第19讲 巧算年龄（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第19讲 巧算年龄 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 年龄问题是研究人与人之间年龄关系的问题，其核心特点是： 年龄差不变：两人的年龄差始终保持不变，不随时间变化而改变 年龄同时增长：随着时间推移，每个人的年龄都同时增加或减少相同的数量 关键量：现在年龄、过去年龄、将来年龄、年龄差、年龄倍数 2. 核心公式 ① 几年后年龄 = 现在年龄 + 年数 ② 几年前年龄 = 现在年龄 - 年数 ③ 年龄差 = 大年龄 - 小年龄（恒不变） ④ 年龄和 = 各人年龄之和 ⑤ 倍数关系：大年龄 = 小年龄 × 倍数（倍数随年龄增长而减小） 二、核心题型与技巧 题型1：基本年龄计算（已知现在年龄求过去或将来年龄） 技巧：直接利用基本公式"几年后年龄 = 现在年龄 + 年数"或"几年前年龄 = 现在年龄 - 年数"，注意时间的方向性。 题型2：年龄差与倍数问题（已知年龄差和倍数关系求年龄） 技巧：抓住"年龄差不变"的核心，利用"差倍问题"公式： 较小年龄 = 年龄差 ÷ (倍数 - 1) 较大年龄 = 较小年龄 × 倍数 或 较小年龄 + 年龄差 题型3：年龄和问题（已知年龄和及年龄关系） 技巧：利用"和差问题"或"和倍问题"公式： 和差问题：较大年龄 = (年龄和 + 年龄差) ÷ 2 较小年龄 = (年龄和 - 年龄差) ÷ 2 和倍问题：较小年龄 = 年龄和 ÷ (倍数 + 1) 较大年龄 = 较小年龄 × 倍数 题型4：多人年龄问题（三个或以上人物的年龄关系） 技巧：先确定一个基准年龄，再根据年龄差表示其他人的年龄，最后根据题意列方程或算式求解。 题型5：年龄问题中的时间推算 技巧：通过画线段图分析年龄关系，特别注意"当A的年龄是B现在年龄时"这类时间点的推算，关键是找出时间差与年龄差的关系。 三、常见错误提醒 1.年龄差变化错误：误认为年龄差会随时间变化，实际上年龄差是恒定不变的。 2.倍数关系混淆：错把"现在的倍数关系"当作"几年前/后"的倍数关系，忽略倍数会随年龄增长而变化。 3.时间计算错误：计算"几年前"或"几年后"时，忘记从两人年龄中同时加或减相同的年数。 4.多人年龄和错误：计算多人年龄和时，重复计算或遗漏某些人的年龄。 5.基准年龄选择不当：解决复杂年龄问题时，没有选择合适的基准年龄，导致关系混乱。 例题讲解 一、基本年龄计算 例题1：小明今年8岁，爸爸今年35岁。10年后爸爸比小明大多少岁？5年前小明比爸爸小多少岁？ 答案：27岁，27岁 解析：年龄差始终不变。爸爸和小明的年龄差为35-8=27（岁）。10年后和5年前，这个年龄差都不会改变，因此答案都是27岁。 跟踪练习1：今年小红10岁，妈妈36岁。当小红20岁时，妈妈多少岁？当妈妈50岁时，小红多少岁？ 答案：46岁，24岁 解析：小红从10岁到20岁经过了10年，妈妈也增长10岁，所以妈妈是36+10=46（岁）。妈妈从36岁到50岁经过了14年，小红也增长14岁，所以小红是10+14=24（岁）。 二、年龄差与倍数问题 例题2：今年妈妈的年龄是女儿的4倍，妈妈比女儿大27岁。妈妈和女儿今年各多少岁？ 答案：妈妈36岁，女儿9岁 解析：年龄差为27岁，倍数差为4-1=3倍。女儿年龄=27÷3=9（岁），妈妈年龄=9×4=36（岁）。 跟踪练习2：今年爸爸的年龄是儿子的5倍，5年后爸爸比儿子大28岁。今年爸爸和儿子各多少岁？ 答案：爸爸35岁，儿子7岁 解析：年龄差28岁不变，倍数差为5-1=4倍。儿子今年年龄=28÷4=7（岁），爸爸今年年龄=7×5=35（岁）。 三、年龄和问题 例题3：今年小红和妈妈年龄的和是45岁，妈妈的年龄是小红的4倍。小红和妈妈今年各多少岁？ 答案：小红9岁，妈妈36岁 解析：年龄和为45岁，倍数和为4+1=5倍。小红年龄=45÷5=9（岁），妈妈年龄=9×4=36（岁）。 跟踪练习3：今年小刚和爸爸年龄的和是50岁，爸爸比小刚大26岁。今年小刚和爸爸各多少岁？ 答案：小刚12岁，爸爸38岁 解析：利用和差问题公式，小刚年龄=(50-26)÷2=12（岁），爸爸年龄=(50+26)÷2=38（岁）。 四、多人年龄问题 例题4：一家三口人的年龄和是72岁，爸爸和妈妈同岁，妈妈的年龄是儿子的4倍。三人各多少岁？ 答案：爸爸32岁，妈妈32岁，儿子8岁 解析：设儿子年龄为1份，爸爸妈妈各为4份，总份数=4+4+1=9份。儿子年龄=72÷9=8（岁），爸爸妈妈年龄=8×4=32（岁）。 跟踪练习4：今年爷爷、爸爸和小明年龄的和是100岁，爷爷年龄是小明的12倍，爸爸年龄是小明的7倍。三人今年各多少岁？ 答案：爷爷60岁，爸爸35岁，小明5岁 解析：设小明年龄为1份，总份数=12+7+1=20份。小明年龄=100÷20=5（岁），爸爸年龄=5×7=35（岁），爷爷年龄=5×12=60（岁）。 五、年龄问题中的时间推算 例题5：今年妈妈30岁，女儿4岁。当母女俩年龄和是50岁时，两人各多少岁？ 答案：妈妈33岁，女儿7岁 解析：今年年龄和=30+4=34（岁），年龄和需增加50-34=16（岁），每人增加16÷2=8（岁）。妈妈年龄=30+8=38（岁），女儿年龄=4+8=12（岁）。 跟踪练习5：今年小明12岁，奶奶60岁。多少年前奶奶的年龄是小明的7倍？ 答案：4年前 解析：年龄差=60-12=48（岁），当奶奶年龄是小明7倍时，倍数差=7-1=6倍。小明当时年龄=48÷6=8（岁），12-8=4（年），即4年前。 提升练习 1．今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等．10年后小刚年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等，则小刚今年的年龄是多少岁？ 【答案】10岁 【详解】假设今年小刚年龄是5份，那么今年小芳年龄是3份，年龄差是2份，而10年后小刚的年龄是“5”份，小芳的年龄是“4”份，年龄差只是“1”份，根据年龄差是不变的，把10年后的份数扩大2倍，份数就统一了．也就是说，今年小刚年龄是5份，10年后小刚的年龄是10份．由差倍问题解法可求． 2．今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍，问今年儿子多少岁？ 【答案】10岁 【分析】父子的年龄差是不变的，它是今年儿子年龄的（4－1＝）3倍，又是20年后儿子年龄的（2－1＝）1倍．也就是说，20年后的儿子年龄是今年儿子年龄的3倍．则20是今年儿子年龄的2倍． 【详解】父子的年龄差是今年儿子年龄的3倍，又是20年后儿子年龄的1倍． 今年儿子的年龄：20÷（3－1）=10 (岁) 答：今年儿子的年龄是10岁． 3．四个人年龄之和是77岁，年龄最小的10岁，年龄最大与最小的人年龄之和比另外两个人的年龄之和大7岁，问年龄最大的人多少岁？ 【答案】32岁 【详解】略 4．父母子一家三人今年全家年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁．父比母大4岁．求今年每人的年龄． 【答案】父亲35岁  母亲31岁  儿子4岁 【分析】10年前三人的年龄和应是70－10×3＝40岁，而题中是46岁，说明10年前儿子还没出生．10年前父母年龄和就是46岁． 【详解】儿子的年龄：70－（46＋10×2）＝4（岁） 父亲的年龄：（46＋4）÷2＋10＝35（岁） 母亲的年龄：35－4＝31（岁） 答：父亲35岁，母亲31岁，儿子4岁． 5．兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，那年弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？ 【答案】18岁 【分析】若把那年弟弟的年龄看作1份，那年哥哥的年龄就是2份，两人的年龄差是1份，今年弟弟的年龄也是2份，因为年龄差始终不变，所以今年哥哥的年龄就是3份，兄弟俩今年的年龄和就是2＋3＝5（份），先算出每份所代表的年龄，再乘以今年哥哥年龄的份数，即可得出哥哥今年的年龄。 【详解】 （岁） 答：今年哥哥18岁。 【点睛】解答本题，同学们可借助线段图来进行分析，分析过程中注意年龄差始终不变。 6．哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁。 【答案】18岁 【分析】假设弟弟当年年龄是份，那么哥哥现在的年龄就是份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，以此解答。 【详解】兄弟现在的年龄和：3＋2＝5（份） 一份：30÷5＝6 哥哥现在：6×3＝18（岁） 答：哥哥现在18岁。 【点睛】此题主要考查学生对差倍问题的理解与应用。 7．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？ 【答案】父亲40岁；母亲36岁；儿子11岁． 【详解】已知：父+子=51（岁） 母+子=47（岁） 父+母+子=87（岁） 可以用下列方式来表达： 同样地，可以知道： 类似地，容易求出儿子的年龄为51－40 = 11（岁）． 8．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄． 【答案】9岁 【详解】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有． 小明的年龄是（岁）． 9．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 【答案】爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁. 【详解】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁； ②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁． 根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁． ③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁． （法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系： ，这个二元一次方程组的解为． 如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁． 10．梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．”问陈老师有多少子女． 【答案】3个. 【详解】2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍．这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个．最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女． 11．哥哥对弟弟说：“当我在你现在的年龄时，你才岁”．弟弟又对哥哥说：“当我长到你现在的年龄时，你已岁了”，问哥哥和弟弟现在各多少岁？ 【答案】哥哥17岁，弟弟12岁 【详解】7岁到22岁之间是3个年龄差，哥哥与弟弟的年龄差为5岁，因此弟弟现在年龄为12岁，哥哥现在年龄为17岁． 12．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？ 【答案】12岁 【详解】因为哥哥和弟弟之间的年龄差不变，所以哥哥现在的年龄＝弟弟现在的年龄＋年龄差＝弟弟过去年龄的3倍＋弟弟过去年龄的2倍＝弟弟过去年龄的5倍。 当弟弟是哥哥现在年龄时（弟弟过去年龄的5倍），哥哥此时的年龄＝弟弟过去年龄的5倍＋弟弟过去年龄的2倍＝弟弟过去年龄的7倍 此时两人的年龄之和＝弟弟过去年龄的5倍＋弟弟过去年龄的7倍＝弟弟过去年龄的12倍＝48 所以弟弟过去年龄＝48÷12＝4（岁） 弟弟现在年龄＝4×3＝12（岁） 答：弟弟现在12岁。 13．甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？ 【答案】甲28岁，乙21岁 【详解】从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1）；乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2）. 把甲乙的对话用下图表示为： 由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3） 由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4） 由（3）（4）年龄差＝7（岁）从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．所以，乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）. 14．五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？ 【答案】88岁 【详解】如果最小的比只小岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于岁，而最大的比大岁，这样平均年龄必超过岁；如果最小的比小岁，那么可能还有一人比小岁，但最大的比大岁，而，从而平均年龄仍超过岁；如果最小的比小岁，那么最大的比大岁，两人的平均年龄正好是岁，其他三人如果年龄是、、(或、、)，那么五人平均年龄正好是岁；如果最小的比小岁或小岁，类似前面的分析可知，这时平均年龄必小于岁．因此 ，最大的年龄一定是岁． 15．有一家三口，爸爸比妈妈大岁，他们全家今年的年龄加起来正好是岁，而年前他们全家人年龄加起来刚好是岁．小孩子今年多少岁？ 【答案】3岁 【详解】因为，所以孩子的年龄小于岁，也就是年前孩子还没有出生，小孩今年的年龄是：(岁) 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第19讲 巧算年龄 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 年龄问题是研究人与人之间年龄关系的问题，其核心特点是： 年龄差不变：两人的年龄差始终保持不变，不随时间变化而改变 年龄同时增长：随着时间推移，每个人的年龄都同时增加或减少相同的数量 关键量：现在年龄、过去年龄、将来年龄、年龄差、年龄倍数 2. 核心公式 ① 几年后年龄 = 现在年龄 + 年数 ② 几年前年龄 = 现在年龄 - 年数 ③ 年龄差 = 大年龄 - 小年龄（恒不变） ④ 年龄和 = 各人年龄之和 ⑤ 倍数关系：大年龄 = 小年龄 × 倍数（倍数随年龄增长而减小） 二、核心题型与技巧 题型1：基本年龄计算（已知现在年龄求过去或将来年龄） 技巧：直接利用基本公式"几年后年龄 = 现在年龄 + 年数"或"几年前年龄 = 现在年龄 - 年数"，注意时间的方向性。 题型2：年龄差与倍数问题（已知年龄差和倍数关系求年龄） 技巧：抓住"年龄差不变"的核心，利用"差倍问题"公式： 较小年龄 = 年龄差 ÷ (倍数 - 1) 较大年龄 = 较小年龄 × 倍数 或 较小年龄 + 年龄差 题型3：年龄和问题（已知年龄和及年龄关系） 技巧：利用"和差问题"或"和倍问题"公式： 和差问题：较大年龄 = (年龄和 + 年龄差) ÷ 2 较小年龄 = (年龄和 - 年龄差) ÷ 2 和倍问题：较小年龄 = 年龄和 ÷ (倍数 + 1) 较大年龄 = 较小年龄 × 倍数 题型4：多人年龄问题（三个或以上人物的年龄关系） 技巧：先确定一个基准年龄，再根据年龄差表示其他人的年龄，最后根据题意列方程或算式求解。 题型5：年龄问题中的时间推算 技巧：通过画线段图分析年龄关系，特别注意"当A的年龄是B现在年龄时"这类时间点的推算，关键是找出时间差与年龄差的关系。 三、常见错误提醒 1.年龄差变化错误：误认为年龄差会随时间变化，实际上年龄差是恒定不变的。 2.倍数关系混淆：错把"现在的倍数关系"当作"几年前/后"的倍数关系，忽略倍数会随年龄增长而变化。 3.时间计算错误：计算"几年前"或"几年后"时，忘记从两人年龄中同时加或减相同的年数。 4.多人年龄和错误：计算多人年龄和时，重复计算或遗漏某些人的年龄。 5.基准年龄选择不当：解决复杂年龄问题时，没有选择合适的基准年龄，导致关系混乱。 例题讲解 一、基本年龄计算 例题1：小明今年8岁，爸爸今年35岁。10年后爸爸比小明大多少岁？5年前小明比爸爸小多少岁？ 跟踪练习1：今年小红10岁，妈妈36岁。当小红20岁时，妈妈多少岁？当妈妈50岁时，小红多少岁？ 二、年龄差与倍数问题 例题2：今年妈妈的年龄是女儿的4倍，妈妈比女儿大27岁。妈妈和女儿今年各多少岁？ 跟踪练习2：今年爸爸的年龄是儿子的5倍，5年后爸爸比儿子大28岁。今年爸爸和儿子各多少岁？ 三、年龄和问题 例题3：今年小红和妈妈年龄的和是45岁，妈妈的年龄是小红的4倍。小红和妈妈今年各多少岁？ 跟踪练习3：今年小刚和爸爸年龄的和是50岁，爸爸比小刚大26岁。今年小刚和爸爸各多少岁？ 四、多人年龄问题 例题4：一家三口人的年龄和是72岁，爸爸和妈妈同岁，妈妈的年龄是儿子的4倍。三人各多少岁？ 跟踪练习4：今年爷爷、爸爸和小明年龄的和是100岁，爷爷年龄是小明的12倍，爸爸年龄是小明的7倍。三人今年各多少岁？ 五、年龄问题中的时间推算 例题5：今年妈妈30岁，女儿4岁。当母女俩年龄和是50岁时，两人各多少岁？ 跟踪练习5：今年小明12岁，奶奶60岁。多少年前奶奶的年龄是小明的7倍？ 提升练习 1．今年小刚年龄的3倍与小芳年龄的5倍相等．10年后小刚年龄的4倍与小芳年龄的5倍相等，则小刚今年的年龄是多少岁？ 2．今年父亲的年龄为儿子年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子年龄的2倍，问今年儿子多少岁？ 3．四个人年龄之和是77岁，年龄最小的10岁，年龄最大与最小的人年龄之和比另外两个人的年龄之和大7岁，问年龄最大的人多少岁？ 4．父母子一家三人今年全家年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁．父比母大4岁．求今年每人的年龄． 5．兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，那年弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半，哥哥今年几岁？ 6．哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁。问：哥哥现在多少岁。 7．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？ 8．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄． 9．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 10．梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．”问陈老师有多少子女． 11．哥哥对弟弟说：“当我在你现在的年龄时，你才岁”．弟弟又对哥哥说：“当我长到你现在的年龄时，你已岁了”，问哥哥和弟弟现在各多少岁？ 12．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？ 13．甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.”问：甲、乙二人现在各多少岁？ 14．五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？ 15．有一家三口，爸爸比妈妈大岁，他们全家今年的年龄加起来正好是岁，而年前他们全家人年龄加起来刚好是岁．小孩子今年多少岁？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $