专题04 反比例函数与几何图形的综合问题（5大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

专题04 反比例函数与几何图形的综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 1 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 5 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 12 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 17 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 1．定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过作边的垂线，构造两个有特殊角的直角三角形，即能用把各边关系表示出来，即可得是的倍． （2）由题意可知，过作轴于，过作轴于，由题意可知，根据勾股定理得出，再证明，得到，，然后设，则，则，，最后把，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， ， 在中，， ，， ， ， 中，， ， ， 即， 是智慧三角形． （2）解：过作轴于，过作轴于，如图②， 是智慧三角形，为智慧边，为智慧角， ， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 点、在函数上的图象上， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和运用，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象上点折坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．解题关键是理解新定义并运用其性质转化条件，在直角坐标系中把已知直角构造在三垂直模型里是通常办法． 2．如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)9 (2)点A的坐标是 (3)D点坐标为或或或 【分析】（1）把B点代入双曲线，可求得k的值； （2）过C作轴，过B作轴，可证明，结合B点坐标则可求得C点坐标，从而可求得的长，可求得A点坐标； （3）设，由C点坐标，则可分别表示出和，分、和三种情况，分别得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】（1）点在双曲线上， ， 故答案为：9； （2）分别过点B、C作轴于N，轴于M，如图，    则， 三角形是等腰直角三角形， ，， ，， ． ， ， 设，， 在上， ，即． 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， 即点A的坐标是； （3）设，则， 由（2）可知， ，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得舍去或， 此时D点坐标为； 当时，则，解得或， 此时D点坐标为或； 当时，则，解得， 此时D点坐标为； 综上可知D点坐标为或或或． 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 3．如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点． （1）反比例函数的解析式为 ； （2）若，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 （1）把点代入，即可得到答案； （2）连接并延长交轴于，构造等腰，进而得到点的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，再解方程组即可得到点的坐标． 【详解】 解：(1)反比例函数图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 故答案为：； (2)连接并延长交轴于，如图所示： 由，可得， ， ，， ， ， ，即， ， ， 设的解析式为， 将，代入可得， 解得， 的解析式为， 联立方程组， 解得或， 点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用． 4．如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)； (2)和； (3)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数解析式，平行四边形的性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）用待定系数法可求反比例函数解析式； （2）由原点是平行四边形对角线的交点，可求出一次函数的解析式，再求出反比例函数与一次函数的交点坐标即可求解； （3）由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，点， ∴ 将点代入，得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵原点是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∵ ∴ 将代入直线的解析式中，得： ， 解得：， ∴直线的解析式， 联立和得： ， 解得：，， ∴反比例函数与的交点为：如图： ∴不等式时，即，的取值范围是和． （3）解：设分别与轴交于点，如图： 由反比例函数图象及平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和为平行四边形面积， ∵点， ∴点到轴的距离为， 又∵， ∴． 5．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1)4 (2)当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一次函数的性质求出点的坐标，设，根据E为中点，且点E在y轴上，得出，再利用平行四边形的性质表示出点的坐标，结合反比例函数的图像经过C、D两点，求出的值，再把点代入即可解答； （2）由（1）得，反比例函数解析式为，，，根据题意分①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线三种情况讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，解得：， ，， 设， E为中点，且点E在y轴上， ， 解得：， ， ， ，， ， 反比例函数的图像经过C、D两点， ， 解得：， ，， 代入到，得， 的值为4． （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，，， 设，， ①当为对角线时，则， 解得：， ，； ②当为对角线时，则， 解得：， ，； ③当为对角线时，则， 解得：， ，． 综上所述，当为对角线时，，；当为对角线时，，；当为对角线时，，． 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 6．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 7．如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m． (1)求点A的纵坐标（用m表示）： (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质，利用平方根解方程等知识，解题应用了数形结合的思想． （1）过点作交于点，易知，求出即可求出点的纵坐标，代入即可求出点的横坐标； （2）当时，，可求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点，   点是对角线的中点，四边形是矩形， 点是与的交点， 又， ， ， ，即点的纵坐标为； （2）解：当时，， 点的纵坐标为， ，， ， ， ， 则，即， 解得：，（舍去）， ， 8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的性质可得，则，解方程求出a的值即可求出k的值； （2）先求出直线解析式，进而求出点M的坐标，再根据三角形 面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 两点在上， ， ， （2）解：设直线的解析式为： 把代入得，， ∴直线的解析式为 在中，当时，， ． ． 9．四个角都是直角的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． (1)直接写出三点的坐标； (2)将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、坐标平移、反比例函数的性质，熟练掌握矩形对边平行且相等、坐标平移规律、反比例函数的应用是解题的关键． （1）求、、三点坐标：根据矩形性质，垂直轴，平行轴，结合点坐标、和的长度确定坐标． （2）求平移距离和反比例函数解析式：先得出平移后、坐标，利用反比例函数（、在反比例函数上，值相等）列方程求，再代入求． （3）求的面积：确定、坐标，用三角形面积公式（以为底，纵坐标为高 ）计算． 