精品解析：四川省南充市白塔中学2025-2026学年高二上学期第二次考试（10月）数学试题

白塔中学高2024级高二（上）期第二次考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（ ） ①总体是指这1000个口罩； ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断. 【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误； 个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误； 样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误； 样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确. 故选：A. 2. 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B不是相互独立事件 C. B与C是对立事件 D. A与C是相互独立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错； 不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确； 事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错； 事件与事件为对立事件，故D错. 故选：B. 3. 已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行： 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是（ ） A. 07 B. 12 C. 39 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据读数要求，利用随机数依次读数即可得出结果. 【详解】由题意可知得到的样本编号依次为12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第8个样本编号是44． 故选：D. 4. 下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A. ⑤ B. ③⑤ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 5. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 6. 已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案. 【详解】因为和互斥, 所以, 又, 所以, 因为, 所以. 故选:B. 7. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 8. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 若向量不能构成空间的一个基底，则为共面向量， 所以存在实数使得， 即， 可得，解得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（ ） A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人 C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人 D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形图和条形图，数据分析，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，由扇形图可知，成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多人，A正确； B选项，由条形图可知，高一学生在前200名总，前100名和后100名学生人数相同， 故成绩前100名的学生中，高一人数为，B正确； C选项，成绩前50名的学生中，高一人数为， 故高三人数不超过人，C正确； D选项，成绩第51名到第100名的学生中，高一人数为， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D错误. 故选：ABC 10. 设，，是空间一个基底，则（ ） A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据构成空间基底向量的特征逐一判断选项正误即可 【详解】由，，是空间一个基底，知： 在A中，若，，则与不平行，但夹角不一定为90°，故A错误； 在B中，，，两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量， 所以，，不可能共面，故B正确； 在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故C正确； 在D中，假设，，共面，设， 化简得：，即：，所以，，共面与已知矛盾. ∴，，一定能构成空间的一个基底，故D正确. 故选：BCD. 11. （多选）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断AB，利用等体积法求体积判断C，再由三棱锥外接球即为长方体外接球求出半径判断D. 【详解】长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点， 在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ∵，∴与不垂直，故A错误； 在B中，，，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵，不共线，∴平面与平面相交，故B错误； 在C中，三棱锥的体积为： ，故C正确； 在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：CD. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的共有5组随机数，根据概率计算公式，得到结果. 详解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共有5组随机数， ,所求概率为. 故答案为. 点睛：本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用. 13. 若,,,则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的和,再利用数量积的坐标形式可求数量积. 【详解】, 故, 所以. 故答案为:. 14. 如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点到平面的距离分别为，，利用空间点到平面距离公式，求出平面的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，① 点到平面距离为，② 由①②可得， 所以到平面的距离为. 故答案为:. 【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【答案】（1）①，②；（2）. 【解析】 【分析】（1）①先计算出，再根据平行得到方程，求出；②根据垂直得到方程，求出； （2）利用模长公式得到，利用单调性求出最小值. 【详解】（1）①， ， ，设， 故， 所以，解得，故； ② ， 解得； （2）已知， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为. 16. 某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该校学生数学成绩的平均数； （3）估计该校学生数学成绩的第百分位数． 【答案】（1）；（2）分；（3）分． 【解析】 【分析】（1）利用各组频率和为1，列方程可求出的值； （2）直接计算平均数即可； （3）由于50到80的频率和为，50到90的频率和为，从而可知第百分位数在80到90之间，从而可计算得到 【详解】解：（1）由于组距为10，所以有， 从而． （2）平均数分． （3）因为50到80的频率和为，50到90的频率和为， 所以第75百分位数为 分． 17. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 【答案】（I）6人，9人，10人； （II）（i）,,,,共15种； （ii）. 【解析】 【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 ,,,,共15种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种， 所以，事件M发生的概率. 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 18. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）如图所示，连结， 等边中，，则， 平面平面，且平面平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，故， 由三棱柱的性质可知，而，故，且， 由线面垂直的判定定理可得：平面， 结合平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直 （2）建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在底面内作，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则，,， 据此可得：， 由可得点的坐标为， 利用中点坐标公式可得：，由于， 故直线EF的方向向量为：. 设平面的法向量为，则： ， 据此可得平面的一个法向量为，. 此时， 设直线与平面所成角为，则.，利用向量的夹角公式求解. 19. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形为矩形，， 又平面平面，平面平面， 平面． 取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，， 设平面的法向量， ，， 由，取，得， 又，，则， 又平面，平面； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面．取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，再由线面平行的判定可得平面； （2）求出平面的法向量，求出，可得，则平面与平面所成二面角的正弦值可求； （3）点在线段上，设，，，可得，，，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，得到，，，则的长可求． 【详解】（1）略 （2）解：设平面的法向量， ，， 由，取，可得， ， ， 即平面与平面所成二面角的正弦值为； （3）解：点在线段上，设，，， ，0，，2，，，， 又平面的法向量，设直线与平面所成角为， ， ，即， ，，． ，，，则， 的长为． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔中学高2024级高二（上）期第二次考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（ ） ①总体是指这1000个口罩； ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B不是相互独立事件 C. B与C是对立事件 D. A与C是相互独立事件 3. 已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行： 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是（ ） A. 07 B. 12 C. 39 D. 44 4. 下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A. ⑤ B. ③⑤ C. ③④⑤ D. ②③④⑤ 5. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件和互斥,且,,则等于（ ） A. B. C. D. 7. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 9 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（ ） A. 成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人 C. 成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人 D. 成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多 10. 设，，是空间一个基底，则（ ） A. 若，，则 B. 则，，两两共面，但，，不可能共面 C. 对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D. 则，，一定能构成空间的一个基底 11. （多选）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 则这三天中恰有两天降雨的概率约为__________． 13. 若,,,则______. 14. 如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 16. 某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计该校学生数学成绩的平均数； （3）估计该校学生数学成绩的第百分位数． 17. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. 18. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 19. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $