10＋2 ＝72 2．如果，，那么 。 【答案】 9 【分析】根据题目中定义的运算符&的规则，a&b表示将a和b相加后的和除以b。按照此规律计算56&7即可。 【详解】56&7 ＝（56＋7）÷7 ＝63÷7 ＝9 因此56&7＝9 3．定义一种运算符号@，如果，，，，那么 。 【答案】 18 【分析】通过观察已知例子发现规律：；；；；；根据这个规律即可求解。 【详解】 因此。 4．对于任意自然数，定义运算。那么，算式2017！－15！的结果的个位数字是 。 【答案】0 【分析】要解决这个问题，我们需要分别分析2017！和15！的个位数字，再通过计算它们的差值得到最终结果的个位数字。根据定义n！＝1×2×3×…×n可知，关键观察点在于：当n＞5时，阶乘的计算过程中必然会包含因数2和5（因为2×5＝10），而10与任何整数相乘，结果的个位数字都是0。 因此，只要n＞5，n！的个位数字一定是0。 【详解】由于2017＞5，阶乘的计算过程中必然会包含因数2和5（因为2×5＝10），而10与任何整数相乘，结果的个位数字都是0。所以2017！的计算过程中必然包含2和5，因此：2017！的个位数字是0。 同理，15＞5，15！的计算过程中也包含2和5，因此：15！的个位数字是0。 两个个位数字均为0的数相减，差值的个位数字仍为0（例如：100－10＝90，个位是0）。因此：2017！－15！的个位数字是0。 5．如果5*2=5×（2+2），6*4=6×（4+2），那么7*3等于 ． 【答案】35   【分析】由已知两个等式推出算理，再根据算理即可推出7*3的结果. 【详解】解：7*3=7×（3+2）=35. 故答案为35. 6．规定“*”是一种新运算：“a*b＝a＋b÷（b﹣a）”，则2*（1*2）＝ ． 【答案】5 【详解】略 7．定义新运算“♂”，规定m♂n=（m－n）÷2，那么8 ♂（12♂2）与12♂（8♂2）是否相等？如果不相等，哪个大？ 【答案】不相等    12♂（8♂2）大 【详解】12♂2=（12－2）÷2=5 8 ♂（12♂2）=8 ♂5=（8-5）÷2=1.5 8♂2=（8－2）÷2=3 12♂（8♂2）=12♂3=（12-3）÷2=4.5 1.5＜4.5 答：不相等．12♂（8♂2）的结果大． 8．定义一种新运算“△”满足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34， 6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10. 【答案】55 【详解】根据给出的三个式子可总结出，A△B等于从A开始的B个连续整数的和．因此1△10等于从1开始的连续10个数的和，即1△10.=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55． 答：1△10等于55． 9．设p、q是两个数，规定p△q＝p2＋（p－q）×2。求30△（5△3）。 【答案】902 【分析】由题意可知，有括号先算括号里面的，根据定义运算，把数值代入然后根据运算法则进行计算即可。 【详解】30△（5△3） ＝30△［25＋（5－3）×2 ］ ＝30△29 ＝900＋（30－29）×2 ＝902 【点睛】本题考查定义运算，明确运算顺序是解题的关键。 10．规定a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋…＋（a＋b－1），其中a，b表示自然数．求：3△8的值． 【答案】52 【详解】由新运算△的含义可知：从第一个数开始的自然数相加的和，加数的个数为第二个自然数减1． 解：3△8＝3＋（3＋1）＋（3＋2）＋（3＋3）＋（3＋4）＋（3＋5）＋（3＋6）＋（3＋7）＝52 11．在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：135＝3，62＝0．试计算：(200049)9． 【答案】4 【详解】2000÷49＝40……40，所以200049＝40， 40÷9＝4……4，所以409＝4，即(200049)9＝4． 12．定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求值：6△（3△4）. 【答案】 【详解】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算．由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7. 13．规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，例如：3△5=5，3▽5=3，请计算：1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100．（运算的顺序是从左至右） 【答案】99. 【详解】试题分析：因为符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“▽”为选择两数中较小的数的运算，而△2△3▽4△5△6▽7△…▽100，两个向上的，一个向下的，3个是一周期，△取大，▽取小，所以正好是取3的倍数，到最后还剩99，据此解答即可． 解：因为3△5=5，3▽5=3 1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100 两个向上的，一个向下的，3个是一周期，△取大，▽取小，所以正好是取3的倍数， 到最后还剩99，所以： 1△2△3▽4△5△6▽7△…▽100 =2△3▽4△5△6▽7△…▽100 =3▽4△5△6▽7△…▽100 =3△5△6▽7△…▽100 =6▽7△…▽100 =6△8…▽100 =99▽100 =99 点评：本题考查根据新运算规则计算：正确找准计算规则是关键． 14．记号n!表示前n个正整数相乘，并且规定0！=l，例如：4!=1×2×3×4．每一个三位数都有一个“对应数”：a！+b!+c!，例如：254的对应数是2!+5!+4!=146．请问：对应数与自身相同的三位数是什么？ 【答案】145. 【分析】解答此题的关键是理解新运算意义，新的运算方法利用新方法算出在1，2，…，999这999个正整数中，1！、2!、3！、4！、5！、6！、的值，发现这时6！的值是三位数，7！的值超过1000，不是三位数，而4！的值达不到三位数，所以①：含一个5！（肯定100多）肯定有1！正好有：5！+4！+1！=120+24+1=145正好可以．②：2个5！2×5！=2×120=240必须是255，而2！+5!+5!=242错；由此即可得出答案． 【详解】解：因为6！=720，5！=120，4！=24，3！=6，2！=2，1！=1 不能有6！以上，否则含有7，8，9，而7！＞1000不是3位数， 必须要有5！否则达不到3位数， ①：含一个5！（肯定100多）肯定有1！ 正好有：5！+4！+1！=120+24+1=145 正好可以． ②：2个5！ 2×5！=2×120=240 必须是255， 而2！+5!+5!=242错． 所以这个三位数只能是145； 答：对应数与自身相同的三位数是145． 1 学科网（北京）股份有限公司 $