专题05 相似三角形中母子型与手拉手模型（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题05 相似三角形中母子型模型与手拉手模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 题型二、双垂直模型（射影模型） 3 题型三、“母子”模型（变形） 8 题型四、三角形中的手拉手模型 11 题型五、矩形中的手拉手模型 16 题型六、正方形中的手拉手模型 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 2.如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 题型二、双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 4.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 题型三、“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 5．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 6．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 题型四、三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 7．（2025·广东深圳·二模）如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 8．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 题型五、矩形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：在矩形ABCD中，若分别以矩形的一组邻边（如AB、AD）为边，向外（或向内）作两个相似三角形（如△ABE∽△ADF），且对应角与矩形内角重合（∠BAE=∠DAF），连接对应顶点（如BF、DE），则构成“手拉手”相似模型，核心是“共顶点、等夹角、邻边相似”。 2. 核心结论：一是对应线段成比例且夹角等于矩形内角，即BF/DE=AB/AD（矩形邻边比），且∠BGD=90°（G为BF与DE交点），因相似三角形对应角相等，结合矩形内角90°可推导；二是衍生相似，如△BAG∽△DCG，由核心比例关系和对顶角相等可证。 3. 应用关键：解题时先定位矩形的“共顶点”（通常为直角顶点），识别相似三角形的“拉手边”（矩形邻边），再利用“线段比例+夹角90°”结论，快速求解线段长度、角度或证明垂直关系，需注意内外作三角形时结论一致性，仅图形位置不同。 9．（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数； (2)连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 题型六、正方形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：以正方形ABCD的一个顶点（通常为直角顶点A）为公共顶点，分别向正方形外侧（或内侧）作两个等腰直角三角形（如△ABE和△ADF，且∠BAE=∠DAF=90°），连接对应顶点（如BF、DE），即构成模型。核心是“共直角顶点、等直角边、邻边全等”，因正方形邻边相等，故模型兼具相似与全等属性。 2. 核心结论：一是对应线段全等且垂直，即BF=DE且BF⊥DE，由正方形AB=AD、等腰直角三角形AE=AF，可证△BAF≌△DAE，进而推导线段关系；二是衍生等腰直角三角形，如BF与DE交点为G，则△AGB∽△DGC，且夹角为90°。 3. 应用关键：解题时先锁定正方形的公共直角顶点，识别“拉手边”（正方形邻边与等腰直角三角形直角边），利用“全等+垂直”结论快速求线段长度、证垂直或构造辅助线，内外作三角形时结论一致，仅图形位置不同。 11．（2025·江苏宿迁·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在边长为的正方形中，点在对角线上一点，连接，将绕着点顺时针方向旋转得到，过点作交射线于点，连接，． (1)猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)求证：四边形是正方形； (3)如图2，连接交于点，若，请直接写出的长． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点C重合，点E在对角线上． 【问题发现】（1）如图1所示，与的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2所示，将正方形绕点C旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】如图3，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针旋转，如图4所示． （3）请直接写出的值为 ． （4）在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，请求出的长度． （提示：要分类讨论，如图5当点E在线段上时；如图6当点E在的延长线上时）   一、单选题 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，．以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点，则长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，为上一点，若，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，点为垂足， ． 7．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则 ． 8．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 10．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 11．（2025·广东深圳·二模）如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，，若，，求 ． 14．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形中母子型模型与手拉手模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 1 题型二、双垂直模型（射影模型） 3 题型三、“母子”模型（变形） 8 题型四、三角形中的手拉手模型 11 题型五、矩形中的手拉手模型 16 题型六、正方形中的手拉手模型 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“母子”模型（斜射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 1．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 2.如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、双垂直模型（射影模型） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余得到，再由两个三角形相似的判定定理求解即可得证； （2）由（1）中得到，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，于点， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 4.（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 题型三、“母子”模型（变形） 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 5．如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 6．在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 题型四、三角形中的手拉手模型 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 7．（2025·广东深圳·二模）如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】[问题发现]①；②；[拓展探究]的大小无变化；见解析；[问题解决]或 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得，再利用中点的意义分别求得与，然后求出它们的比； [拓展探究]先证明，再求出与，然后得出结论； [问题解决]分“点在线段上”、“点在线段上”两种情形，分别证明，列出比例求出． 【详解】解：[问题发现] ①当时，如图1， ∵在Rt中，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， 由旋转的性质可知：，， ∴， ， ∴， 故答案为：； [拓展探究] 无变化． 理由：如图1中，∵是的中位线， ∴， 如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变， ∴仍然成立， 又∵， ∴， ∴， ∴的大小无变化． [问题解决] 当点在线段上时，如图， 与[拓展探究]同理可证， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，如图， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长． 8．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似． （1）平行线分线段成比例，推出，再根据角的和差关系推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，相似三角形的性质，求出的值即可； （3）分两种情况进行讨论，结合（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）如图，当点E在的延长线上时，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知：， ∴； 当点在线段上时，同理，，则：， ∴； 综上：或． 题型五、矩形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：在矩形ABCD中，若分别以矩形的一组邻边（如AB、AD）为边，向外（或向内）作两个相似三角形（如△ABE∽△ADF），且对应角与矩形内角重合（∠BAE=∠DAF），连接对应顶点（如BF、DE），则构成“手拉手”相似模型，核心是“共顶点、等夹角、邻边相似”。 2. 核心结论：一是对应线段成比例且夹角等于矩形内角，即BF/DE=AB/AD（矩形邻边比），且∠BGD=90°（G为BF与DE交点），因相似三角形对应角相等，结合矩形内角90°可推导；二是衍生相似，如△BAG∽△DCG，由核心比例关系和对顶角相等可证。 3. 应用关键：解题时先定位矩形的“共顶点”（通常为直角顶点），识别相似三角形的“拉手边”（矩形邻边），再利用“线段比例+夹角90°”结论，快速求解线段长度、角度或证明垂直关系，需注意内外作三角形时结论一致性，仅图形位置不同。 9．（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形． (1)如图1，若 点E落在上，求的度数； (2)连接，，过点E作交于点M． 如图2，证明：； 如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）如图，过作于，证明四边形为矩形，求解，证明，即可解答． （2）①连接BE，证明，得到，即可证得．②连接，证明，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于，四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴，， ， ， ， 矩形，， ． ∴ （2）证明：如图，连接， 由矩形与旋转可得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； ②关系式为，证明如下： 如图，连接， 在≌中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，， ∴， ， ， 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·山东威海·期末）（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型六、正方形中的手拉手模型 1. 模型构造条件：以正方形ABCD的一个顶点（通常为直角顶点A）为公共顶点，分别向正方形外侧（或内侧）作两个等腰直角三角形（如△ABE和△ADF，且∠BAE=∠DAF=90°），连接对应顶点（如BF、DE），即构成模型。核心是“共直角顶点、等直角边、邻边全等”，因正方形邻边相等，故模型兼具相似与全等属性。 2. 核心结论：一是对应线段全等且垂直，即BF=DE且BF⊥DE，由正方形AB=AD、等腰直角三角形AE=AF，可证△BAF≌△DAE，进而推导线段关系；二是衍生等腰直角三角形，如BF与DE交点为G，则△AGB∽△DGC，且夹角为90°。 3. 应用关键：解题时先锁定正方形的公共直角顶点，识别“拉手边”（正方形邻边与等腰直角三角形直角边），利用“全等+垂直”结论快速求线段长度、证垂直或构造辅助线，内外作三角形时结论一致，仅图形位置不同。 11．（2025·江苏宿迁·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在边长为的正方形中，点在对角线上一点，连接，将绕着点顺时针方向旋转得到，过点作交射线于点，连接，． (1)猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)求证：四边形是正方形； (3)如图2，连接交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据旋转的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定与性质得出，即可求解； （2）过点作的平行线分别交，于点，，根据矩形的性质得出，，，结合正方形的性质和平行线的性质推得，根据等角对等边推得，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合矩形和正方形的判定即可证明； （3）由点在射线上可以分类讨论，点在线段上，或者延长线上，结合（1）和（2）的结论，先求，根据勾股定理求出和，得出的值，即可得出的值，结合勾股定理求出的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，过点作的平行线分别交，于点，， 则四边形、均为矩形， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：①当点在线段上时，如图，过点作的平行线分别交，于点，，过作于点， 由（2）知， 故设， 则，， 即， ∴， 可得， 解得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴； ②当点在线段延长线上时，如图，如图，过点作的平行线分别交，于点，，过作于点， 由（2）知， 故设， 则，， 即， ∴， 可得， 解得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， 即， ∴； 综上，的长度为或． 12．（2025·广东深圳·模拟预测）如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点C重合，点E在对角线上． 【问题发现】（1）如图1所示，与的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2所示，将正方形绕点C旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】如图3，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针旋转，如图4所示． （3）请直接写出的值为 ． （4）在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，请求出的长度． （提示：要分类讨论，如图5当点E在线段上时；如图6当点E在的延长线上时）   【答案】（1），理由见解析（2）结论还成立，理由见解析；（3）；（4）的长为或 【分析】本题考查了矩形的正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识成为解决问题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再根据平行线等分线段定理即可解答； （2）如图2：连接，根据正方形的性质证明，然后根据相似的性质列比例式求解即可； （3）如图3，连接．根据矩形的性质可得，进而得到，再证明，然后根据相似三角形的性质即可解答； （4）分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴ ∴，即． 故答案为：； （2）解：上述结论还成立，理由如下： 如图2：连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴（两边对应成比例且夹角相等） ∴， ∴； （3）如图3，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）①如图5中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J． ∵，， ∴CJ， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图6中，当点E在的延长线上时， 同法可得：， ∴． 综上，的长为或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 2．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）如图，在中，为上一点，且，则（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形性质可得，，由，得，根据三角形外角性质可得，，所以，，故有，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，．以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，与交于点，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，如图，过作于，可得，，求解，可得，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 二、填空题 5．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，为上一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，，证明，再代入数值到，进行化简，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，点为垂足， ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明即求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质； 延长交于点F，过点D作，证明，结合勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进而问题得解． 【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)直接写出的长为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 11．（2025·广东深圳·二模）如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【问题发现】①当时，___________；②当时，___________； 【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． 【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】[问题发现]①；②；[拓展探究]的大小无变化；见解析；[问题解决]或 【分析】[问题发现]先利用勾股定理求得，再利用中点的意义分别求得与，然后求出它们的比； [拓展探究]先证明，再求出与，然后得出结论； [问题解决]分“点在线段上”、“点在线段上”两种情形，分别证明，列出比例求出． 【详解】解：[问题发现] ①当时，如图1， ∵在Rt中，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， 由旋转的性质可知：，， ∴， ， ∴， 故答案为：； [拓展探究] 无变化． 理由：如图1中，∵是的中位线， ∴， 如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变， ∴仍然成立， 又∵， ∴， ∴， ∴的大小无变化． [问题解决] 当点在线段上时，如图， 与[拓展探究]同理可证， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：； 当点在线段上时，如图， 同理可证， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求线段的长，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，解题关键是利用相似三角形的判定证明三角形相似，并列出比例求出待线段的长． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，，若，，求 ． 【答案】（1）详见解析 （2）32 （3） 【分析】（1）证，得出，即可得出结论； （2）由平行四边形性质得，则，再证，得出，设，则，求出，即可得出答案； （3）延长，交于点G，设，则，证，得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证，得，则，，进而由勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴ ； （3）解：如图3，延长，交于点G， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，E为的中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 14．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．    【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值． 【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值． 【拓展应用】如图，与直线交于点，． （）当且点在线段上时，的值． （）当且点在的延长线上时，求的值． 【答案】初步探究：；类比迁移：；拓展应用：（）；（） 【分析】初步探究：证明，从而得出，即可求解； 类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，从而得出和，进而得出，从而得出，的值，可证得，从而，进而得出的值，进一步得出结果． 拓展应用：（）可推出，，从而得出，作的垂直平分线，交于，作于，作，可推出，从而得出故设，，，设，，在中，根据勾股定理得，从而求得，根据得出，从而得出，进一步得出结果； （）根据题意可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解． 【详解】初步探究：，， ，是等边三角形， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ； 类比迁移：如图，    作于， ，， ， 同理初步探究可得，， ， 不妨设，，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展应用：（）如图，    由题意不妨设，， ， ， ， ， ， ， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于，作， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 设，， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （）如图，   ， ， 设，则，， ， ， 作的垂直平分线，交于，作于， ， ， ， ， ， 由（）可得，， ， 由得， ， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $