7.3复数的三角表示 学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3  复数的三角表示

【知识点概况】

一、复数的三角表示式

如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.

 

 

 

 

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，其中，

概念名称	概念的说明
模r	r是复数z的模，
辐角θ	θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，且，；规定：复数0的辐角任意
三角形式	r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、辐角主值

           范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z                     

三、复数乘、除运算的三角表示

（1）r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2）]

（2）

四、复数乘、除法的几何意义

   （1）复数乘法的几何意义：

  如图，两个复数z1，z2相乘时，先分别画出z1，z2与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的倍r2，得到向量，表示的复数就是积z1z2.

  （2）复数除法的几何意义：

  如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出z1，z2与对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.

 

 

 

 

 

思考：两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？

  

【课堂练习】

一、复数的加、减法运算

【例1】请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）

（1）-1； （2）； （3）ai（a≠0，a∈R）

 

【例2】将下列复数化为代数形式：

（1）； （2）