第4章 小专题9 角平分线常见图形及辅助线作-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（潍坊专用）

小专题九 角平分线常见图形及辅助线作法（答案P66) 考点达标训练 BC=9,求BD的长. 1.(2024·青岛市北区期末)如图所示，△ABC 的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点 P到AC的距离为3，则点P到AB的距离 为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.运算能力如图所示，在△ABC中，∠C=90°， 2.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的 AB=13,AC=5,点O为∠ABC与∠CAB的 平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB 平分线的交点.求点O到边AB的距离. 于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线 段MN的长() A.大于9 B.等于9 C.小于9 D.不能确定 3.(2024·济南市中区模拟)如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适 当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N, 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD 再分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为 平分∠BAC,BE⊥AD交AD的延长线于点 E,连接CE.若AB=4,AC=3,求△ACE的 半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC 面积. 于点D,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积 是 4.如图所示，在△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB 的平分线CD交AB于点D,已知AC=16, 数学·精练册潍坊专用 49 素养拓展提升 图①所示，P为∠AOB的平分线OC上一点， 7.阅读理解(2024·东营垦利区质检)在解决线 过点P作PD∥OB交OA于点D,易证 段数量关系问题中，如果条件中有角平分线， △POD为等腰三角形. 【基本运用】(1)如图②所示，把长方形纸片 经常采用下面构造全等三角形的解决思路， 如：在图①中，若C是∠MON的平分线OP ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处， 上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取 重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？ OB=OA,连接BC,根据三角形全等的判定定 【类比探究】(2)如图③所示，在△ABC中， 理(SAS),容易构造出全等三角形△OBC和 ∠ABC与外角∠ACG的平分线交于点O,过 △OAC,参考上面的方法，解答下列问题： 点O作DE∥BC分别交AB,AC于点D,点 E,试探究线段BD,DE,CE之间的数量关系 并说明理由， 【拓展提升】(3)如图④所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC,E为CD边的中点，且AE平分 ∠BAD,连接BE,求证：AE⊥BE ① ② 如图②所示，在非等边△ABC中，∠B=60°， AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线， 且AD,CE交于点F,求证：AC=AE十CD. 8.探究拓展(2024·德州陵城区模拟)【问题背 景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学 活动小组对课本上的一道例题进行了深入探 究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得 等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上 点作角的一边的平行线构造等腰三角形.如 50 优学系赢在中考AE=AG 在△AEF和△AGF中，{∠1=∠2， AF-AF .∴.△AEF≌△AGF(SAS), ∴∠AFE-∠AFG. ∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB=120°， 小专题九角平分线常见图形及辅助线作法 :∠2+∠3=日(ZBAC+∠ACB) 1.C2.B3.15 =60°. 4.解：如图所示，在AC上截取CE=CB,连接DE ∠AFE=∠2+∠3， ,∠ACB的平分线CD交AB于点D, ∴.∠AFE=∠CFD=∠AFG=60, ∴.∠BCD=∠ECD, ∴.∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°， 在△CBD与△CED中， ∴.∠CFD=∠CFG. CB=CE, 在△CFG和△CFD中， ∠BCD=∠ECD, ∠CFG=∠CFD, CD-CD, FC=FC, ∴.△CFG≌△CFD(ASA), ∴.△CBD≌△CED(SAS), ∠3=∠4， ∴.BD=ED,∠B=∠CED ..CG=CD,..AC=AG+CG=AE+CD. ,'∠B=2∠A,∠CED=∠A十∠ADE, 8.解：【基本运用】(1)△ACE是等腰三角形.理由如下： ∴.∠CED=2∠A, 在长方形ABCD中，DC∥AB, .∠A=∠EDA,.AE=ED,∴.AE=BD, .∠ACD=∠BAC. ..BD=AC-CE=AC-BC=16-9-7. 由折叠性质可知∠B'AC=∠BAC, 5.解：作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,如 .∠ACD=∠B'AC, 图所示. ..AE-CE, 在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC=12. ∴.△ACE是等腰三角形 :点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点， 【类比探究】(2)BD=DE十CE.理由如下： OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC, BO平分∠ABC, ∴.∠ABO=∠CBO. ..OE=OD=OF, DE∥BC, AC.BC-AC.OE+C OF+AB OD 1 ∴.∠CBO=∠BOD, ∴.∠ABO=∠BOD, 2×13×0D+2×12×0D+2×5×0D=号×5×12， 1 .BD=OD. 解得OD=2,即点O到边AB的距离为2. 同理：CE=OE 又OD=DE+OE, ..BD=DE+CE. 【拓展提升】(3)证明：如图所示，延长AE,BC交于点F. ,'AD∥BC, ∴.∠D=∠DCF,∠DAF=∠F ,AE平分∠BAD, 6.解：延长BE交AC的延长线于点F,如图所示 .∠DAF=∠BAF, AD平分∠BAC, .∠F=∠BAF, .∠BAE=∠CAE. ∴.AB=BF. BE⊥AD 在△ADE和△FCE中， ,.∠AEB=∠AEF=90° |∠D=∠DCF, 在△AEB和△AEF中， ∠DAF=∠F, |∠BAE=∠CAD, DE=CE, AE-AE, ∴.△ADE≌△FCE(AAS),∴.AE=FE. ∠AEB=∠AEF 又AB=BF,.AE⊥BE ∴.△AEB≌△AEF(ASA), 小专题十中点常见图形及辅助线作法 ∴.AB=AF,BE=FE 1.D2.C3.D4.40°5.106.6 .'AB=4,AC=3,..AF=AB=4,CF=1. 7.解：(1)证明：如图所示，连接DE.AD⊥BC,∴∠ADB=90°. :∠BAC=90rSam=号AB·AP=号X4X4=8, 又E为AB的中点，∴.DE=AE=BE .CD=AE, 1 六S△AEF=2 SAABF=4. ∴.DE=CD ,AC:CF=3:1, 又DG⊥EC,∴.EG=CG (2)过点E作EM⊥BC于点M,如图 3 ·△ACE的面积=SaME=3. 所示. 7.证明：如图所示，在AC上截取AG=AE,连接FG. AD⊥BC,EM⊥BC,∴.EM∥AD. ,AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线， E为AB的中点，，EM是△ABD的 中位线， ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 66