16.2.4整式的除法 导学案 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案围绕整式的除法展开，涵盖同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。课前预习通过多项式乘法回顾旧知，课堂导入以长方体纸盒容积问题创设情境，搭建从已有运算知识到整式除法的学习支架。 资料亮点在于以实际情境（纸盒问题）引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过逻辑推理（乘法逆运算）推导除法法则培养推理意识，分层设计变式练习、课堂及课后练习提升运算能力，结合规律探究与实际应用，助力学生发展数学思维与应用意识。

整式的除法 一、学习目标 1.理解同底数幂除法的法则，能熟练进行相关计算； 2.理解单项式除以单项式的法则，能熟练进行相关计算； 3.理解多项式除以单项式的法则，能熟练进行相关计算； 二、课前预习 1.回顾 （1）已知f(x)=x2-x-2,g(x)=x²-6x+8, p(x)=x²+3z+2,计算[f(x)-g(x)]·p(x). (2)两个多项式x²+px+8与x²-3x+1的乘积中不含有x³项，试求p的值. 知识点归纳： 【探究】 如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a cm的长方体形状的无盖纸盒.如果纸盒的容积为4a²b cm³,底面长方形的一边长为b(b<4a)cm,求原长方形纸板的长和宽. 分析：纸盒的容积=底面的长×宽×高 所以纸盒地面的长为4a2b÷b÷a=4a （m） 所以长方形纸板的长为4a+2a=6a （m） 长方形纸板的宽为b+2a （m） 3、 课堂学习 1.同底数幂的除法 我们来计算am÷an(a≠0,m,n都是正整数，m>n) 设am÷an=ax，则ax·an=am . 因为ax·an=am ,所以x+n=m 即x=m-n. 所以am÷an=am-n 一般地，我们有 am÷an=am-n (a≠0,m,n都是正整数，m>n) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0.于是规定: a0=1 (a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1. 例1计算： (1)（-x）8÷（-x²）;(2)(ab)⁵÷(ab)2. (3)(x-2y)3÷(2y-x)2 解：(1)x⁸÷（-x²）=-x8-2=-x⁶; (2) (ab)⁵÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b³. (3)(x-2y)3÷(2y-x)2 = (x-2y)3÷(x-2y)2 =x-2y 小结：第1小题一定要注意两个底数的区别; 第3小题把x-2y看为一个整体 2. 单项式除以单项式 如何计算(12a3b²x³)÷(3ab²)？ 就是要求一个单项式，使它与3ab²的乘积等于12a³b²x³. 因为(4a²x³)·(3ab²)=12a³b²x3,所以(12a³b²x)÷(3ab2)=4a²x³. 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3. 多项式除以单项式 对于多项式除以单项式，例如，计算(am+bm)÷m,就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm. 因为(a+b)m=am+bm, 所以(am+bm)÷m=a+b. 又am÷m+bm÷m=a+b, 所以 (am+bm)÷m=am÷m+bm÷m. 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 小结：把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题. 例2计算： (1)(28x4y²)÷(7x³y); (2)(-5a⁵b³c)÷(15ab); (3)(12a³—6a²+3a)÷(3a). 解：(1)(28x4y²)÷(7x³y) =(28÷7)x4-3y²-1 =4xy; (2) (-5a⁵b3c)÷(15ab) =[(-5)÷15]a5-1b3-1c =a4b2c; (3) (12a³—6a2+3a)÷(3a) =(12a³)÷(3a)+(-6a²)÷(3a)+(3a)÷(3a) =4a²-2a+1. 变式练习 1.计算： (1)x7÷x⁵; (2)m⁸÷m⁸; (3)(-a)10÷(-a2） (4)(xy)⁵÷(-xy)⁸. 2.计算： (1)(10ab³)÷(一5ab); (2)(一8a²b⁸)÷(6ab²); (3)(-21x²y⁴)÷(一3x²y⁵); (4)(6×10⁶)÷(3×10⁵). 3.计算： (1)(6ab+5a)÷a; (2)(15x²y—10xy²)÷(5xy). 4、 课堂练习 1.计算： (1)(a³)²÷(a²)³; (2)(ab²)³÷(-ab)²; (3)(25a³b²)÷(5ab)²; (4)(14m²n)²÷(7m²)÷(7m); (5)(-5a³b⁵c+35a²b³c²-abc)÷(-abc); (6)(-81xm+5+15xm+1-3xm-1)÷(-3xm-1). 2.已知xm=3,xn=6,求xm-n,x3m-2n的值. 3.已知x4m+3÷xm+1=xm+3·xm+5,求m的值. 5、 课后练习 1.下列各式中，正确的是( ) A.10¹⁰÷10⁵=100 B.xm÷xm-3=x³ C.如果2x÷2y=8,那么x-y=4 D.tm÷tm=0 2.计算：2100-299( )结果是 （ ） A.2 B. 299 C.1 D.无法用幂的性质计算 3.p3÷[p⁴÷(一p)²的结果是( ) A.1 B.p² C.p D.p9 4.(______)÷(—2x³y)=7xy. 5.18x⁵y³÷_________=2x³y. 6.(2a³b²)³÷________=8a⁵b. 7.(____)÷(3.5×10⁶)=2×10⁶. 8.(4×10⁹)÷(____)= -2×10³. 9.计算：22025×（- ）2026=________ 10.计算： (1)(-3x²y)²·(-xyz)÷(xy²); (2)(-4ab³)( -ab)-(ab²)²; (3)(x-3)(x-2)—6(x²+x-1); (4)(-4ab³+8a²b²)÷(4ab)—(2a+b)(a-b). (5)(a-2b)6÷(2b-a)3÷(2b-a)2 11.简答 (1)已知(xayb)²÷(x²y)³=x2y5,求ab的值. (2)已知am=1,an=2,求a3m-2n的值. 12.计算： (1)[5a⁴·a²—(3a³)²]÷(2a²)²; (2)[(ab+1)(ab—1)-2a²b²+1]÷(-ab)². 13.给出算式： 3²—1²=8×1 5²—3²=8×2 7²—5²=8×3 9²一7²=8×4 观察上面一系列算式，你能发现什么规律?用代数式来表示这个规律，并验证. 14.先化简，再求值：[(-3a⁵)²÷(-a²)³+2a⁵·(3a³-4a)]÷(-3a²)²,其中a=1. 15.已知除式g(x)=x-1,商式Q(x)=x²+x-1,余式R(x)= -4,求被除式f(x). 学科网（北京）股份有限公司 $