专题04 图形的相似 （期中复习课件）九年级数学上学期北师大版

该初中数学课件聚焦“图形的相似”，涵盖比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过期中学情分析衔接全等三角形，构建从特殊到一般的知识支架，帮助学生系统梳理前后知识脉络。 其亮点是题型分类清晰，解题技巧实用，结合测量古城墙等实际问题培养数学眼光，通过推理过程训练数学思维，分层验收设计助力学生逐步提升，教师可直接用于复习教学，提升课堂效率。

专题04 图形的相似 九年级数学上学期 期中复习大串讲 北师大版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 基础考点，多在选择题或填空题中考查线段比例的判断 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段比例相关问题 重要考点，常与三角形相似等知识结合，在选择题、填空题及证明题中出现 认识相似图形 理解相似图形的概念，能识别生活中的相似图形，明确相似图形的性质 基础考点，多以选择题形式考查相似图形的识别与性质理解 相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），并能灵活运用解决问题 核心高频考点，贯穿相似三角形相关题目，在选择题、填空题、证明题、计算题中均有大量考查，是相似图形知识的重点与难点 相似三角形与实际问题 能运用相似三角形的知识解决实际生活中的测量、投影等问题 重要考点，常以应用题形式考查，体现数学知识在实际中的应用，难度中等 图形的位似 理解位似图形的概念、性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，会画位似图形 重要考点，常与相似三角形结合，在作图题、选择题、填空题中考查位似图形的性质与作图 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 成比例线段 知识点01 线段的比与长度单位的关系： 1. 两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成 线段的比与线段的长度单位选取无关，但计算线段比时应将长度单位统一. 两条线段的比： 两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. （两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 和数的比一样 比例的项：在比例式 中，a，b，c，d叫做比例的项， 其中：线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 成比例线段 知识点01 2. 成比例线段 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 ，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段， 即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 成比例线段 知识点01 1）基本性质： ⇔ ad=bc (bd ≠ 0) 3. 比例的性质： 2）更比性质： = ⇔ ① 合比性质： = ⇔ = （bd≠0）， ② 分比性质： = ⇔ = （ bd≠0 ）， ③ 合分比性质： = （ bd≠0 ）⇔ =(（a－b）•（c－d）≠0) ④ 等比性质：如果 = = = … = = k(b＋d＋f＋…＋n≠0), 那么==k 成比例线段 知识点01 【拓展】 3）黄金分割： 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC）， 若满足 =，那么称点B为线段AC的黄金分割点， 成比例线段 知识点01 【易错点】未对黄金分割点的位置分类讨论而致错. AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为 ，近似值为0.618 平行线分线段成比例 知识点02 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有： 或 或 或 或 等. 或 或 或 或 等. 2）若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为： 推论： 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 平行线分线段成比例 知识点02 如图，若DE∥BC，则有： ， B C E D B C E D 认识相似图形 知识点03 1）相似图形强调形状相同，它与图形的大小、位置无关； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同； 1.相似图形： 我们把形状相同的图形叫做相似图形. 【补充】 定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 2. 相似三角形 认识相似图形 知识点03 如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法： 最大（小）角与最大（小）角对应，最长（短）边与最长（短）边对应. 【补充】 1）表示两个三角形相似时，要把对应顶点写在对应的位置上，以指明对应角、对应边. 如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 2）【易错】 相似三角形的性质与判定 知识点04 1）两个三角形相似的判定定理   判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似．   认识相似图形 知识点03 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性： 若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 认识相似图形 知识点03 2）相似三角形的性质 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 图形的位似 知识点05 1）相似只要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上还要求对应点的连线相交于一点； 1. 位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 【解读】位似与相似的关系： 2）如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但两个相似图形不一定是位似图形，即位似是相似的特殊情况. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 图形的位似 知识点05 2. 位似的坐标变换 y O x B C E D (x，y) (kx，ky) (-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化： 若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同； 若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 图形的位似 知识点05 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形 3. 位似图形的性质 4. 位似图形的画法： 注意事项 一般步骤 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 相似多边形的判定 题型一 解｜题｜技｜巧 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件： ①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 相似多边形的判定 题型一 B 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（    ） A. B. D. 解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 相似多边形的判定 题型一 3．（24-25九年级上•浙江杭州•期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 相似多边形的判定 题型一 线段的比与成比例线段 题型二 解｜题｜技｜巧 1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位要一致，如果不一致，首先把它们化为同一长度单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 2) 判断成比例线段的“三步骤” 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（    ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 相似多边形的判定 题型一 C 5．（24-25九年级上·全国·期末）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 解： A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 相似多边形的判定 题型一 D 6．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 相似多边形的判定 题型一 B 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则 ． 解：线段c是线段a，b的比例中项， ， ，， ， 而， 相似多边形的判定 题型一 比例性质的应用 题型三 解｜题｜技｜巧 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 比例性质的应用 题型三 或 9．（23-24九年级上·安徽宿州·期中） 已知，若，则 ． 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 比例性质的应用 题型三 10．（22-23九年级上·全国·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴ ， ∴， 比例性质的应用 题型三 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 解：∵C为线段的黄金分割点， 则, 或； 比例性质的应用 题型三 C C 或 12．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 比例性质的应用 题型三 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中） 已知线段，，，且．(1)求的值；(2)若线段，，满足，求的值． （1）解：∵，∴， ∴； 比例性质的应用 题型三 （2）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴ ． 平行线分线段成比例 题型四 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例的基本事实，重点培养 “对应” 思想： 1）两条被截线上，夹在相同两条平行线间的线段是对应线段. 2）对应线段成比例的应用方式： ① （等号的左、右两边各在一条直线上）. ② （等号的左、右两边各在两条直线上）. 14．（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，中，点在的延长线上，直线交于点，交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 平行线分线段成比例 题型四 解：∵，∴， ∴，∴；故A选项正确，符合题意； ∵， ∴，，， ∴，，，故B，C，D选项错误，不符合题意， A 类型一 由平行判断成比例线段 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 解：，， ，， ，， ，， ， ，， 平行线分线段成比例 题型四 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，D，E分别是上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 平行线分线段成比例 题型四 解：A、∵，∴， ∴，原结论错误，本选项不符合题意； B、∵， ∴，故正确，本选项符合题意； C、∵， ∴，， ∴，， ∴，原结论错误，本选项不符合题意； D、∵，∴，原结论错误，本选项不符合题意； B 40 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∴． 平行线分线段成比例 题型四 类型二 由平行截线求相关线段的长或比值 D 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 平行线分线段成比例 题型四 解：∵，为边上的三等分点，∴， ∵，∴， ， ∴， ∵，∴， ， ， ∴. A 19．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即，解得：． 平行线分线段成比例 题型四 20．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 平行线分线段成比例 题型四 （1）解：， ∴． 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 44 21．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则 ． 平行线分线段成比例 题型四 类型三 作平行线构造成比例线段 解：过点D作，交于点H，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则 ． 平行线分线段成比例 题型四 解：过点作，与，分别相交于点，， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 13 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 平行线分线段成比例 题型四 解：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，． 相似三角形的判定 题型五 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 24．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 类型一 选择或补充条件使两个三角形相似 相似三角形的判定 题型五 解：∵，，∴，故①符合题意； ∵，，∴，故②符合题意； ∵，，∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； ①②④． 25．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 相似三角形的判定 题型五 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 26．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（    ） A． B． C． D． 相似三角形的判定 题型五 解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴，再结合，能判定，故D符合题意； D 27．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 相似三角形的判定 题型五 类型二 选用合适的方法判定两个三角形形似 28．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：． 证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 相似三角形的判定 题型五 29．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 相似三角形的判定 题型五 （1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明： 由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 相似三角形的判定 题型五 相似三角形的性质 题型六 解｜题｜技｜巧 易错分析： 用错公式，误以为相似三角形面积的比等于相似比. 31．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 相似三角形的性质 题型六 类型一 利用相似三角形的性质求解 D 32．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 相似三角形的性质 题型六 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 当时，， ∴，解得：，， 经检验，，是分式方程的解； C 当时，， ∴，解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上，长为2或3． 33．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为， 设较大三角形的面积为，则： ， 解得：， ∴另一个三角形的面积为， 相似三角形的性质 题型六 34．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 相似三角形的性质 题型六 35．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ． 解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 相似三角形的性质 题型六 类型二 利用相似求坐标 36．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 相似三角形的性质 题型六 C ∟ 解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点，∴OA=10， ∵，∴， ∴AB=2OB，∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴，∴BC=4， ∴点B的坐标为； 37．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 相似三角形的性质 题型六 C ∟ 解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D， 则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴△CDE≌△CDB（ASA）， ∴DE＝DB ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4， ∵A（－4，0），∴AO＝4， ∵CD∥AO，∴△AOE∽△CDE， ∴ ∴， 解得：， 38．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 相似三角形的性质 题型六 （1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 3 2 38．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 相似三角形的性质 题型六 3 2 （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ，解得， 又，且点在轴上，． 39．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（     ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 相似三角形的性质 题型六 类型三 相似三角形在动态几何问题中的应用 解：设运动时间为，由题意得， ， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， D ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 40．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 相似三角形的性质 题型六 解：∵，． ①当时，有， 即，解得， ∴； ②当时，有， 即，解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 或20 41．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 相似三角形的性质 题型六 （1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； 41．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 相似三角形的性质 题型六 （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； 41．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 相似三角形的性质 题型六 （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴，∴，∴， ②当时， ∴，∴，∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 相似三角形判定与性质 题型七 解｜题｜技｜巧 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 证明：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴． 相似三角形判定与性质 题型七 类型一 利用“三点定形法”证明比例式或等积式 43．（20-21九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． （1）解：∵是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴； （2）解：由旋转可得， ∵， ∴． ∴，∴． 相似三角形判定与性质 题型七 44．（2025•甘肃武威•一模）已知正方形 ABCD的对角线相交于点O，∠CAB 的平分线分别交BD 、 BC于点E、 F，作BH⊥AF ，垂足为H，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G、P． (1)求证： AE=BG； (2)求证： GO·AG=CG·AO． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴ OA=0B， ∠AOE=∠BOG=90°， ∵ BH⊥AF ， ∴ ∠AHG =90 ° ， ∵ ∠GAH ＋ ∠ AGH=90 ° ， ∠OBG ＋ ∠AGH =90 ° ， ∴ ∠GAH = ∠OBG ， 在△ OAE 和 △ OBG中， ， ∴ △ OAE ≌ ∠OBG(ASA) ， ∴ AE=BG； 44．（2025•甘肃武威•一模）已知正方形 ABCD的对角线相交于点O，∠CAB 的平分线分别交BD 、 BC于点E、 F，作BH⊥AF ，垂足为H，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G、P． (1)求证： AE=BG； (2)求证： GO·AG=CG·AO． 相似三角形判定与性质 题型七 （2）证明：由（1）得 △ OAE ≌ ∠OBG(ASA) ，∴ OG=OE， ∵四边形 ABCD为正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC ＝ ∠BCD=90 ° ，AB ∥CD ， ∴ △PCG∽△BAG， ∴ =， ∴ =， ∵ ∠AHG＝∠ABC＝90°， ∴ ∠FAB＋∠ABH= ∠CBP＋∠ABH= 90° ， ∴ ∠FAB = ∠CBP ， ∵ AF平分∠CA B，∴ ∠ FAC＝ ∠FAB ， ∴ ∠ FAC＝ ∠CAB ，∴ △OAE ∽ △CBP ， ∴ =， ∵ OE=OG∴ = ∴ == ∴ GO·AG=CG·AO ． 45．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 相似三角形判定与性质 题型七 类型二 相似三角形判定与性质综合 （1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； 45．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 相似三角形判定与性质 题型七 类型二 相似三角形判定与性质综合 （2）解：，， ，， ， ， ， 的长是． 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中， ，， ； 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 相似三角形判定与性质 题型七 （2）证明：， ， 又， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 47．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 48．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，点E是上一点，点F为矩形外一点，且，，与相交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的值． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）证明：在矩形中，， 则，， ∴， ∴，∴， ∵， ∴． 48．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，点E是上一点，点F为矩形外一点，且，，与相交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的值． 相似三角形判定与性质 题型七 （2）解：设， 由（1）得， ∴， 而， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴． 49．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 相似三角形判定与性质 题型七 类型三 相似三角形的实际应用 解：设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 50．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组            说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 相似三角形判定与性质 题型七 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 85 解：选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，如图所示：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴ ∵，∴， 相似三角形判定与性质 题型七 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为；选择第三组的方案，根据题意得， ∴，∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 51．（24-25九年级上·河南新乡·期末）临颍县小商桥是一座比赵州桥还要早的古桥，位于河南省漯河市临颍县与郾城区交界的小商河（颍河故道）上，距今已有一千四百多年的历史．实践小组成员在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集小商桥的相关数据．在河岸的一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E，F，使得，测得，，点E到河岸的距离为．请根据上述数据，计算小商桥的长． 相似三角形判定与性质 题型七 G ∟ 解：如图，过点E作于点G． ， ， ， ． ，， ． ， ， ． 答：小商桥的长度为． 52．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（　　） A． 或5 B． 或6 C． 或5 D． 或6 相似三角形判定与性质 题型七 类型四 利用相似三角形列函数关系式 解：如图①,,是的三等分线，根据图②可知， ， ， ， ，同理 ， ， ，， ， 解得：或 (负值舍去), ，， ∴当恰好是的一条三等分线时，的值为或. 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 相似三角形判定与性质 题型七 解：（1），， ， ， ，， ； 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 相似三角形判定与性质 题型七 （2），， ，， ，， 如图，作于， ，， ，， 又 即， ， ， ， ，， 整理得：， H ∟ ， ，， ， ． 54．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，，，．设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是 ． 相似三角形判定与性质 题型七 解：，点是边的中点， ，又， ， ， ， ， ，； 55．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：；(2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴． 55．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：；(2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 相似三角形判定与性质 题型七 （2）解：∵矩形，，    ∴， ∵，    ∴，∴， ∴． 55．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：；(2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 相似三角形判定与性质 题型七 （3）解：∵，∴． ∵， ∴ ∴ 当时，有最大值． 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 相似三角形判定与性质 题型七 类型五 在网格中画已知三角形相似的三角形 （1）解：由图可知，，，， 所画各边长分别为， ， ， ， ， 即为所求（答案不唯一）； 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 相似三角形判定与性质 题型七 类型五 在网格中画已知三角形相似的三角形 （2）解：取格点和， 连结与交于点，连结， ， ， ， ， 点即为所求． 57．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）解：∵， ， ， （2）解：如图②，点即为所求； （3）解：如图③，点即为所求 58．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结， 使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结， 使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上， 且与的位似比为． 相似三角形判定与性质 题型七 （1）解：如图，△ADE即为所求； （2）解：如图，△BFG即为所求； F G （3）解：如图，△BMN即为所求； M N 解｜题｜方｜法 识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形. 位似图形 题型八 类型一 位似图形的识别 位似图形 题型八 59．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（     ） A. B. C. D. 解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； A 60．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A. B. C. D. 解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 位似图形 题型八 61．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（    ） A. B. C. D. 解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 位似图形 题型八 C 解｜题｜方｜法 位似三角形是特殊的相似三角形，所以在确定位似中心和相似比后的解题方法和相似三角形基本一致，要找准对应关系. 位似图形 题型八 类型二 利用位似图形的性质求解 62．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 位似图形 题型八 解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴，∴， ∴，∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴，∴，原选项错误，符合题意； 、∵，∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 63．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．9 D．12 解：∵，∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 位似图形 题型八 C 64．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．30 解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 位似图形 题型八 A 解｜题｜方｜法 寻找位似中心时需要将各顶点进行连线，网格中可以依靠画图并结合几何关系的方法寻找交点. 位似图形 题型八 类型三 确定位似中心的位置 65．（24-25九年级上•全国•期末）如图，△ADC是由等腰直角三角形GOE经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为1:2，已知EO=1，D点的坐标为(2,0)，则这两个三角形的位似中心的坐标是（ ） A．(2/3,0) B．(1,0) C．(0,0) D．(1/3,0) 位似图形 题型八 解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形，∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为，∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为，∴位似中心的坐标是． A 66．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（    ） A．点P B．点Q C．点O D．点K 解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 位似图形 题型八 B 67．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． （1）解：如图，位似中心即为所求． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴，∴， ∵， ∴． 位似图形 题型八 解｜题｜方｜法 画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形.注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 位似图形 题型八 类型四 在网格中画位似图形 68．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 位似图形 题型八 （1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：． 69．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的． (2)在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． (3)求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 位似图形 题型八 （1）解：∵，，， ∴关于轴的对称点坐标分别为，，， 画图如图，即为所求作； （2）解：∵，，，与的相似比为 ∴在第四象限以点为位似中心的位似图形的，，， 画图如图，即为所求作； 69．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的． (2)在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． (3)求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 位似图形 题型八 ． （3）解： 70．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 位似图形 题型八 （1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 70．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 位似图形 题型八 （2）解：当点在第三象限时，如下图所示 当点在第一象限时，如下图所示： 71．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以为位似中心的位似图形，，两点的坐标分别为，．点的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， 且，, ∴ ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即， 位似图形 题型八 类型五 求位似图形的对应坐标 ． 72．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为， ∴点的坐标是或，即或． 位似图形 题型八 或 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中重难突破练 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 期中重难突破练 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （1）证明：∵， ，，， ∵AD平分，∴， ，，． 期中重难突破练 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （2）解：∵，，， ∴， ∵平分，由题意得：， ∴， ∴； 期中重难突破练 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． （1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ，∴四边形是菱形． 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． ， ， ， ， ． （2）证明：∵四边形是菱形， ， 在和中， ， ， 期中重难突破练 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (3)如图2，连接，若，且，求的长． （3）解：，， 由（2）知，， ， 由（2）知，， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ，， ∴，∴， 是等边三角形，又四边形是菱形， ，，即的长为12． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $