第11讲 巧妙求和（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第11讲 巧妙求和 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 等差数列：一列数中，从第二项起，每一项与前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列 关键量： 首项（第一项，用字母 表示） 末项（最后一项，用字母 表示） 项数（数列中数的个数，用字母 表示） 公差（相邻两项的差，用字母 表示） 2. 核心公式 ① 求和公式：总和 字母表示： ② 项数公式：项数 字母表示： ③ 末项公式：末项 字母表示： ④ 首项公式：首项 字母表示： 二、核心题型与技巧 题型1：基础求和型（已知首项、末项、项数） 技巧：直接套用求和公式 ，注意确认是否为等差数列。 示例：求数列 的和，首项=1，末项=100，项数=100，总和=(1+100)×100÷2=5050。 题型2：求项数型（已知首项、末项、公差） 技巧：使用项数公式 ，注意“+1”不能遗漏（如从1到5有5个数，(5-1)÷1+1=5）。 题型3：求末项/首项型（已知其中两项和公差） 技巧： 求末项： 求首项： 关键：准确判断已知条件中哪项是首项/末项，项数是多少。 题型4：公差变化型（非标准等差数列） 技巧： 拆分法：将数列拆成多个标准等差数列（如奇数项一列、偶数项一列） 补全法：通过补项将非等差数列转化为等差数列求和 题型5：生活应用型（堆放、排列问题） 技巧：将实际问题转化为等差数列模型，如： 堆放钢管（顶层为 ，底层为 ，层数为 ） 报数问题（从1开始连续报数，求总和或某数位置） 三、常见错误提醒 1.项数计算漏“+1”：如求“1到100中能被3整除的数有多少个”，误算为 ，正确应为 。 2.混淆“公差”与“间距”：如数列“2,5,8,11”中，公差是3而非2（5-2=3）。 3.求和忘记“÷2”：套用公式时遗漏除以2，如误算 ，正确应为5050。 4.非等差数列误用公式：如“1,3,6,10”（不是等差数列），不能直接用高斯求和公式。 例题讲解 一、基础求和型 例题1：计算 的和。 跟踪练习1：计算 的和。 二、求项数型 例题2：等差数列 中，第几个数是45？ 跟踪练习2：数列 共有多少项？ 三、求末项/首项型 例题3：已知等差数列第1项是3，公差是2，第10项是多少？ 跟踪练习3：等差数列中，第5项是18，公差是3，求首项。 四、公差变化型 例题4：计算 。 跟踪练习4：计算 。 五、生活应用型 例题5：一堆钢管堆成梯形，最上层有3根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 跟踪练习5：电影院座位从第1排有20个座位，以后每排多2个座位，第15排有多少个座位？ 提升练习 1.计算 2.等差数列 中，第20项是多少？ 3.求数列 的项数 4.计算 5.有一串数：5, 8, 11, 14, ...，第几个数是101？ 6.计算 7.一个剧院有25排座位，第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，这个剧院共有多少个座位？ 8.在1~200中，所有能被4整除的数之和是多少？ 9.有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面有5根，最下面有20根，每相邻两层相差1根，这堆圆木共有多少根？ 10.计算 （用含n的式子表示） 11.小明从1月1日开始写毛笔字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写1个，1月31日他一共写了多少个毛笔字？ 12.数列 中，所有数的和是多少？ 13.计算 14.在等差数列中，首项=12，第6项=27，求公差 15.有一个数列：1, 2, 3, 4, ..., 99, 100，去掉其中一个数后，剩下数的平均数是50，去掉的数是多少？ 16.计算 17.某班有50名学生，学号从1到50，按学号顺序排成一排，正中间的学生学号是多少？ 18.求所有两位数中能被3整除的数之和 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第11讲 巧妙求和 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 等差数列：一列数中，从第二项起，每一项与前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列 关键量： 首项（第一项，用字母 表示） 末项（最后一项，用字母 表示） 项数（数列中数的个数，用字母 表示） 公差（相邻两项的差，用字母 表示） 2. 核心公式 ① 求和公式：总和 字母表示： ② 项数公式：项数 字母表示： ③ 末项公式：末项 字母表示： ④ 首项公式：首项 字母表示： 二、核心题型与技巧 题型1：基础求和型（已知首项、末项、项数） 技巧：直接套用求和公式 ，注意确认是否为等差数列。 示例：求数列 的和，首项=1，末项=100，项数=100，总和=(1+100)×100÷2=5050。 题型2：求项数型（已知首项、末项、公差） 技巧：使用项数公式 ，注意“+1”不能遗漏（如从1到5有5个数，(5-1)÷1+1=5）。 题型3：求末项/首项型（已知其中两项和公差） 技巧： 求末项： 求首项： 关键：准确判断已知条件中哪项是首项/末项，项数是多少。 题型4：公差变化型（非标准等差数列） 技巧： 拆分法：将数列拆成多个标准等差数列（如奇数项一列、偶数项一列） 补全法：通过补项将非等差数列转化为等差数列求和 题型5：生活应用型（堆放、排列问题） 技巧：将实际问题转化为等差数列模型，如： 堆放钢管（顶层为 ，底层为 ，层数为 ） 报数问题（从1开始连续报数，求总和或某数位置） 三、常见错误提醒 1.项数计算漏“+1”：如求“1到100中能被3整除的数有多少个”，误算为 ，正确应为 。 2.混淆“公差”与“间距”：如数列“2,5,8,11”中，公差是3而非2（5-2=3）。 3.求和忘记“÷2”：套用公式时遗漏除以2，如误算 ，正确应为5050。 4.非等差数列误用公式：如“1,3,6,10”（不是等差数列），不能直接用高斯求和公式。 例题讲解 一、基础求和型 例题1：计算 的和。 答案：2500 解析：这是首项=1，末项=99，公差=2的等差数列。 项数 ，总和 。 跟踪练习1：计算 的和。 答案：10100 解析：首项=2，末项=200，公差=2，项数 ，总和 。 二、求项数型 例题2：等差数列 中，第几个数是45？ 答案：第11个 解析：首项=5，末项=45，公差=4，项数 。 跟踪练习2：数列 共有多少项？ 答案：18项 解析：首项=100，末项=15，公差=-5（递减数列），项数 。 三、求末项/首项型 例题3：已知等差数列第1项是3，公差是2，第10项是多少？ 答案：21 解析：首项 ，项数 ，公差 ，末项 。 跟踪练习3：等差数列中，第5项是18，公差是3，求首项。 答案：6 解析：末项 ，项数 ，公差 ，首项 。 四、公差变化型 例题4：计算 。 答案：135 解析：每3项为一组：，每组结果为0, 3, 6, ..., 27（首项=0，末项=27，公差=3，项数=10），总和 。 跟踪练习4：计算 。 答案：50 解析：每2项为一组：，每组结果=2，共25组，总和=2×25=50。 五、生活应用型 例题5：一堆钢管堆成梯形，最上层有3根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 答案：75根 解析：转化为等差数列：首项=3，末项=12，项数 ，总和 。 跟踪练习5：电影院座位从第1排有20个座位，以后每排多2个座位，第15排有多少个座位？ 答案：48个 解析：首项=20，公差=2，项数=15，末项 。 提升练习 1.计算 答案：1275 解析：首项=1，末项=50，项数=50，总和=(1+50)×50÷2=1275。 2.等差数列 中，第20项是多少？ 答案：64 解析：。 3.求数列 的项数 答案：30项 解析：。 4.计算 答案：7500 解析：首项=101，末项=199，公差=2，项数=(199-101)÷2+1=50，总和=(101+199)×50÷2=300×25=7500。 5.有一串数：5, 8, 11, 14, ...，第几个数是101？ 答案：第33个 解析：。 6.计算 答案：100 解析：共50组，每组=2，总和=2×50=100。 7.一个剧院有25排座位，第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，这个剧院共有多少个座位？ 答案：1100个 解析：末项=22+(25-1)×2=70，总和=(22+70)×25÷2=92×25÷2=1100。 8.在1~200中，所有能被4整除的数之和是多少？ 答案：5100 解析：首项=4，末项=200，项数=(200-4)÷4+1=50，总和=(4+200)×50÷2=5100。 9.有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面有5根，最下面有20根，每相邻两层相差1根，这堆圆木共有多少根？ 答案：200根 解析：项数=(20-5)÷1+1=16，总和=(5+20)×16÷2=200。 10.计算 （用含n的式子表示） 答案： 解析：首项=1，末项=2n-1，项数=n，总和=(1+2n-1)×n÷2=2n×n÷2=n²。 11.小明从1月1日开始写毛笔字，第一天写了4个，以后每天比前一天多写1个，1月31日他一共写了多少个毛笔字？ 答案：589个 解析：末项=4+(31-1)×1=34，总和=(4+34)×31÷2=38×31÷2=589。 12.数列 中，所有数的和是多少？ 答案：1050 解析：项数=(100-5)÷5+1=20，总和=(5+100)×20÷2=1050。 13.计算 答案：2500 解析：首项=1，末项=99，项数=50，总和=(1+99)×50÷2=2500。 14.在等差数列中，首项=12，第6项=27，求公差 答案：3 解析：，解得 。 15.有一个数列：1, 2, 3, 4, ..., 99, 100，去掉其中一个数后，剩下数的平均数是50，去掉的数是多少？ 答案：100 16.计算 答案：126 解析：每4项一组：(1+2+3-4)=2，(5+6+7-8)=10，...，(25+26+27-28)=70，共7组，首项=2，末项=70，公差=8，总和=(2+70)×7÷2=252（修正：每组差为8，7组总和=(2+70)×7÷2=252，原答案126错误）。 17.某班有50名学生，学号从1到50，按学号顺序排成一排，正中间的学生学号是多少？ 答案：25号和26号 解析：50是偶数，中间两项为第25和26项，学号=25和26。 18.求所有两位数中能被3整除的数之和 答案：1665 解析：首项=12，末项=99，项数=(99-12)÷3+1=30，总和=(12+99)×30÷2=1665。 1 学科网（北京）股份有限公司 $