16.2.3多项式乘以多项式 导学案 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦多项式乘以多项式，通过长方形绿地面积的实际问题引导探究法则，课前预习回顾单项式乘多项式及含参数问题，搭建学习支架衔接新旧知识。 以几何直观情境导入培养数学眼光，例题分层设计从基础计算到规律探究发展推理意识，练习结合槽形钢材体积等实际问题渗透模型意识，注重符号运算指导提升运算能力，助力学生理解与应用法则。

多项式乘以多项式 一、学习目标 1.理解多项式乘以多项式的法则，能熟练进行相关计算； 二、课前预习 1.回顾 （1）(x²y+xy²-xy)·(-2xy²),其中x= - ,y=-2. （2）已知等式(m-x)· (-x)+n(x+m)=x²+5x-6对于任意数x都成立，求m(n-1)+n(m+1)的值. 【探究】 如图16.2-2,为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了bm, 加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 扩大后的绿地可以看成长为(a+b)m,宽为(p+q)m的长方形， 所以这块绿地的面积(单位：m²)为 (a+b)(p+q). 扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积(单位：m²)为ap+aq+bp+bq. 因此(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq. 三、课堂学习 总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq. 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 例1计算： (1)(a+3)(a-2); (2)(3x+1)(x+2); (3)(x-8y)(x-y); (4)(a+b)(a²-ab+b²). 解：(1)(a+3)(a-2) =a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2) =a²-2a+3a-6 =a²+a-6; 小结：符号问题依然是计算容易出错的关键点，本题所有的减法都改为加法，这是避免符号出错的简易方法。 (2) (3x+1)(x+2) =(3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2 =3x²+6x+x+2 =3x²+7x+2; (3) (x-8y)(x-y) =x²-xy-8xy+8y =x²-9xy+8y²; (4) (a+b)(a²-ab+b²) =a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³ =a³+b³. 变式练习： 计算： (1)(x+3y)(5x+6y-1); (2)(2a-3b-1)(a+4b+2). 例2计算： (1)(x+1)(x+4); (2)(m-2)(m+3). 解：(1)(x+1)(x+4) =x²+x+4x+4=x²+(1+4)x+4 =x²+5x+4; (2)(m-2)(m+3) =m²-2m+3m-6 =m²+(-2+3)m-6 =m²+m-6. 思考与交流 你能找到形如(x+a)和(x+b)的两个一次二项式相乘的规律吗? 利用你发现的规律计算： (1)(x+4)(x+7); (2)(a+5)(a-9); (3)(y-3)(y+10); (4)(m-12)(m-11). 例3计算： (1)(a-b)(3a-2b). (2)(3x-2)(x-1)+(x+1)(x+2); 解：(a-b)(3a-2b). =a3a+a（-2b）+(-b)3a+(-b)（-2b） =3a2-2ab-3ab+2b2 (2)(3x-2)(x-1)+(x+1)(x+2); =3x²-(3+2)x+2+x²+(2+1)x+2 =4x²-2x+4; 你能找到形如(mx+a)和(nx+b)的两个一次二项式相乘的规律吗? 利用你发现的规律计算： (1)(3x-1)(x+5) (2) (3x+4)(4x-9) (3) (5a-6b)(3a-2b) (4) (x-4y)(2x+5y) 4、 课堂练习 1.下列各式中，正确的是( ) A.(-x+y)(-x-y)=-x²-y² B.(x²-1)(x-2y²)=x³-2x²y²-x+2y² C.(x+3)(x-7)=x²-4x-4 D.(x-3y)(x+3y)=x²-6xy-9y² 2.计算： (1)(2x+1)(x+3); (2)(m+2n)(3n—m); (3)(a-1)²; (4)(a+3b)(a—3b); (5)(2x²—1)(x—4); (6)(2x+3)(2x-5). 3.计算： (1)(x+2)(x+3); (2)(x-4)(x+1); (3)(x+4)(x—2); (4)(x—5)(x—3). 由上面计算的结果找规律，观察图形，填空： (x+p)(x+q)=( )²+( )x+( ). 4.先化简，再求值：(x-y)(x²+xy+y²)—(x+y)(x²-y²),其中x=5,y=5. 5.用含有x的代数式表示槽形钢材的体积。 5、 课后练习 1.确定下列各式中m的值(其中p,q为正整数): (1)(x+4)(x+9)=x²+mx+36; (2)(x-2)(x-18)=x²+mx+36; (3)(x+3)(x+p)=x²+mx+36; (4)(x-6)(x-p)=x²+mx+36; (5)(x+p)(x+q)=x²+mx+36. 2.计算： (1)(x-6)(x-3); (2)((x+2)(x-3); (3)(3x+2)(x+2); (4)(4y-1)(5-y); (5)(x-2)(x²+4); (6)(x-1)(x²+x+1). 3.计算图中阴影所示绿地的面积(长度单位：m). 4.如图，计算长方体的表面积和体积. 5.计算 （1）(a-2b+3c)(a+2b-3c) （2）2(x-1)(x+2)(x²-3) 6.先化简，再求值 （1）(5x+7)(2x-3)-9x(x—2),其中x=-2. （2）(-5x²-1)(2x²-3),其中x=. 7.已知f(x)=x2-x-2,g(x)=x²-6x+8, p(x)=x²+3z+2,计算[f(x)一g(x)]·p(x). 8.两个多项式x²+px+8与x²—3x+1的乘积中不含有x³项，试求p的值. 9.已知多项式x²+ax+1与2x+b的乘积中含x²项的系数为3,含x项的系数为2,求a+b的值. 学科网（北京）股份有限公司 $