重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学周考试题（10.12）

重庆南开中学高2028届高一数学 (10.12) 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分 钟.第I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.命题p:m≥1，m2>m的否定是() A.m>1,m3>m B.m21,m3≤m C.3m≥1，m3≤m D.3m≥1，m3>m 2.若全集U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则MU(CN)=() A.{ B.{2 C.{1,2,3} D.{1,2,4 3.下列各组函数是同一个函数的是( A)号与创 B.f(x)=x°与g(x)=1 c.时与7 1 D.f(x)Hx与g)=F 4.“1x-1k2成立”是“x≤0成立"的( x+1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数f(x)=√ar2-ar+2的定义域为R,则实数a的取值范围是( A.(0,8 B.[0,8] C.(-o,0]U[8,+∞) D.[8,+∞） 6.已知-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4，则3a+b的取值范围是() A.[-5,0] B.[-5,3] C.[-3,0] D.[-2,5] 7.已知实数x,y满足x>3,且y+2x-3y=10,则x+y的最小值为( ) A.4 B.5 C.32 D.1+2W6 试卷第1页，共4页 8.已知关于x的不等式(ar-2x2+x-8)≥0在(0，+o)上恒成立，则b+6的最小值是() a A.4 B.4V2 C.8 D.82 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下说法错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,c<d<0,则ac>bd C.若a>b,c>0,则∈< bb+2 a b D.若a>b>0,则 aa+2 10.下列命题为真命题的是() A+。与的最小值为】 B.若正数a,b满足a+b=4,则16+的最小值为8 b a C.若a>1,b>0,且+4=1，则ab-b的最小值为16 a-1'b D.若正数0,6满足2名方则a+6的最小值为2 a,a≤b 山.定义mima,6=么a>6,若函数/()=min-3x+3-k-3+3}.且f(在区间m,网上的值城为 「37 44 则n-m的值可以是() C. 7 A.1 B.2 D.2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.不等式(x2-3x+2(x2-x-2>0的解集为 13.已知函数y=)的定义域为B,5],则函数y=2-的定义域是 x+2 a2+4b2+ab 14.己知ab,c>0,且b>c,则2ab+c6-可的最小值为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) (1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小： @设a>60,比做，括与8的大小 16.(本小题满分15分) (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(O)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式： (2)已知函数f()满足：对任意非零实数x,都有f(x)+2f1-x)-3,求∫(x)的解析式. 17.(本小题满分15分) 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成 本250万元，且年产量x(单位：千部)与另投入成本R(x)(单位：万元)的关系式为 10x2+100x+750,0<x<40 R(x)= 701x+1000-870,x≥40'由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年 能全部销售完。 (1)求2025年的利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千部)的函数关系式（利润=销售额 成本)： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 试卷第3页，共4页 18.(本小题满分17分) 高斯(1777一1855)，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之 称.函数y=[]称为高斯函数，其中[]表示不超过实数x的最大整数，如12]=1，[-1.2]=-2. (1)求不等式-≤[ys与不等式2[-1[+15≤0的解集： (2)若[x-2[x]-a2+1≤0的解集为{x0≤x<3},求实数a的范围. 19.(本小题满分17分) 若集合AcN,且集合A中存在三个元素a,b,c,同时满足：①a<b<c:②a+b>c:③a+b+c为偶数， 则称集合A具有性质P,已知集合Cn={L,2,3,,2n(neN,n24),对于集合Cn的非空子集B,若Cn中存 在三个互不相同的元素x,y,z,使得x+y,y+z,z+x均属于B,则称集合B是集合C,的“期待子集”. (1)若集合S={1,2,3,5},判断集合S是否具有性质P,并说明理由： (2)若集合T-{3,4,d}具有性质P,证明：集合T是集合C4的“期待子集”： (3)已知集合M是集合Cn的非空子集，证明：“集合M是集合Cn的期待子集”是“集合M具有性质P” 的充要条件 试卷第4页，共4页参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 题号123 4 5 67 8 答案 C DD B B A B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 答案 AC BCD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（-0,-1)U(1,2U(2,+∞)： 13.[-3,-2)U(-2,-1]: 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分 解D25r+3-2+4+2)+x+x++ 因为-220，即224红+3-c+3>0所以2r45+3+42 (2)(作差法)4-B-a-b_a+ba2-b)-(a2+b)a-b a2+b2 a+b (a2+b2)）(a+b) (a-b)[(a+b2-(a2+b2) 2ab(a-b) (a2+b2)(a+b) =(a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) a>b0.a+b0.0-b02ab0.a+60.a2+b@+b60。+左>b （作商法)a≥b0.2+b3≥0？二b >0,2ab>0, a+b a2-b2 (a+b)tbi+2ab=1+2ab a-b a+b2 a2+b2 +次>1，a-4-b a+batb a+b 答案第1页，共4页 16.解：(1)设f(x)=ar2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1,得c=1, 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)'+b(x+1)+1-ar2-bx-1=2x, 62o所a8 a=1 整理得2ar+a+b=2x,所以 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1. （2②在f创+20-=中用1-替换，得0-42)高 f)+2f0-x)=30 则 0-2=2 2®2-0得总是 所以(y的解析式为f)=,21 1-x x 17.解：(1)当0<x<40时，W(x)=700x-(10x2+100x+750)-250=-10x2+600x-1000, 当x≥40时，W(=700x-(701r+1000-870)-250=-r+1000)+8450, -10x2+600x-1000,0<x<40 所以W(x)= -x+1000)+8450,x240 (2)当0<x<40时，W(x)=-10x2+600x-1000=-10(x-30)2+8000, 当x=30时，W(x)x=8000万元， 当x≥40时，p)=-(x+1000 10000 +8450≤8450-2，x. =8250, 当且仅当x=100,即x=100时等号成立，W(e)=8250万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18.解：(1)由题意得[x≤x<[+1,且[eZ, 由-s弓，即-2[s2,所以25x<3,故-[s的解集为2≤x<到： 由2[x-1[+15≤0，即([-3)2[x]-5)≤0， ≤[可3，则[=3，所以3≤x<4,所以2可-1+15≤0的解集为邶≤x<4。 答案第2页，共4页 (2)不等式[x-2[-a2+1≤0，即(x+a-[-a-≤0， 由方程([x]+a-[x)-a-1)=0可得[x)=1-a或1+a ①若a=0,不等式为[x-2[x+1≤0，即[x]=1,所以0≤x<1,显然不符合题意： ②若a>0,1-a<1+a,由(x+a-1)[x]a-l)≤0，解得1-a≤[x]s1+a, 因为不等式的解集为{x-a≤[s1+a={x0≤x<3}={x-1<[]<3, 2≤1+a<3，解得1sa<2, -1<1-a≤0 所以 ③若a<0,1+a<1-a,由(x]+a-)x-a-1)s0,解得1+a≤s1-a, 因为不等式解集为{xl+a≤[x]s1-a}={x0≤x<3}={x1<[x]<3, 2s1-a<3,解得-2<a≤-1. -1<1+a≤0 所以 综上所述，-2<a≤-1或1≤a<2,故a的范围为(-2，-1U[1,2) 19.解：(1)集合S=1,2,3,5}不具有性质P,理由如下： 若取a=1,b=3,c=5,a+b+c=9为奇数，不满足条件③： 若取a=1b=2,c=3,或a=1,b=2,c=5或a=2,b=3,c=5, 均有a+b≤c,不满足条件②，所以S={L,2,3,5}不具有性质P: (2)由3+4+d是偶数，得实数d是奇数， 当d<3<4时，由d+3>4,得1<d<3,即d=2, 因为2+3+4=9不是偶数，所以d=2不合题意. 当3<4<d时，由3+4>d,得4<d<7,即d=5,或d=6, 因为3+4+5=12是偶数，3+4+6=13不是偶数，所以d=6不合题意. 所以集合T={3,4,5},令x+y=3,y+z=4,z+x=5, 解得x=2,y=1,z=3, 显然a,b,c∈C4={1,2,3,4,5,6,7,8},所以集合T是集合C4的“期待子集： 答案第3页，共4页 (3)先证充分性： 当集合M是集合C的“期待子集”时，存在三个互不相同的x,八，z, 使得x+y,y+z,z+x均属于M,不妨设x<y<z,令a=x+y,b=x+z,C=y+z, 则a<b<c,即满足条件①， 因为a+b-c=(x+y)+(x+z)-0y+z)=2x>0,所以a+b>c,即满足条件②， 因为a+b+c=2(x+y+z),所以a+b+c为偶数，即满足条件③， 所以当集合M是集合Cn的“期待子集时，集合M具有性质P. 再证必要性： 当集合M具有性质P,则M中存在a,b,c,同时满足①a<b<c:②a+b>c:③a+b+c为偶数， 令x=a+b+C-c,y=a+b+C-,2=a+b+c-a,则由条件O得x<y<, 2 2 2 由条件@得K-++C-c=a+-C>0,由条件③得八2均为整数。 -C= 2 2 因为c-2=c+a-a+b+c=c+a-b>c+b-c)-b-0, 2 2 2 所以0<x<y<z<c,且x,y,z均为整数，所以x,y,z∈Cn, 因为x+y=a,x+z=b,y+z=c,所以x+y,y+z,z+x均属于M, 所以当集合M具有性质P时，集合M是集合C,的“期待子集”， 综上所述，对于Cn的非空子集M,集合M是集合C的“期待子集"的充要条件是集合M具有性质. 答案第4页，共4页