【详解】（1）解：四边形是矩形，轴，，，垂直于轴 点的横坐标与相同，纵坐标为，即 ，轴， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 四边形是矩形，， 点的横坐标为，纵坐标与相同，即 （2）解：矩形向右平移个单位，平移后，平移后 、在上， 即 两边同乘得： 展开： 移项： 合并：，解得 ， 则， 反比例函数解析式为 （3）解：由平移知平移后，即，， 在轴投影长度纵坐标 在轴投影长度为，纵坐标为 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 10．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)一次函数的解析式是；反比例函数的解析式是； (2)见解析． 【分析】把点的坐标代入，求出值即可得到一次函数的解析式，根据一 次函数的解析式求出点的坐标是，又因为点为的中点，可得点的坐标是，根据轴于点，且，可得点的坐标是代入，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； 由点、、的坐标可知和互为垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 当时，可得：， 点的坐标是， 点为的中点， 点的坐标是， 轴于点，且， 点的坐标是， 把点的坐标是代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式是； （2）证明：由可知点的坐标是， 是的垂直平分线， ，， 又， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与 反比例函数的综合、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据点的坐标得到和互为垂直平分线，根据垂上平分线的性质进行证明． 11．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过D作于E，根据A、B的坐标求出，结合菱形的面积为15求出，根据勾股定理求出，则可求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移性质求出点B平移后的坐标，然后代入（1）中函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：过D作于E， ∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵菱形的面积为15， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 代入，得， ∴， ∴； （2）解：∵菱形ABCD向上平移m个单位长度， ∴点B平移后的坐标为， ∵平移后点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即平移距离为1． 12．如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵， ∴． 13．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查平行四边形的性质，菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式，注意掌握坐标与图形的关系是关键． （1）由平移可得，，，，四边形为平行四边形，利用勾股定理可求得，即可得到四边形的四条边相等，即可得证结论； （2）由四边形为菱形，可求得点的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式； （3）由四边形是平行四边形，根据平移的性质，可求得点的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标，继而求得点的坐标． 【详解】（1）证明：∵，，线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)， ∴，，，，，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，，　 ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是经过平移得到的， ∴根据，可得，首先向右平移了6个单位长度， ∴点N的横坐标为6，代入得，　 ∴点M的纵坐标为， ∴点M的坐标为． 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 14．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数中的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识．根据反比例函数中的几何意义可得，根据两个正方形的面积可得两个正方形的边长分别是和，设，，即可求，根据正方形的性质和直角坐标系列方程求出，进而求出，即可求的值． 【详解】解：根据的几何合义，易知， 两个正方形面积分别是和， 两个正方形的边长分别是和， 设，， 则， ， 解得：， ， ， 故答案为：，． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，利用一线三等角模型求得点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴于点，则，证明求得点坐标，再利用中点公式求得点坐标，代入即可解答． 【详解】（1）解：将点分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解： 点， ， 如图，过点作轴于点，则． 四边形是正方形， ． ． ， ． ， ， ， ， 点的坐标为， 点， 点的坐标为，即， 反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点， ． 16．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)反比例函数解析式为 【分析】本题主要考查正方形的性质，反比例函数与几何图形面积的计算，掌握反比例函数图象与几何图形面积的计算方法是关键． （1）根据正方形的性质得到，由反比例函数图形的性质得到，则，，则，由此即可求解； （2）根据题意得到，，，，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象与交于点，与交于点， ∴当时，， ∴，则， 当时，，则， ∴，则， ∴； （2）解：根据上述证明得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴反比例函数解析式为． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)平移的距离为个单位 【分析】本题考查了反比例函数与坐标图形，掌握反比例函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，将代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意得出，然后根据得出，即可求解； （3）设平移后的对应点为，代入（1）中的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴ ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：∵正方形的边轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为，点的横坐标为 ∵点的坐标为，为边的中点， ∴ ∴正方形的边长为 ∴，则 ∵， ∴，则的横坐标为 ∴； （3）解：依题意，设向下平移个单位，则平移后的对应点为 ∵在上， ∴ 解得：，即平移的距离为个单位． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 2．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，理解反比例函数系数与几何图形面积的关系是关键． 根据正方形的性质得到，设，由正方形的面积得到，设，则，得，由此得到点的坐标，则，代入计算得到的值，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵四边形是矩形，点在反比例函数的图象上， ∴设，则， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，五个边长均为1的小正方形拼成“”型图形，其中小正方形顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点P作轴于点E，依题意得：，进而根据勾股定理求得，证明得到求出，， 同理可得得到求得，，进而，因此点P的坐标为，将点P坐标代入函数中即可求出k的值． 【详解】解：如图：过点P作轴于点E， 依题意得：， 在中 ，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， 同理可证：， ∴，即, ∴，, ∴， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，可得，作轴于，由题意可得点A、D关于原点对称，即可得出，由等边三角形的性质可得，，即，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点C的坐标为， ∴，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴点A、D关于原点对称， ∴， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的边交于点D，与边交于点E，若D为中点，且的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设，则由矩形的性质和中点坐标公式可得，由待定系数法可得反比例函数解析式为，则可求出，根据三角形面积计算公式可得，可求出，即． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，即轴，轴， ∵D为中点， ∴； ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴，， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：1或3． 7．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形的性质得到点E为的中点，则为的中位线，可证明，得到，进一步可证明；根据三角形中线平分三角形面积得到，由平行四边形的性质得到，则，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，且交于点E， ∴点E为的中点， ∵，即点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵点F为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点E在反比例函数图象上，且反比例函数图象经过第一象限， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，根据题意得出两个菱形的面积为，根据反比例函数的意义得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两个影阴部分的面积和为8， ∴两个菱形的面积和为， ∴ 又， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·广东广州·二模）如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； （2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，菱形的性质熟练掌握该知识点是关键 （1）连接交与点E，根据对称性质求出点A的坐标，再代入两个函数解析式求出m、k值即可； （2）先求出，再设点P坐标为，建立方程求出必值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：连接交与点E， ∵点C在x轴的正半轴上，点，四边形是菱形， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵点A为直线与双曲线的交点， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， 解得：， ∴或． 11．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出,由反比例函数的图象经过点E即可求出答案； （2）求出F点坐标为，由反比例函数的图象与交于点F即可求出答案． 【详解】（1）解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)菱形的边长为____________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质； （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论； （2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵点D的坐标为， ∴，， ∴由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故答案为：5； （2）解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∴轴， ∴在直线上， ∴ ∵， ∴点的坐标为， 将点代入，得 ∴． 13．（2022·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质、待定系数法求表达式及等腰三角形性质， （1）过点A作轴于点E，先证明，求出，进而求出，即可求出结论； （2）先求出直线的解析式为，设直线向左平移后的解析式为，先求出当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时t的值，进而求出结论即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线向左平移后的解析式为， 联立，整理得，， 当反比例函数图象与三角形只有一个公共点时，则有两个相等的实数根， 即， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，t的取值范围是． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式． 【答案】(1)点D的坐标为； (2)直线的解析式为或． 【分析】（1）先求出点的坐标，从而求出反比例函数的解析式，再求出，即可得出点的坐标； （2）按照和进行分类讨论，计算每种情况对应的点和点的坐标，用待定系数法即可得直线的解析式． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，为的中点， ∴，，． ∴， ∴． ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线上， ∴． ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴当和相似时，可分两种情况： 当时，， 即， ∴． ∴易得，即与重合． 此时设直线BF的解析式为， 把点的坐标代入，得， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， 即， ∴, ∴, ∴此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述，若和相似，则直线的解析式为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形相似的性质． 15．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数 的图象经过正方形（为坐标原点）的顶点，直线 经过边的中点． (1)求直线的函数解析式及反比例函数的解析式． (2)将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线在双曲线 的上方时，求的取值范围． (3)将 绕点顺时针旋转，点的对应点为点，判断点是否在该双曲线上． 【答案】(1)直线的函数解析式为 ；反比例函数的解析式为 (2) (3)点 在该双曲线上 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出的值即可；根据点是正方形的边的中点，求出点坐标，代入反比例函数解析式中，求出的值即可． （2）根据平移的性质得到直线的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求得交点的横坐标，进而根据函数图象的特征求得的取值范围． （3）根据旋转的性质得到点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式中验证点是否在该双曲线上． 【详解】（1）解：点在直线 上， ，解得， 直线的函数解析式为． 点是正方形的边的中点， ． 将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的解析式为 ． （2）解：将直线 向下平移个单位长度，得， 设直线与双曲线 交于点 ， 联立 ，解得或 （舍去）， 点的横坐标为， 当直线 在双曲线的上方时，． （3）解：由（1）易知，，，． 将绕点顺时针旋转，点 的对应点为点， 点的坐标为． 对于反比例函数， 当时，， 点在该双曲线上． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，反比例函数与几何图形结合，待定系数法求函数解析式，线段的中点坐标公式，一次函数图形的平移，图形的旋转，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数与几何图形的综合问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 1 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 5 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 12 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 17 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数与三角形的综合问题 1．定义：有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角 (1)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形； (2)如图②，已知是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，且，，点B、C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为1，求k的值． 2．如图，点在双曲线上，点C在双曲线上，点A在x轴的正半轴上，且是以为斜边的等腰直角三角形．    (1)填空：______； (2)求点A的坐标； (3)若点D是x轴上一点，且以点D、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点D的坐标． 题型二、反比例函数与平行四边形的综合问题 3．如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数图象经过点，且与边交于点． （1）反比例函数的解析式为 ； （2）若，点的坐标为 ． 4．如图，四边形是平行四边形，原点是其对角线的交点，轴，点，反比例函数的图象经过点，直线的解析式为． (1)求反比例函数的表达式； (2)写出不等式时，的取值范围； (3)求图中阴影部分的面积之和． 5．如图，已知函数的图像与x、y轴分别相交于A、B两点，的边与y轴交于点E，且E为中点，反比例函数的图像经过C、D两点． (1)求k的值； (2)已知点P在该双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试写出所有满足条件的点P、Q的坐标． 题型三、反比例函数与矩形的综合问题 6．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 7．如图，在矩形中，边在x轴上，E是对角线的中点，函数的图像经过点A、E，点E的纵坐标为m． (1)求点A的纵坐标（用m表示）： (2)当时，求m的值． 8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形，其顶点的坐标分别为，反比例函数的图象经过矩形的顶点且与矩形的边相交于点． (1)求的值； (2)直线与相交于点，求的面积． 9．四个角都是直角的四边形是矩形．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，． (1)直接写出三点的坐标； (2)将矩形向右平移m个单位，使点恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离m和反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积_______． 题型四、反比例函数与菱形的综合问题 10．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 11．如图，平面直角坐标系中，有一面积为15的菱形，顶点A，B的坐标分别为，，反比例函数的图象经过点D． (1)求点D的坐标及反比例函数的解析式； (2)将菱形向上平移m个单位长度，当点B恰好落在反比例函数的图象上时，求平移的距离m． 12．如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式； (2)求直线的解析式和点的坐标． 13．如图，已知，，，将线段水平向右平移10个单位长度得到线段(点A对应点D)，连接，．反比例函数的图象经过点D． (1)证明：四边形为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在反比例函数的图象上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形是平行四边形，求点M的坐标． 题型五、反比例函数与正方形的综合问题 14．如图，四边形和四边形都是正方形，且面积分别是和，点，，都在轴上，点在边上，第二象限的点是反比例函数图象上一点，反比例函数的图象同时经过点，． （1）的值为 ； （2）的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 16．如图，正方形的边长为，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边轴，点的坐标为，点的坐标为，为边的中点，点在边上，且，反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)将点向下平移，当点落在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，四边形是正方形，四边形是矩形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过点与交于点．若四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 3．（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，五个边长均为1的小正方形拼成“”型图形，其中小正方形顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（   ） A．4 B． C． D．8 二、填空题 5．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的边交于点D，与边交于点E，若D为中点，且的面积为5，则k的值为 ． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）在学习完“反比例函数的图象与性质”后，小明同学将一张直角边长为4个单位长度的等腰直角三角形纸片，摆放在如图所示的平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，小明发现将三角形纸片向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 7．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B都在x轴上，边与y轴交于点F，对角线的交点E落在反比例函数图象上，平行四边形的面积是16，且，则k的值为 ． 8．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为 ． 三、解答题 9．（2025·广东广州·二模）如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． ∵， ∴， ∴， ∴ 10．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A，点C在x轴的正半轴上，点，连接，，，，四边形是菱形． (1)求m和k的值； (2)设点P是x轴上的点，且，求点P的坐标． 11．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． (1)若，求F点坐标； (2)若，求反比例函数的解析式． 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)菱形的边长为____________； (2)求的值． 13．（2022·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，点B，C的坐标分别为，反比例函数的图象交于点A，D． (1)求k的值； (2)将沿x轴向左平移t（）个单位长度，当反比例函数的图象与三角形至少有一个公共点时，求t的取值范围． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式． 15．（2025·四川广元·模拟预测）如图，反比例函数 的图象经过正方形（为坐标原点）的顶点，直线 经过边的中点． (1)求直线的函数解析式及反比例函数的解析式． (2)将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线在双曲线 的上方时，求的取值范围． (3)将 绕点顺时针旋转，点的对应点为点，判断点是否在该双曲线上． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $