精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025年秋季学期第一次月考 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 一、选择题：本大题共24小题，每小题3分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】集合，，则. 故选：C. 2. 已知命题，，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可得出正确答案. 【详解】因为命题，， 所以是 故选：C 3. 是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由“” “”，反之不成立，例如取．即可判断出结论． 【详解】解：由“” “”，反之不成立，例如取． 因此“”是“”的充分而不必要条件． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量的垂直的坐标结论可解． 【详解】向量与垂直，则，即，解得. 故选：C. 5. 已知函数，若，则的取值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类讨论表示方程求解即可. 【详解】当时，，不符合题意， 当时，，符合题意 故选：A 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得的定义域. 【详解】解： 解得 即函数的定义域为 故选： 【点睛】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题． 7. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出三名同学站成一排的所有情况，在其中找到甲站中间的情况个数，根据古典概型计算公式求得结果. 【详解】三名同学站成一排的基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共个 甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共个 甲站在中间的概率： 本题正确选项： 【点睛】本题考查古典概型计算概率问题，属于基础题. 8. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断； 根据幂函数的性质判断； 根据指数函数的性质判断； 根据对数函数的单调性判断． 【详解】解： 故错误； 由于在上单调递减，故即错误； 由于在上单调递减，故即错误； 由于在上单调递增，故即正确， 故选：． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题． 9. 某校为了解学生学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三人中，共抽取人进行问卷调查，在抽样中不需剔除个体，已知高二被抽取的人数为人，则等于（ ） A. 660 B. 720 C. 780 D. 800 【答案】B 【解析】 【分析】先求得分层抽样的抽取比例，然后建立方程可求解. 【详解】由已知，抽样比为 所以有 ，解得 ． 故选：B． 10. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式直接求解即可. 【详解】由于， 所以. 故选：A. 11. 设M是边BC的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量相等的充要条件可得. 【详解】解：是边BC的中点， 故选： 【点睛】本题考查向量的线性运算及向量相等的充要条件，属于基础题. 12. 如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案． 【详解】解：若棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上 则该球是正方体的外接球 球的半径 则球的表面积 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，其中根据已知求出球的半径是解答的关键． 13. 如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ） A. 指数函数： B. 对数函数： C. 幂函数： D. 二次函数： 【答案】A 【解析】 【分析】有散点图知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过点，得到结果． 【详解】解：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长的比较快，且图象过点， 图象由指数函数来模拟比较好， 故选：． 【点睛】本题考查散点图和两个变量之间的关系，本题解题的关键是看出图象的变化特点和图象所过的特殊点，属于基础题． 14. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】. 故选B 【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 15. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 16. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C. 17. 下列命题中正确的是 A. 垂直于同一个平面的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 垂直于同一直线的两条直线平行 D. 垂直于同一个平面的两个平面平行 【答案】A 【解析】 【详解】由空间中的点线面位置关系逐项考查所给选项可得： A. 垂直于同一个平面的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线不一定平行 C. 垂直于同一直线的两条直线不一定平行 D. 垂直于同一个平面的两个平面不一定平行 本题选择A选项. 18. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 19. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 20. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 21. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】要判断向量是否共面，需依据向量共面定理：三个向量共面的充要条件是其中一个向量可由另外两个不共线向量线性表示，用此定理一一进行检验即可判断. 【详解】构成空间的一个基底，不共面. 选项A：因，则三个向量共面； 选项B：因，则三个向量共面； 选项C：假设共面，则存在，使得， 这与不共面相矛盾，故假设不成立，即不共面； 选项D：因，则三个向量共面. 故选：C. 22. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，由此可列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知， 所以 解得： 故选：B. 23. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找到平面的垂线BE，则就是直线与面所成的角，再解直角三角形即可. 【详解】如图，设点E为线段的中点，连接. 因为在长方体中，平面， 所以平面，平面，得. 又，且E为线段BC的中点，所以，且平面， 所以平面，故就是直线与面所成的角. 在直角三角形中，，， 所以.故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 24. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 25. 已知函数是定义域为的奇函数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义解出函数值； 【详解】函数是定义域为的奇函数，则， 若，则， 故答案为：. 26. 甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】算出两者的成绩的方差，方差越小越稳定来判断． 【详解】按照公式先求出两者的平均值后算方差即可． ， . 由于，则本次测试中成绩比较稳定的是乙. 故答案为：乙. 27. 已知向量，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算可得. 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题. 28. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 故答案为： 三、解答题：本大题共2小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 29. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 【答案】（1）， （2） ∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 【解析】 【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标； （2）求出，证明出结论. 【小问1详解】 根据空间直角坐标系可得，. 【小问2详解】 略 30. 在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【小问1详解】 如图建系，，，，，， 则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次月考 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 一、选择题：本大题共24小题，每小题3分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，那么是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知函数，若，则的取值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 A. B. C. D. 8. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 某校为了解学生学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三人中，共抽取人进行问卷调查，在抽样中不需剔除个体，已知高二被抽取的人数为人，则等于（ ） A. 660 B. 720 C. 780 D. 800 10. （ ） A. B. C. D. 11. 设M是边BC的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 12. 如果棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 13. 如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ） A. 指数函数： B. 对数函数： C. 幂函数： D. 二次函数： 14. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 17. 下列命题中正确的是 A. 垂直于同一个平面的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 垂直于同一直线的两条直线平行 D. 垂直于同一个平面的两个平面平行 18. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 19. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 20. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 21. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 22. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 23. 在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 24. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 25. 已知函数是定义域为的奇函数，若，则______． 26. 甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是______．（填甲或乙） 27. 已知向量，，则________． 28. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为______. 三、解答题：本大题共2小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 29. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 30. 在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $