精品解析：广西壮族自治区崇左市凭祥市高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025年秋季学期第一次素质检测 高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卜雪静 审题人：黄淑兰 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 6. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 7. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 8. 我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本照共3小题，每小题6分，共18分，在每小理给出的选项中，有多项符合题目要求，全自选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知直线l：，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 10. 已知空间四点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 11. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离是； B. 直线到直线的距离是； C. 点到平面的距离是； D. 直线到平面的距离是． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为___________． 13. 已知，，则________． 14. 有A、B、C、D四位同学按照逆时针方向站在一个正方形的四个顶点，进行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率是，传给不相邻顶点的人的概率是，例如将球传给和的概率均为，传给的概率为．若游戏开始时，球在同学手里，则经过3次传球后，球回到A同学手里的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角余弦值． 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 19. 已知函数最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次素质检测 高二 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卜雪静 审题人：黄淑兰 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由题意可知：． 故选：B 2. 某学校初中部和高中部分别有400名和200名学生，为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中部中抽取40名学生，则n为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质列式求解即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得. 故选：D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ，故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 4. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量垂直数量积为零求出，计算出. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 6. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. C. 1或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 7. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 8. 我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体，其中是边长为的正方形，为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，，，，且平面与平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】补形为正方体，利用正方体的性质以及异面直线所成角的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC， 由题可知， 所以是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 则． 故选：A 二、选择题:本照共3小题，每小题6分，共18分，在每小理给出的选项中，有多项符合题目要求，全自选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知直线l：，则下列选项中正确有（ ） A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断. 【详解】对于A，直线方程可变为，截距是2，故A正确； 对于B，斜率，故B错误； 对于C，由直线方程可知，故直线l不经过第三象限，故C正确； 对于D，该直线的一个方向向量为，与平行，故D正确； 故选：ACD 10. 已知空间四点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示公式、夹角公式，结合四点共面的性质、点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：因为， 所以，因此本选项不正确； B：因为， 所以，因此本选项正确； C：， ， 所以 所以点到直线的距离为，因此本选项不正确； D：因为， 所以有，因此是共线向量， 所以四点共面，因此本选项正确， 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离是； B. 直线到直线的距离是； C. 点到平面的距离是； D. 直线到平面的距离是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为，所以． 所以点到直线的距离为．正确， 对于B：因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为正确， 对于C：设平面的一个法向量为，． 由，令，则，即． 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误， 对于D：因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离． ，由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 13 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 有A、B、C、D四位同学按照逆时针方向站在一个正方形四个顶点，进行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率是，传给不相邻顶点的人的概率是，例如将球传给和的概率均为，传给的概率为．若游戏开始时，球在同学手里，则经过3次传球后，球回到A同学手里的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】应用独立事件乘法求ABCA等6种情况概率，再应用互斥事件加法求概率； 【详解】ABCA概率为：，ABDA的概率为：， ACBA的概率为：，ACDA的概率为：， ADBA的概率为：，ADCA的概率为：， 经过3次传球后，球回到A同学手里的概率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 【小问2详解】 因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【小问1详解】 证明：连接， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，则． 【小问2详解】 因为直三棱柱中，， 所以，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 令可得． 设与平面所成角为， 所以， 即与平面成角的正弦值为， 所以与平面成角的余弦值为． 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】（1），平均年龄为31.75；中位数为31 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得. 【小问1详解】 由题意有：，解得， 设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. 【小问2详解】 由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有10个零点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数单调性计算即可得； （2）得到解析式后，利用正弦型函数性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 由最小正周期为，得，则， 所以， 则， 整理得， 所以函数的单调递增区间是； 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位， 可得到的图像，所以， 令，得或， 所以在上恰好有两个零点且不为区间端点， 若在上至少有10个零点， 则不小于第10个零点的横坐标即可， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $