第12讲 图形面积（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第12讲 图形面积 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 面积是指平面图形所占平面部分的大小。常用面积单位有：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²)。 关键量：图形的边长、底、高、对角线等；面积单位及换算关系。 2.核心公式 ① 长方形面积 = 长 × 宽 (S = a × b) ② 正方形面积 = 边长 × 边长 (S = a × a = a²) ③ 平行四边形面积 = 底 × 高 (S = a × h) ④ 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = a × h ÷ 2) ⑤ 梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b) × h ÷ 2) 3.面积单位换算 1平方米 = 100平方分米，1平方分米 = 100平方厘米，1平方米 = 10000平方厘米 二、核心题型与技巧 题型1：基础图形面积计算（直接应用公式） 技巧：识别图形类型，找到对应的底和高，直接套用面积公式计算。注意单位统一。 公式：根据图形类型选择相应公式，确保底和高的单位一致。 题型2：组合图形面积（分割法） 技巧：将组合图形分割成若干个基本图形（长方形、正方形、三角形等），分别计算面积后求和。 步骤：① 合理分割 ② 分别计算 ③ 求和得总面积 题型3：组合图形面积（添补法） 技巧：将不规则图形添补成一个规则图形，用大图形面积减去添补部分面积得所求面积。 步骤：① 确定目标图形 ② 添补成规则图形 ③ 计算面积差 题型4：等积变形问题（面积不变的图形变换） 技巧：利用"等底等高的三角形面积相等"原理，通过平移、旋转等方式转化图形。 关键：找到图形中隐含的等底或等高条件。 题型5：格点图形面积（利用格点计算面积） 技巧：① 完整格数+半格数÷2；② 毕克定理：格点面积=内部格点数+周界格点数÷2-1（适用于正方形格点）。 题型6：面积比较问题（比较图形面积大小） 技巧：通过平移、旋转、拼凑等方法将图形转化为可直接比较的形式；或计算面积后比较。 三、常见错误提醒 1.单位换算错误：如将"米"和"厘米"混用，忘记统一单位直接计算。 2.三角形和梯形面积公式忘记除以2：如三角形面积误算为"底×高"，漏掉"÷2"。 3.图形分割不合理：组合图形分割时出现重叠或遗漏部分，导致面积计算错误。 4.高的确定错误：平行四边形和三角形中，误将非对应底的高代入公式（如钝角三角形的高画在外部时容易出错）。 5.格点图形计数错误：漏数或多数格点，尤其是边界上的格点计数容易出错。 例题讲解 一、基础图形面积计算 例题1：笑笑的卧室地面长6米，宽4米，如果铺上面积2平方米的正方形地毯，需要准备多少块这样的地毯？ 【答案】12块 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，先求出卧室地面的面积，然后用卧室地面的面积除以每块正方形地毯的面积即可求解。 【详解】6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（块） 答：需要准备12块这样的地毯。 跟踪练习1：李叔叔在一块周长为112米的正方形空地培育月季花花苗，每平方米种2棵，这块空地一共可以种多少棵月季花花苗？ 【答案】1568棵 【分析】用正方形的周长除以4可算出边长是多少，再根据正方形面积＝边长×边长计算出面积，因为每平方米种2棵，用总面积乘2可算出一共可以种多少棵月季花花苗。 【详解】112÷4＝28（米） 28×28＝784（平方米） 784×2＝1568（棵） 答：这块空地一共可以种1568棵月季花花苗。 二、组合图形面积（分割法） 例题2：求组合图形的面积（单位：厘米）。 【答案】915平方厘米 【分析】根据图示，图中组合图形的面积等于梯形的面积＋三角形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】根据分析可得： 梯形面积： （15＋20）×30÷2 ＝35×30÷2 ＝525（平方厘米） 三角形面积： 30×26÷2 ＝780÷2 ＝390（平方厘米） 组合图形面积：525＋390＝915（平方厘米） 所以这个组合图形的面积是915平方厘米。 跟踪练习2：计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】99平方厘米 【分析】观察可知，把图形分为一个上底是8厘米，下底是10厘米，高是厘米的梯形和一个长是9厘米，宽是8厘米的长方形（如下图），根据，，代入数据计算，再相加即可。 【详解】 （平方厘米） 三、组合图形面积（添补法） 例题3：求下列图形中阴影部分的面积。（单位：m） 【答案】9×9－（2.5＋4.5）×4.5÷2＝65.25（m2） 【分析】结合图形，阴影部分的面积＝正方形的面积－梯形的面积，由此解答。 【详解】 跟踪练习3：求如图所示组合图形的面积。（单位：厘米） 【答案】114平方厘米 【分析】组合图形的面积＝梯形的面积－三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】（7.5＋14）×12÷2－7.5×4÷2 ＝21.5×12÷2－15 ＝129－15 ＝114（平方厘米） 这个组合图形的面积是114平方厘米。 四、等积变形问题 例题4：如图，两个长方形甲和乙，BF是AB的2倍。若甲的面积是30平方米，则乙的面积是多少平方米？ 【答案】60平方米 【分析】已知BF是AB的2倍，即BF＝2AB。因为两个长方形的长相等，根据面积公式S＝ab，长相等时面积比就等于宽之比，所以乙的面积也为甲的2倍。 【详解】30×2＝60（平方米） 跟踪练习4：右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 【答案】8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 五、格点图形面积 例题5：如图，每个黑点都是一个钉子，每任意相邻三个钉子围成的小正三角形面积都是1。那么，橡皮筋围出的图形面积是多少？ 【答案】18 【分析】毕格定理：S＝（N＋L÷2－1）×S1，N表示多边形内部的格点数，L表示多边形的边界上的格点数，S1表示每个格子的面积；观察上图可知，这个图形内部有7个格点，边界上有6个格点，每相邻三个点所围成的小正三角形面积为1，则相邻四点围成的小平行四边形面积为2，把各个数据代入毕格定理计算即可解答。 【详解】每相邻三个点所围成的小正三角形面积为1，则相邻四点围成的小平行四边形面积为2。 （7＋6÷2－1）×2 ＝9×2 ＝18 答：橡皮筋围出的图形面积是18。 跟踪练习5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 【答案】18 【详解】图形内部格点数；图形边界上的格点数 ；根据毕克定理， 则(单位面积)． 提升练习 1．一块稻田（如图），去年共收水稻54吨，平均每公顷收水稻多少吨？ 【答案】9吨 【分析】由图可知，稻田由一个三角形和一个长方形组成，三角形的底为长方形的长，即400米，高为100米；根据三角形面积公式：S＝ah÷2（a为底，h为高），则三角形的面积为：400×100÷2＝20000（平方米）；长方形的长为400米，宽为100米，根据长方形面积公式：S＝ab（a为长，b为宽），则长方形面积为400×100＝40000（平方米）。稻田总面积为：20000＋40000＝60000（平方米）。因为1公顷等于10000平方米，所以将稻田面积换算成公顷为：60000÷10000＝6（公顷）。总产量为54吨，公顷数为6公顷，根据“单产量＝总产量÷公顷数”，用54除以6计算即可。 【详解】400×100÷2＝20000（平方米） 400×100＝40000（平方米） 20000＋40000＝60000（平方米） 1公顷＝10000平方米 60000÷10000＝6（公顷） 54÷6＝9（吨） 答：平均每公顷收水稻9吨。 2．将一个直角梯形的上底延长4厘米，就变成一个长方形，面积增加10平方厘米。如果原来这个直角梯形的下底长是8厘米，那么直角梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】30平方厘米 【分析】如图： 将一个直角梯形的上底延长4厘米，就变成一个长方形，面积增加10平方厘米，从图中可知，增加部分是一个底为4厘米、面积为10平方厘米的直角三角形；根据三角形的高＝面积×2÷底，求出三角形的高，也是原直角梯形的高； 原直角梯形的下底是8厘米，则长方形的长是8厘米，那么原直角梯形的上底是（8－4）厘米；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，求出原直角梯形的面积。 【详解】梯形的高： 10×2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 梯形的上底：8－4＝4（厘米） 梯形的面积： （4＋8）×5÷2 ＝12×5÷2 ＝30（平方厘米） 答：直角梯形的面积是30平方厘米。 3．一块梯形菜地，下底是上底的3倍，如果把上底延长8米，就成为一块平行四边形菜地，且面积增加24平方米，这个梯形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】48平方米 【分析】梯形菜地，下底是上底的3倍，可得知上底的长度是1倍量，下底的长度就是3倍量，上底延长8米后变为平行四边形，说明下底比上底长8米：即下底－上底＝8米；3倍量－1倍量＝8米，得2倍量就是8米，1倍量是4米，即上底为4米，下底为12米。增加的面积24平方米是底为8米的三角形的面积，由此求出三角形的高，三角形的高就是梯形的高，再代入梯形面积公式计算即可。 【详解】梯形得上底为： （米） 下底：（米） 高：（米） 梯形面积：      （平方米） 答：这个梯形菜地的面积是48平方米。 4．一块梯形菜地，分别种了白菜和萝卜（如下图），请你算一算白菜和萝卜各种了多少平方米？ 【答案】白菜：20×16＝320（m2）      萝卜：（45－20）×16÷2＝200（m2） 【分析】根据图示，梯形菜地中划分了白菜地以及萝卜地，而白菜地的图形为平行四边形，萝卜地为三角形，求白菜和萝卜各种了多少平方米即把平行四边形以及三角形的面积计算出来即可。 【详解】白菜： 萝卜： 答：白菜种了320平方米，萝卜种了200平方米。 5．有一条小路穿过麦田（如下图），这块麦田的播种面积是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】9900平方米；0.99公顷 【分析】根据题意，麦田的形状可看作长方形，小路是平行四边形。要求麦田的播种面积，可先算出长方形麦田的面积，再减去平行四边形小路的面积。长方形面积公式为长×宽，平行四边形面积公式为底×高。据此解答。 【详解】长方形麦田的面积：120×90＝10800（平方米） 平行四边形小路的面积：10×90＝900（平方米） 麦田的播种面积：10800－900＝9900（平方米） 因为1公顷＝ 10000平方米，所以9900平方米＝ 9900÷10000＝0.99公顷 答：这块麦田的播种面积是9900平方米；合0.99公顷。 6．一块麦田（如图），去年共收小麦90吨，平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】6吨 【分析】先求出麦田的面积，麦田的面积等于长是600米，宽是200米的长方形面积加上底是600米，高是100米的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出麦田的面积，再把面积单位平方米换算成公顷，再用去年收小麦的重量÷麦田的面积，即可解答。 【详解】600×200＋600×100÷2 ＝120000＋60000÷2 ＝120000＋30000 ＝150000（平方米） 150000平方米＝15公顷 90÷15＝6（吨） 答：平均每公顷收小麦6吨。 7．如图，在一块梯形土地里划出一个尽可能大的平行四边形种棉花，其余部分种大豆，棉花地的面积是多少？大豆地的面积呢？（先画一画，再计算） 【答案】图见详解；800平方米；200平方米 【分析】用直尺作梯形一条腰的平行线，即可画出这个最大的平行四边形，再根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，分别求棉花地和大豆地的面积，据此即可解答。 【详解】作图如下： （平方米） （平方米） 答：棉花地的面积是800平方米，大豆地的面积是200平方米。 8．东林村生态园农田畇畇，其中有一块长约130米，宽约100米的水稻田，田间两条10米宽的马路（如图所示）阡陌交通，那么这块水稻田种植面积（阴影部分）是多少平方米？如果每平方米收水稻2千克，那么这块水稻田一共收获水稻多少吨？ 【答案】种植面积10800平方米；收获水稻21.6吨 【分析】观察图形可知：田间的两条马路分别为平行四边形，且横着的这个平行四边形可看作以10米为底，130米为高；竖着的这个平行四边形可看作以10米为底，100米为高。两条马路重合的部分也是一个平行四边形，这个平行四边形的底为10米，高也是10米。 根据阴影部分面积＝大长方形的面积－横着的马路面积－竖着的马路面积＋重合部分平行四边形的面积（因为重合部分减去了2次，所以需要加上1个重合部分的平行四边形面积）， 结合平行四边形面积＝底×高，长方形面积＝长×宽，代入数据计算。 因为每平方米收水稻2千克，则用阴影部分面积乘2千克，1吨＝1000千克，最后换算成吨做单位，即可解决本题。 【详解】130×100－10×130－10×100＋10×10 ＝13000－1300－1000＋100 ＝11700－1000＋100 ＝10700＋100 ＝10800（平方米） 10800×2＝21600（千克） 21600千克＝21.6吨 答：这块水稻田种植面积是10800平方米，一共收获水稻21.6吨。 9．王大爷家和李奶奶家的菜地均靠着一面墙，现在都用50米长的篱笆分别围成一块梯形菜地（如图）。谁围的菜地面积大？大多少？ 【答案】李奶奶家；40平方米 【分析】观察图形可知，王大爷家围成的梯形菜地的上底与下底的和是（50－10）米，高是8米；李奶奶家围成的梯形菜地的上底与下底的和是（50－10）米，高是10米；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出王大爷家、李奶奶家菜地的面积，再比较大小，最后用面积大的减去面积小的即可求出大多少平方米。 【详解】（50－10）×8÷2 ＝40×8÷2 ＝320÷2 ＝160（平方米） （50－10）×10÷2 ＝40×10÷2 ＝400÷2 ＝200（平方米） 160＜200 200－160＝40（平方米） 答：李奶奶家围的面积大，大40平方米。 10．计算下面组合图形的面积。 【答案】104平方厘米 【分析】 将组合图形分成一个正方形和一个梯形，正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，组合图形的面积＝正方形的面积＋梯形的面积，据此解答即可。 【详解】正方形面积：8×8＝64（平方厘米） 梯形面积：（8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 总面积：64＋40＝104（平方厘米） 所以组合图形的面积是104平方厘米。 11．计算组合图形的面积。 【答案】135.75cm2 【分析】组合图形由梯形和三角形组成，面积等于梯形面积减去三角形面积。 梯形面积公式为S＝（a＋b）h÷2（a、b是上、下底，h是高）。已知梯形的上底a＝8.5cm，下底b＝15cm，高h＝13cm。把数据代入公式可计算出梯形的面积。 三角形面积公式为S＝ah÷2（a是底，h是高）。已知三角形的底a＝8.5cm，高h＝4cm。把数据代入公式可计算出三角形的面积。 再用梯形的面积减去三角形的面积即可解答。 【详解】（8.5＋15）×13÷2 ＝23.5×13÷2 ＝305.5÷2 ＝152.75（cm2） 8.5×4÷2 ＝34÷2 ＝17（cm2） 152.75－17＝135.75（cm2） 组合图形的面积是135.75cm2。 12．计算下面图形的周长和面积。 【答案】周长56厘米；面积108平方厘米 【分析】把这个图形的面积看作一个大长方形面积减去小长方形面积，大长方形长12厘米，宽10厘米，小长方形长6厘米，宽2厘米，根据长方形面积＝长×宽即可算出面积；周长是把2厘米的线段移到上方，原图形周长即为大长方形的周长＋2个6厘米。根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算，由此解答。 【详解】如图： 周长：（10＋12）×2＋2×6 ＝22×2＋12 ＝44＋12 ＝56（厘米） 面积：12×10－6×2 ＝120－12 ＝108（平方厘米） 图形周长是56厘米，面积是108平方厘米。 13．求阴影部分的面积。 【答案】56平方分米 【分析】据图可知，阴影部分的面积等于一个底是8分米、高是8分米的三角形的面积加上一个底是8分米、高是6分米的三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2代入数据列式计算即可。 【详解】8×8÷2＋8×6÷2 ＝64÷2＋48÷2 ＝32＋24 ＝56（平方分米） 阴影部分的面积是56平方分米。 14．第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？ 【答案】27 【详解】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点． 7所占的面积为：；2所占的面积为：；1所占的面积为：．所以，这三个数字所占的面积之和为：． 15．右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 【答案】62.5 【详解】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19． 所以图形的面积为：(面积单位)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第12讲 图形面积 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 面积是指平面图形所占平面部分的大小。常用面积单位有：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²)。 关键量：图形的边长、底、高、对角线等；面积单位及换算关系。 2.核心公式 ① 长方形面积 = 长 × 宽 (S = a × b) ② 正方形面积 = 边长 × 边长 (S = a × a = a²) ③ 平行四边形面积 = 底 × 高 (S = a × h) ④ 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 (S = a × h ÷ 2) ⑤ 梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (S = (a + b) × h ÷ 2) 3.面积单位换算 1平方米 = 100平方分米，1平方分米 = 100平方厘米，1平方米 = 10000平方厘米 二、核心题型与技巧 题型1：基础图形面积计算（直接应用公式） 技巧：识别图形类型，找到对应的底和高，直接套用面积公式计算。注意单位统一。 公式：根据图形类型选择相应公式，确保底和高的单位一致。 题型2：组合图形面积（分割法） 技巧：将组合图形分割成若干个基本图形（长方形、正方形、三角形等），分别计算面积后求和。 步骤：① 合理分割 ② 分别计算 ③ 求和得总面积 题型3：组合图形面积（添补法） 技巧：将不规则图形添补成一个规则图形，用大图形面积减去添补部分面积得所求面积。 步骤：① 确定目标图形 ② 添补成规则图形 ③ 计算面积差 题型4：等积变形问题（面积不变的图形变换） 技巧：利用"等底等高的三角形面积相等"原理，通过平移、旋转等方式转化图形。 关键：找到图形中隐含的等底或等高条件。 题型5：格点图形面积（利用格点计算面积） 技巧：① 完整格数+半格数÷2；② 毕克定理：格点面积=内部格点数+周界格点数÷2-1（适用于正方形格点）。 题型6：面积比较问题（比较图形面积大小） 技巧：通过平移、旋转、拼凑等方法将图形转化为可直接比较的形式；或计算面积后比较。 三、常见错误提醒 1.单位换算错误：如将"米"和"厘米"混用，忘记统一单位直接计算。 2.三角形和梯形面积公式忘记除以2：如三角形面积误算为"底×高"，漏掉"÷2"。 3.图形分割不合理：组合图形分割时出现重叠或遗漏部分，导致面积计算错误。 4.高的确定错误：平行四边形和三角形中，误将非对应底的高代入公式（如钝角三角形的高画在外部时容易出错）。 5.格点图形计数错误：漏数或多数格点，尤其是边界上的格点计数容易出错。 例题讲解 一、基础图形面积计算 例题1：笑笑的卧室地面长6米，宽4米，如果铺上面积2平方米的正方形地毯，需要准备多少块这样的地毯？ 跟踪练习1：李叔叔在一块周长为112米的正方形空地培育月季花花苗，每平方米种2棵，这块空地一共可以种多少棵月季花花苗？ 二、组合图形面积（分割法） 例题2：求组合图形的面积（单位：厘米）。 跟踪练习2：计算下面图形的面积。（单位：厘米） 三、组合图形面积（添补法） 例题3：求下列图形中阴影部分的面积。（单位：m） 跟踪练习3：求如图所示组合图形的面积。（单位：厘米） 四、等积变形问题 例题4：如图，两个长方形甲和乙，BF是AB的2倍。若甲的面积是30平方米，则乙的面积是多少平方米？ 跟踪练习4：右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 五、格点图形面积 例题5：如图，每个黑点都是一个钉子，每任意相邻三个钉子围成的小正三角形面积都是1。那么，橡皮筋围出的图形面积是多少？ 跟踪练习5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 提升练习 1．一块稻田（如图），去年共收水稻54吨，平均每公顷收水稻多少吨？ 2．将一个直角梯形的上底延长4厘米，就变成一个长方形，面积增加10平方厘米。如果原来这个直角梯形的下底长是8厘米，那么直角梯形的面积是多少平方厘米？ 3．一块梯形菜地，下底是上底的3倍，如果把上底延长8米，就成为一块平行四边形菜地，且面积增加24平方米，这个梯形菜地的面积是多少平方米？ 4．一块梯形菜地，分别种了白菜和萝卜（如下图），请你算一算白菜和萝卜各种了多少平方米？ 5．有一条小路穿过麦田（如下图），这块麦田的播种面积是多少平方米？合多少公顷？ 6．一块麦田（如图），去年共收小麦90吨，平均每公顷收小麦多少吨？ 7．如图，在一块梯形土地里划出一个尽可能大的平行四边形种棉花，其余部分种大豆，棉花地的面积是多少？大豆地的面积呢？（先画一画，再计算） 8．东林村生态园农田畇畇，其中有一块长约130米，宽约100米的水稻田，田间两条10米宽的马路（如图所示）阡陌交通，那么这块水稻田种植面积（阴影部分）是多少平方米？如果每平方米收水稻2千克，那么这块水稻田一共收获水稻多少吨？ 9．王大爷家和李奶奶家的菜地均靠着一面墙，现在都用50米长的篱笆分别围成一块梯形菜地（如图）。谁围的菜地面积大？大多少？ 10．计算下面组合图形的面积。 11．计算组合图形的面积。 12．计算下面图形的周长和面积。 13．求阴影部分的面积。 14．第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？ 15．右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 1 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