第26讲 二进制（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第26讲 二进制 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 二进制是一种以2为基数的计数法，只使用0和1两个数字。计算机内部运算采用二进制，因为它更容易用电子元件实现（如开关的开和关）。 关键要素： 基数：2（每满2就向前一位进1） 数字符号：0和1（称为二进制位，简称"位"） 位权：从右往左，第n位的位权是2^(n-1)（如第1位是2⁰=1，第2位是2¹=2，第3位是2²=4，依此类推） 2.表示方法 书写方式：通常在数字后加"₂"标明是二进制，如101₂ 读法：按位读数字，如101₂读作"一零一"二进制，不读"一百零一" 3.核心方法 ① 二进制数的读写方法 读法：从左到右依次读出每个数字，最后加上"二进制" 写法：用0和1表示，遵循"满2进1"原则 ② 二进制转十进制方法 按位权展开相加：将二进制的每一位数字乘以对应的位权，再将结果相加。 ③ 十进制转二进制方法 除2取余法：将十进制数不断除以2，记录每次的余数，最后将余数倒序排列。 ④ 二进制加减法 加法：遵循"0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10"（满2进1） 减法：遵循"0-0=0，1-0=1，1-1=0，10-1=1"（不够减时向前一位借1当2） 二、核心题型与技巧 题型1：认识二进制数 技巧：理解二进制的位数含义，掌握二进制数的正确读写方法。 示例：下列哪个是二进制数？ A. 123₂ B. 101₂ C. 202₂ D. 112₂ 解析：二进制只能包含0和1，正确答案是B。 题型2：二进制转十进制 技巧：按位权展开，从右往左第1位乘2⁰，第2位乘2¹，依此类推，再将所有结果相加。 示例：将二进制数1011₂转换为十进制数。 解析：1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀ 题型3：十进制转二进制 技巧：使用"除2取余法"，将十进制数除以2，记录余数，再用商除以2，直到商为0，最后将所有余数从后往前排列。 示例：将十进制数13转换为二进制数。 解析：13 ÷ 2 = 6 余 1 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数倒序排列：1101₂，所以13₁₀ = 1101₂ 题型4：二进制加减法 技巧：加法遵循"满2进1"，减法遵循"借1当2"，计算时相同数位对齐，从右往左依次计算。 示例1（加法）：计算101₂ + 11₂ 解析： 101 + 11 ------ 1000 所以101₂ + 11₂ = 1000₂ 示例2（减法）：计算110₂ - 11₂ 解析： 110 - 11 ------ 11 所以110₂ - 11₂ = 11₂ 题型5：二进制的实际应用 技巧：理解二进制在生活中的应用，如开关状态、编码等，通过0和1表示两种对立状态。 示例：一个房间有3盏灯，每盏灯有"开"和"关"两种状态，用二进制数表示灯的开关状态，其中1表示开，0表示关。如果二进制数101₂表示当前状态，那么哪盏灯是开着的？ 解析：从右往左第1位和第3位是1，所以第1盏和第3盏灯是开着的。 三、常见错误提醒 1.概念混淆：将二进制与十进制混淆，误读二进制数（如将10₂读作"十"而不是"一零二进制"）。 2.位权错误：转换时记错位权，尤其是从右往左第1位是2⁰=1，而不是2¹=2。 3.十进制转二进制时余数顺序错误：除2取余后，未将余数倒序排列，导致结果错误。 4.加减法进位/借位错误：忘记"满2进1"或"借1当2"的规则，仍按十进制的"满10进1"计算。 5.位数对齐问题：进行加减运算时，没有将两个数的右对齐，导致数位错误。 例题讲解 一、二进制数的认识与读写 例题1：读出下列二进制数，并说明它们各有几位： (1) 101₂ (2) 1101₂ (3) 1000₂ 跟踪练习1：写出下列二进制数： (1) 三位二进制数中最大的数 (2) 四位二进制数中最小的数 二、二进制转十进制 例题2：将二进制数1101₂转换为十进制数。 跟踪练习2：将二进制数10101₂转换为十进制数。 三、十进制转二进制 例题3：将十进制数17转换为二进制数。 跟踪练习3：将十进制数25转换为二进制数。 四、二进制的加减法 例题4：计算二进制加法：1011₂ + 110₂ 跟踪练习4：计算二进制减法：1100₂ - 101₂ 五、二进制的实际应用 例题5：某商店用二进制数给商品编号，编号由4位二进制数组成，其中最左边一位表示商品类别（0表示食品，1表示日用品），其余三位表示商品序号。请问编号1011₂表示什么商品？ 跟踪练习5：一个密码锁有4个按钮，每个按钮只有按下(1)和未按下(0)两种状态，用二进制数表示按钮状态。如果当前状态是1010₂，请问哪些按钮被按下了？ 提升练习 1.下列哪个是二进制数？（ ） A. 120₂ B. 111₂ C. 201₂ D. 1234₂ 2.二进制数111₂转换为十进制数是多少？ 3.将十进制数9转换为二进制数。 4.计算二进制加法：110₂ + 101₂ 5.计算二进制减法：1000₂ - 1₂ 6.二进制数1010₂和110₂相加的结果是多少（用二进制表示）？ 7.将二进制数1110₂转换为十进制数。 8.将十进制数20转换为二进制数。 9.二进制数1001₂和111₂相差多少（用十进制表示）？ 10.一个4位二进制数，它的最大值转换为十进制是多少？ 11.计算二进制加法：1111₂ + 1₂ 12.某二进制数共有3位，且所有位上的数字之和为2，这样的二进制数有哪些？ 13.小明用二进制数记录自己一周的出勤情况，1表示出勤，0表示缺勤，从周一到周日依次记录。如果记录结果是1110111₂，那么小明哪几天缺勤了？ 14.比较大小：1011₂和 （在○中填入>、<或=） 15.一个二进制数与101₂相加得到1000₂，这个二进制数是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第26讲 二进制 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 二进制是一种以2为基数的计数法，只使用0和1两个数字。计算机内部运算采用二进制，因为它更容易用电子元件实现（如开关的开和关）。 关键要素： 基数：2（每满2就向前一位进1） 数字符号：0和1（称为二进制位，简称"位"） 位权：从右往左，第n位的位权是2^(n-1)（如第1位是2⁰=1，第2位是2¹=2，第3位是2²=4，依此类推） 2.表示方法 书写方式：通常在数字后加"₂"标明是二进制，如101₂ 读法：按位读数字，如101₂读作"一零一"二进制，不读"一百零一" 3.核心方法 ① 二进制数的读写方法 读法：从左到右依次读出每个数字，最后加上"二进制" 写法：用0和1表示，遵循"满2进1"原则 ② 二进制转十进制方法 按位权展开相加：将二进制的每一位数字乘以对应的位权，再将结果相加。 ③ 十进制转二进制方法 除2取余法：将十进制数不断除以2，记录每次的余数，最后将余数倒序排列。 ④ 二进制加减法 加法：遵循"0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10"（满2进1） 减法：遵循"0-0=0，1-0=1，1-1=0，10-1=1"（不够减时向前一位借1当2） 二、核心题型与技巧 题型1：认识二进制数 技巧：理解二进制的位数含义，掌握二进制数的正确读写方法。 示例：下列哪个是二进制数？ A. 123₂ B. 101₂ C. 202₂ D. 112₂ 解析：二进制只能包含0和1，正确答案是B。 题型2：二进制转十进制 技巧：按位权展开，从右往左第1位乘2⁰，第2位乘2¹，依此类推，再将所有结果相加。 示例：将二进制数1011₂转换为十进制数。 解析：1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀ 题型3：十进制转二进制 技巧：使用"除2取余法"，将十进制数除以2，记录余数，再用商除以2，直到商为0，最后将所有余数从后往前排列。 示例：将十进制数13转换为二进制数。 解析：13 ÷ 2 = 6 余 1 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数倒序排列：1101₂，所以13₁₀ = 1101₂ 题型4：二进制加减法 技巧：加法遵循"满2进1"，减法遵循"借1当2"，计算时相同数位对齐，从右往左依次计算。 示例1（加法）：计算101₂ + 11₂ 解析： 101 + 11 ------ 1000 所以101₂ + 11₂ = 1000₂ 示例2（减法）：计算110₂ - 11₂ 解析： 110 - 11 ------ 11 所以110₂ - 11₂ = 11₂ 题型5：二进制的实际应用 技巧：理解二进制在生活中的应用，如开关状态、编码等，通过0和1表示两种对立状态。 示例：一个房间有3盏灯，每盏灯有"开"和"关"两种状态，用二进制数表示灯的开关状态，其中1表示开，0表示关。如果二进制数101₂表示当前状态，那么哪盏灯是开着的？ 解析：从右往左第1位和第3位是1，所以第1盏和第3盏灯是开着的。 三、常见错误提醒 1.概念混淆：将二进制与十进制混淆，误读二进制数（如将10₂读作"十"而不是"一零二进制"）。 2.位权错误：转换时记错位权，尤其是从右往左第1位是2⁰=1，而不是2¹=2。 3.十进制转二进制时余数顺序错误：除2取余后，未将余数倒序排列，导致结果错误。 4.加减法进位/借位错误：忘记"满2进1"或"借1当2"的规则，仍按十进制的"满10进1"计算。 5.位数对齐问题：进行加减运算时，没有将两个数的右对齐，导致数位错误。 例题讲解 一、二进制数的认识与读写 例题1：读出下列二进制数，并说明它们各有几位： (1) 101₂ (2) 1101₂ (3) 1000₂ 答案： (1) 一零一二进制，3位 (2) 一一零一二进制，4位 (3) 一零零零二进制，4位 解析：二进制数的读法是按数字顺序从左到右读出每个数字，最后加上"二进制"，位数就是数字的个数。 跟踪练习1：写出下列二进制数： (1) 三位二进制数中最大的数 (2) 四位二进制数中最小的数 答案： (1) 111₂ (2) 1000₂ 解析：二进制数每一位只能是0或1，最大的三位二进制数是111₂，最小的四位二进制数是1000₂。 二、二进制转十进制 例题2：将二进制数1101₂转换为十进制数。 答案： 解析：按位权展开计算： 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 跟踪练习2：将二进制数10101₂转换为十进制数。 答案： 解析：10101₂ = 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 三、十进制转二进制 例题3：将十进制数17转换为二进制数。 答案：10001₂ 解析：使用除2取余法： 17 ÷ 2 = 8 余 1 8 ÷ 2 = 4 余 0 4 ÷ 2 = 2 余 0 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 将余数从后往前排列：10001₂ 跟踪练习3：将十进制数25转换为二进制数。 答案：11001₂ 解析：25 ÷ 2 = 12 余 1 12 ÷ 2 = 6 余 0 6 ÷ 2 = 3 余 0 3 ÷ 2 = 1 余 1 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数倒序排列：11001₂ 四、二进制的加减法 例题4：计算二进制加法：1011₂ + 110₂ 答案：10001₂ 解析： 1011 + 110 ------ 10001 步骤解析： 右起第1位：1+0=1 第2位：1+1=10，写0进1 第3位：0+1+1=10，写0进1 第4位：1+0+1=10，写0进1 最后加上进位的1，得到10001₂ 跟踪练习4：计算二进制减法：1100₂ - 101₂ 答案：111₂ 解析： 1100 - 101 ------ 111 步骤解析： 右起第1位：0减1不够减，向前借1当2，2-1=1 第2位：被借走1剩-1，不够减0，向前借1当2，2-1-0=1 第3位：被借走1剩0，减1不够减，向前借1当2，2-1=1 第4位：被借走1剩0，所以结果是111₂ 五、二进制的实际应用 例题5：某商店用二进制数给商品编号，编号由4位二进制数组成，其中最左边一位表示商品类别（0表示食品，1表示日用品），其余三位表示商品序号。请问编号1011₂表示什么商品？ 答案：日用品，序号5 解析：最左边一位是1，表示日用品； 后三位是011₂，转换为十进制：0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 0 + 2 + 1 = 3， 所以是日用品类的第3号商品。 跟踪练习5：一个密码锁有4个按钮，每个按钮只有按下(1)和未按下(0)两种状态，用二进制数表示按钮状态。如果当前状态是1010₂，请问哪些按钮被按下了？ 答案：第1个和第3个按钮被按下（从右往左数） 解析：二进制数1010₂从右往左各位依次表示第1到第4个按钮的状态， 第1位：0（未按下），第2位：1（按下），第3位：0（未按下），第4位：1（按下）， 所以从右往左数第2个和第4个按钮被按下，或从左往右数第1个和第3个按钮被按下。 提升练习 1.下列哪个是二进制数？（ ） A. 120₂ B. 111₂ C. 201₂ D. 1234₂ 【答案】B 【分析】二进制数只能包含0和1两个数字，选项A、C、D中都包含大于1的数字，所以正确答案是B。 2.二进制数111₂转换为十进制数是多少？ 【答案】 【分析】111₂ = 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 4 + 2 + 1 = 3.将十进制数9转换为二进制数。 【答案】1001₂ 【分析】9 ÷ 2 = 4 余 1 4 ÷ 2 = 2 余 0 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数倒序排列：1001₂ 4.计算二进制加法：110₂ + 101₂ 【答案】1011₂ 【分析】 110 + 101 ------ 1011 5.计算二进制减法：1000₂ - 1₂ 【答案】111₂ 【分析】 1000 - 1 ------ 111 6.二进制数1010₂和110₂相加的结果是多少（用二进制表示）？ 【答案】10000₂ 【分析】 1010 + 110 ------ 10000 7.将二进制数1110₂转换为十进制数。 【答案】 【分析】1110₂ = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 8.将十进制数20转换为二进制数。 【答案】10100₂ 【分析】20 ÷ 2 = 10 余 0 10 ÷ 2 = 5 余 0 5 ÷ 2 = 2 余 1 2 ÷ 2 = 1 余 0 1 ÷ 2 = 0 余 1 余数倒序排列：10100₂ 9.二进制数1001₂和111₂相差多少（用十进制表示）？ 【答案】 【分析】1001₂ = ，111₂ = ₀，9 - 7 = 10.一个4位二进制数，它的最大值转换为十进制是多少？ 【答案】 【分析】4位二进制数最大值是1111₂，转换为十进制：1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 2 + 1 = 11.计算二进制加法：1111₂ + 1₂ 【答案】10000₂ 【分析】 1111 + 1 ------ 10000 这是一个重要的规律：n个1组成的二进制数加1等于1后面跟n个0的二进制数。 12.某二进制数共有3位，且所有位上的数字之和为2，这样的二进制数有哪些？ 【答案】101₂、110₂、011₂ 【分析】3位二进制数的每一位都是0或1，数字之和为2，说明有两位是1，一位是0，可能的组合有101₂、110₂、011₂。 13.小明用二进制数记录自己一周的出勤情况，1表示出勤，0表示缺勤，从周一到周日依次记录。如果记录结果是1110111₂，那么小明哪几天缺勤了？ 【答案】周四缺勤 【分析】二进制数1110111₂从右往左依次表示周一到周日： 第1位（周一）：1（出勤） 第2位（周二）：1（出勤） 第3位（周三）：1（出勤） 第4位（周四）：0（缺勤） 第5位（周五）：1（出勤） 第6位（周六）：1（出勤） 第7位（周日）：1（出勤） 所以小明周四缺勤。 14.比较大小：1011₂和 （在○中填入>、<或=） 【答案】1011₂ > 【分析】1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = ， > ，所以1011₂ > 。 15.一个二进制数与101₂相加得到1000₂，这个二进制数是多少？ 【答案】11₂ 【分析】这是一个二进制加法的逆问题，用和减去一个加数：1000₂ - 101₂ = 011₂ = 11₂。 验证：11₂ + 101₂ = 1000₂，正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $