精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

象山中学2025～2026学年度第一次月考试题 高二数学试题 （满分：150分，时长：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若直线经过第一、二、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 2. 已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 3. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 4. 若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 5. 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. (x≤－1) 【答案】D 【解析】 【分析】设动圆圆心M坐标为（x，y），半径为r，由题意可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，可得点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．根据2a＝2，c＝3，求得b值，即可得点M的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r， 由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3， 相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|， 故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支． 由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝， 故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1）， 故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题． 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 7. 中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 8. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项. 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 14. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可. 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 四、解答题（5题，共77分） 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两点式求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据直线垂直的判定列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，则， 故； 【小问2详解】 由，则， 可得. 16. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上可得结果； （2）利用点到直线距离解方程可得. 【小问1详解】 由题意得，圆心在直线上， 即, 解得. 【小问2详解】 圆的半径为，圆心到直线的距离， 解得或. 17. 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，所以， 把点的坐标代入方程，得，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程组消去，得. 解得或不妨设，，则. 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点. ①若线段中点的横坐标为，求的值； ②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①,②. 【解析】 【详解】分析：（1）先根据已知得到a,c的两个方程，解方程即得椭圆的方程.(2) ①,先联立直线与椭圆的方程得到韦达定理=2×，即得k的值. ②假设存在定点使得为定值，设点,先求，再分析得到，即得m的值. 详解：（1）由题意得：① ，②， 由①②解得：，∴， ∴椭圆的方程为. （2）由消去得， ， 设，则， ①∵线段的中点的横坐标为，所以，即， 所以； ②假设存在定点使得为定值，设点， 所以 为定值， 即，故， 解得：，所以当时为定值，定值为. 点睛：（1）本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是计算出，其二是分析得到. 19. 已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在定点 【解析】 【分析】（1）设圆方程为，代入已知三点组成方程组，解出即可得到圆的方程； （2）联立圆与圆的两方程相减得到公共弦的方程，求出圆心到公共弦的距离，再利用勾股定理，即可求得公共弦长； （3）假设在y轴上存在定点，设，，利用两点距离公式可得，由P满足圆方程，可得，即存在定点使得为定值. 【小问1详解】 设圆方程为， 因为圆过，，三点， 则，解得：, 所以圆方程为. 【小问2详解】 圆方程化为一般方程为：， 联立圆与圆两圆方程得： ， 两式相减得公共弦的方程：， 圆的标准方程为，圆心，半径为4， 圆心到直线的距离， 又圆的半径为4，所以公共弦长为. 【小问3详解】 假设在y轴上存在定点，满足题意， 不妨设，，则， 即：， ① 因为P为圆上任意一点，所以满足，即， 所以①式可化简为：， 那么，解得：或（舍去）， 所以存在定点使得为定值. 【点睛】关键点点睛：小问（2），两圆方程相减得到公共弦的方程；小问（3），假设在y轴上存在定点，设，，由两点距离公式可得关于的方程，又P满足圆方程，再由对应相等求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025～2026学年度第一次月考试题 高二数学试题 （满分：150分，时长：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若直线经过第一、二、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. (x≤－1) 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 10. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程可以为 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 13. 已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为________． 14. 设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________． 四、解答题（5题，共77分） 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 16. 已知直线，圆. （1）若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值； （2）若直线与圆相切，求实数的值. 17. 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点. ①若线段中点的横坐标为，求的值； ②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由. 19. 已知圆过，，三点． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆：的公共弦长； （3）已知，P为圆上任意一点，在y轴上是否存在定点N（异于点M），使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $