7.3复数的三角表示 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕复数的三角表示展开，涵盖三角表示式（模、辐角、结构特征）、辐角主值、乘除运算的三角法则及几何意义。通过向量的模与方向角引入，衔接复数代数形式，搭建从几何直观到三角表示的学习支架。 资料以例题解析与分层练习为特色，通过代数与三角形式互化步骤总结、乘除运算几何意义应用，培养学生的几何直观（数学眼光）与逻辑推理（数学思维）。习题从基础互化到综合几何问题，助力学生用数学语言表达运算规律，提升自主学习与问题解决能力。

7.3 复数的三角表示 【知识点概况】 一、复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中， 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模， 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，且，；规定：复数0的辐角任意 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是： 二、辐角主值 范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z 三、复数乘、除运算的三角表示 （1）r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2）] （2） 四、复数乘、除法的几何意义 （1）复数乘法的几何意义： 如图，两个复数z1，z2相乘时，先分别画出z1，z2与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的倍r2，得到向量，表示的复数就是积z1z2. （2）复数除法的几何意义： 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出z1，z2与对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商. 思考：两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？ 【课堂练习】 一、复数的加、减法运算 【例1】请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值） （1） -1； （2）； （3）ai（a≠0，a∈R） 【例2】将下列复数化为代数形式： （1）； （2） 总结：（1）复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角得主值；③写出其三角形式. （2）将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可. 【练习】 1.请将下列复数表示成三角形式（辐角取主值） （1）1+i； （2） 2.将下列复数表示成代数形式 （1） （2） 二、复数加、减法的几何意义 【例3】求下列复数的积、商. （1） （2） 总结：（1）两个复数三角形式乘法运算的法则可简记为：模数相乘，辐角相加，并且可以作以下推广： ①有限个复数相乘，结论亦成立. 即z1·z2···zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)···rn(cosθn+isinθn)=r1·r2···rn[cos(θ1+θ2+···θn)+ isin(θ1+θ2+··θn）] ②当z1=z2=···=zn=z时，即r1=r2=···=rn=r，θ1=θ2=···=θn=θ，有zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+ isinnθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍. （2） 进行两个复数的三角形式除法运算时，将模对应相除当模，用被除数辐角减去除数的辐角当作商的辐角，即可得两个复数的除法结果. 【练习】 1.求下列复数的积、商 （1） （2） 三、综合问题 【例4】如图，若与分别表示复数，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状. 总结：此题利用复数三角形式的除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便. 【练习】 1.已知，将按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为 . 【课后练习】 1.复数-3i的辐角主值为（ ） A. B. C. D. 2.复数的三角形式为（ ） A. B. C. D. 3.计算（ ） A. B. C. D. 4.计算（ ） A. B. C. D. 5.在复平面中，把复数对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $