专题01 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题01 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 4 题型三、黄金分割 7 题型四、由平行判断成比例的线段 10 题型五、由平行截线求相关线段的长 12 题型六、由平行截线求相关线段的比值 15 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用比例的性质进行求解 1．（25-26九年级上·上海·阶段练习）若（其中），则 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【详解】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解题关键． 设，可得，再代入求值即可得到答案． 【详解】设，则， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 4．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然． （1）根据已知等式设，再代入求出答案即可； （2）设k，根据比例的性质求出，再代入求出答案即可． 【详解】解：（1）， 设， 所以 ． 故答案为：； （2）设k， 则， 所以 ． 故答案为：3． 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 5.已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 6.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 7.阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 8.已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 题型三、黄金分割 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段练习）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 11．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 12．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）矩形是黄金矩形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 题型四、由平行判断成比例的线段 13．（25-26九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 14．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 16．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 题型五、由平行截线求相关线段的长 17．（25-26九年级上·重庆万州·阶段练习）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据勾股定理求出，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 18．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 19．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【详解】解：， ，即， ． 20．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，求长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 题型六、由平行截线求相关线段的比值 21．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 24．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 3．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质．分和，两种情况进行讨论，求解即可．掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，则， ， 综上所述，k的值为1或． 故选：C 4．如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 5．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 二、填空题 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】由，可知，根据比例的性质即可求出的值，从而得到的值． 本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 7．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段成比例，熟悉掌握线段成比例的比值关系是解题的关键． 根据线段成比例的比值关系列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．如图，已知直线，直线分别与直线、、交于A、B、C三点，直线分别与直线、、交于D、E、F三点，与交于点O，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 10．如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质； ①过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，即可求解； ②根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：①过点作交于点，   ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 12．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为18，求各边的长． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识 （1）设，从而用k表示出a，b，c再代入化简即可得解； （2）根据的周长为18，即，从而求出k的值，进而可求出各边的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∴； （2）解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 13．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 14．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 15．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 16．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图1，过点C作交于点H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例 月录 A题型建模·专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解… 题型二、利用比例中的等比性质进行求解… 题型三、黄金分割… .7 题型四、由平行判断成比例的线段… .10 题型五、由平行截线求相关线段的长 12 题型六、由平行截线求相关线段的比值…15 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、利用比例的性质进行求解 1.(2526九年级上上海阶段练习)若-二=（其中6+d≠0，则+9 b d5 b+d 2.(25-26九年级上上海阶段练习)若=名=≠0，则+h-℃ 234 a-b+c =一 3（②526九年级上陕西西安阶段练习)已知分-分号-手，若0c+e=20,且6+日+/20.测 b+d+f=_. 6宝则2如-6 4.(24.25九年级下江苏南京开学考试)(1)若-3， b (2)若=y=名 643 ,”2均不为0，则+3业 3y-2z 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 n0=9=e=2,且b+d+f≠0. 5.已知6=df l)求+c+e `b+d+了的值； (2)若b-5d+6f=3,求a-5c+6e的值. a,b:c,de,六个数，如果名兰=月kb+d+/0,那么生+k,理由如 .a+c+e_bk+dk+及=k(第二步)， =注b++了0a=b旅，c,e=及第一6td+b+a1 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)解题过程中第一步应用了 的基本性质：在第二步解题过程中6+d+)=人应用了】 基 b+d+f 本性质； 2应用此解题过程中的思路和方法解决间题：已知==≠0，求X,”-三的值。 345 x+2y-3z 7阅读下面的一段文字： 设6=二=三k,则有a=bk,c=dk,m=冰，当b+d+…+n0时 atct.+mbk+dkt...tnk(btdt..tn)k=k=b b+d+…+nb+d+.…+nb+d+.+n a 从上面的推导过程可得，若&== 色，当da:0两，日-分把它称为比作限 1 利用等比性质完成下题： 在c和：C中，招C--子，且9：5C4C:0厘米，求C的铜长 2a-c-5e 诺2自2b-d-5f0、求办4-57 b d f 3 的值 a+cte=k. a,b,c,d,e,f六个数，如果==云=k(b+d+了≠0)，那么b+d+ 理由如下： :8=9=9=kb+d+f≠0) b-a-T ∴a=bk,c=dk,e=（第一步) :+c+e-bk+k+及.kb+d+小=k(第二步) b+d+f b+d+f b+d+f 1)解题过程中第一步应用了的基本性质，在第二步解题过程中，b+d+小=人应用了的基 b+d+f 本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果20--9=2，则20+b+c=一： 567 18 ②已知号-0，求42的值 345 题型三、黄金分割 9.(25-26九年级上·上海虹口阶段练习)黄金分割是汉字结构最基本的规律.己知一条分割线的端点A,B 分别在习字格的边MN,PQ上，且AB∥NP,“晋"字的笔画“、"的位置在AB的黄金分割点C处，且AC<BC 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,若NP=2cm,则BC的长为 cm(结果保留根号). M 10.(24-25九年级上·河南周口·期末)2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑 州市虹韵音乐厅成功举行.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段 的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为5)时，奏出来的音调最和谐、悦耳，如图，一把二 2 胡的琴弦AC的长为78Cm,千斤线绑在点B处（点B为线段AC上靠近点A的黄金分割点），则BC的长 为 11.(25-26九年级上·福建龙岩阶段练习)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时，该方程的正根 称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形， B 图1 图2 (1)求黄金分割数； (2)如图1，在黄金矩形ABCD中，长AD=2,则矩形ABCD的面积= (3)如图2，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，以E为圆心，线段DE长为半径作弧，交BC的延长线 于点F,作矩形ABFG,试说明矩形ABFG是黄金矩形 12.(24-25八年级下·福建福州阶段练习)阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式. 例如：化简5-2 解：将分子、分母同乘以√+√2得： 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5+2 V3-V2(N3-√23+V2) =√3+√2 类比运用： (1)2-1 = 拓展延伸： B E C 图1 图2 宽与长的比是5-l的矩形叫黄金矩形.如图1，已知黄金矩形4BCD的宽AB=5. 2 (2)求黄金矩形ABCD中BC边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF,，猜想矩形 DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论 题型四、由平行判断成比例的线段 13.（25-26九年级上河南南阳阶段练习)如图，若l∥12∥13，则下列各式错误的是() A \D B F ls A. BC EF B. AB DE C.AB、DE AB BC D. AC DF AC DF BC EF AD BE 14.(24-25九年级上·甘肃兰州阶段练习)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延 长交BA的延长线于点F,则下列结论错误的是() D E A B A.ABDE AF AE B.AEAF AD BF C.dE D.AFEF CD BC AB CE 15.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，DE∥BC,BE 与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是() 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. DFAE B.AD_EC C.ABDE DF EF CF AC AB AC DB BC D. BE FC 16.(24-25九年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，点D、E、F分别在ABC的边AB、AC、BC上， 连接DE、EF、AF,AF交DE于点G,四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是() D G B AD DE A. B.E=BC AC DE C.AD DG D. AG DE BD CF AE EG FG BC 题型五、由平行截线求相关线段的长 17.(25-26九年级上重庆万州阶段练习)如图，在矩形ABCD中，若AB=3,4C=5,45=, FC-4 则AE的长 为 B 18.(25-26九年级上山东济南阶段练习)如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这 组平行线于点A,B,C.若4C=cm,则AB的长是」 cm. 2 19.(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)已知：如图l‖12‖l3,若AB=3,DE=2,EF=4,求BC. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 20.(2025九年级·陕西西安·专题练习)如图，己知DE∥BC,FE∥CD,AF=3,AD=5,AE=4,求CE,BD长. D B 题型六、由平行截线求相关线段的比值 21.(24-25九年级上贵州铜仁期末)如图，1∥12∥1，AB=3,BC=5. A D B E C F 13 ()直接填空； DE的值为 E EF的值为 E (2)若DF=12,求DE和EF的长 22.(25-26九年级上·吉林长春开学考试)如图，在ABC中，DE∥BC,G为BC上一点，连接AG交DE 于点F, AF 2 AG 5 F B G )求D 的值； AB (②)当DE=6时，求BC的长度 23.(2025九年级上全国.专题练习)如图，已知ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边 BC,CE,EG在同一条直线上，且AB=3,BC=√5，BF分别交AC,DC,DE于点M,N,H,解 答下列问题： 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B G的值为 (1) BG ； (2)求证：FC=EGV5 BG FG 3 (3)求：BM:MN:NF的值. 24.(24-25七年级下·河北沧州阶段练习)如图，已知ABC,点D在BC上，点E在AC上，连接 AD,BE,AD与BE相交于点F, (①向题1：若BE是ABC的中线，BF=3FE,则D C AD则E ②)间题2：若AD是ABC的中线，=， 的值是 AC (3)问题3：若AD是ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，且AE=2,则EC=- (4)问题4：若AD是ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.如图所示，己知a∥b∥c,下列比例式一定成立的是() A D -a B F A. AD BE B.AB、DE C,AB、EF ABDE BE CF AC DF BC DE D. EF BC 2.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线，14,1，I上.若直线l∥12∥1∥14且间距相等，CB交直线 7/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点G,AB=4,8C=3,则BC的值为() CD D -14 c. 2 D. V15 15 3.若2=2b 2c =k,则k的值为() b+c a+c a+b A.1 B.+1 C.1或-2 D.2 4.如图，在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,F是线段AE上的一点，AF=DE=I,连接CF, 交BE于点G.若EG=BG,则AB的长为() G B A.1 B.2 C.3 D.4 5.宽与长的比是5-1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调 2 和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AB、CD的中点E、F,连 接EF;以点E为圆心，以ED为半径画弧，交BA的延长线于点G;作GH⊥CD,交CD的延长线于点H, 则下列矩形是黄金矩形的是() G B C A,矩形ADEF B.矩形EFCB C.矩形ADHG D.矩形EFHG 二、填空题 6已知6子则6： 7.如图，AD、BC相交于点O,点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF·若CE=6,EO=4, B0=5,AF=6,则AD=一 8/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 8.如图，已知直线l∥I∥l3,直线AC分别与直线4、、4交于A、B、C三点，直线DF分别与直线4、 Z、I交于D、E、F三点，AC与DF交于点O,若BC=AB,DE=3,则DF的长是· A D E B 9.达·芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例.图 画中头顶到手的长度AB为90cm,下巴的位置点E是头顶点A到手部点B的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头 顶到下巴的长度AE为一cm(结果保留根号，黄金比为5-). 2 10.如图，AD是△ABC的中线. B ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F,则的值仁为 BE ③若E为0上的点，且E是，射线CE交A8于点F,则 ·DEk 的值为 E 三、解答题 1如国，在4BC中，点D为4C上一点，且君，过点D作DE∥8C交B于点E,老接CE,过 点D作DF∥CE交AB于点F,若BE=5. 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求AE的长. (2)求EF的长。 12.已知a、b、c是ABC的三边长，且只-b-S, 234求： 03a+2边的值， 3c (②)若ABC的周长为18，求各边的长 13.已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:4,且a+2b+c=33. (I)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 14.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M, 交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点R,瓷- B E M (I)若BD=20,求BG的长； 2)已知DM=DG ABBG,求C 的值. D 15.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. G MD H H FG 图1 图2 图3 ()【操作判断】 操作一：如图I,将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF,把纸 片展平，连接EF; 10/11