精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若x＞0，y＞0，且，则x＋y的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 10. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 函数的定义域是_______． 13. 已知集合，，若，则实数的值为______. 14. 已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）求的值． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）作出函数的图象； （2）写出的单调递增区间和单调递减区间； （3）求在区间上的最值. 17. 已知全集，集合， （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 19. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：B. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A 3. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案. 【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}， 所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即 故选：C 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B 5. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 6. 若x＞0，y＞0，且，则x＋y的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将x＋y乘以展开，利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为x＞0，y＞0，且， 所以（当且仅当，即时取等号）。 故选：C 7. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先分析条件①②得到函数的奇偶性和单调性.然后逐个验证四个函数是否满足条件. 【详解】由①可知函数为奇函数， 由②，即，所以函数在定义域上单调递增. ①函数为偶函数，不满足条件①，排除； ②函数为奇函数，在定义域内单调递增，是“理想函数”； ③∵，函数不是奇函数，排除； ④当时，，，函数是奇函数， ∴函数在单调递增，在上单调递增，且当时，，∴函数在定义域内单调递增，是“理想函数”； 故为“理想函数”的函数有：②④； 故选：B. 8. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）. 9. 已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的单调递增区间为和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：ACD 10. 已知关于的不等式解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系及韦达定理，结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由已知可得，并且是方程的两根， 则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误； 选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误； 选项C：，所以C正确， 选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：CD. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D. 【详解】对于A，函数，所以函数与不是同一个函数，故A正确； 对于B，，当且仅当取得等号，故B正确； 对于C，，因为函数在上单调递增，所以当时，，故C错误； 对于D，当时，不等式即，满足题意，当时，则有，解得. 综上所述，满足题意的的取值范围是，故D错误. 故选：AB 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 12. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由被开方式大于等于且分母不等于联立不等式组，求解不等式组即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合相等的定义分析即可. 【详解】集合，， 若，则， 则或，所以或或， 当时，集合，，则，满足题意； 当时，集合，，不符合； 当时，集合，，不符合； 综上，实数的值为2. 故答案为：2 14. 已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，两式相加，可得，从而证明函数是奇函数，再说明的单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】由函数①，则②，又因为，由①+②可得，即， 所以为奇函数，又因为函数在区间上单调递增， 所以函数在R上为单调递增函数， 由，即， 则，解得. 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）作出函数的图象； （2）写出的单调递增区间和单调递减区间； （3）求在区间上的最值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为：和；单调递减区间为 （3）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式画出的图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出的图像； （2）根据（1）画出的函数图像分析单调性； （3）根据（2）由单调性确定最值. 【小问1详解】 函数图象如图所示： 【小问2详解】 由图可知，的单调递增区间为：和； 单调递减区间为； 【小问3详解】 由函数图象及（2），知在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值4； 当时，； 当时，； 所以当时，在区间上取得最小值. 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 17. 已知全集，集合， （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得和，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，集合，又由， 所以，且或， 则 【小问2详解】 解：由集合，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集，符合题意； 当时，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围. 18. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【小问1详解】 为奇函数， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 19. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本） （2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）百辆，最大利润为万 【解析】 【分析】（1）根据题意分情况列式即可； （2）根据分段函数的性质分别计算最值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，， 所以, 【小问2详解】 由（1）得当时，， 当时，， 当时， ，当且仅当，即时等号成立， ，时，，， 时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $