2.1 等式性质与不等式性质 课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质（课后练习） 姓名： 班级： 学号： 【基础通关】 一、单项选择题 1.已知a＜b＜0，c＜d＜0，则下列不等式错误的是（　 ） A.a＋c＜b＋d B.ac＞bd　 C.＞ D.a2＞ab＞b2 2.已知P＝a2＋3a＋3，Q＝a＋1，则P与Q的大小关系为（　 ） A.P＜Q B.P＝Q C.P＞Q D.P≤Q 3.使a＞b成立的一个充分不必要条件是（　 ） A.a＞b－1 B.a2＞b2 C.a＞b＋1 D.＜1 4.若－1＜α＜β＜1，则α－β的范围为（　 ） A.{x｜－2＜x＜0} B.{x｜－2＜x＜－1} C.{x｜－1＜x＜0} D.{x｜0＜x＜1} 5.若a＜b＜0，下列不等式中：①＜1；②｜a｜＞｜b｜；③＜；④＜，成立的有（　 ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列命题是真命题的是（　 ） A.若＝，则x＝y B.若x2＝4，则x＝2 C.若m＝n，则＝ D.若m＜n，则m2＜n2 7.设a，b∈R，则“a＋b＞0”是“a＞0且b＞0”的（　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　 ） A.＞ B.a＋＞b＋ C.a－＞b－ D.＞ 二、多项选择题 9.下列说法正确的有（　 ） A.若ac2＞bc2，则a＞b B.若则 C.若a＞b＞0，则a－b＞－ D.若则ab＜1 10.已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列正确的是（　 ） A.∈（，4） B.a＋b∈（21，78） C.a－b∈（－9，42） D.∈（，） 11.若x＞y＞z，且x＋2y＋z＝0，则（　 ） A.x＞0 B.z＜0 C.xy＞yz D.＜ 三、填空题 12.不等式≥2的解集是 . 13.已知实数a，b满足－6＜a＜－3，5＜b＜7，则3a－2b的取值范围为 . 14.已知f（n）＝－n，g（n）＝n－，φ（n）＝（n∈N＋，n＞2），则f（n），g（n），φ（n）的大小关系是 . 四、解答题 15.已知－2≤a＋b≤3，2≤a－b≤5. （1）求实数a的取值范围； （2）求2a＋3b的取值范围. 【能力提升】 16.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，能组成哪几个正确的不等式命题？ 【拓展思维】 17.（1）比较x3与x2－x＋1的大小； （2）已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0. ①求证：＞. ②求的取值范围. 参考答案 1.C　解析：因为a＜b＜0，c＜d＜0，所以a＋c＜b＋d，故选项A正确； 因为－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，所以ac＞bd，故选项B正确； 因为－c＞－d＞0，－＞0，所以＜，故选项C错误； 因为－a＞－b＞0，所以a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2，故选项D正确. 故选C. 2.C　解析：因为P－Q＝a2＋3a＋3－（a＋1）＝a2＋2a＋2＝（a＋1）2＋1＞0， 所以P＞Q.故选C. 3.C　解析：对于A，取a＝1，b＝1时，可知a＞b－1，但a＝b，故a＞b－1是a＞b的不充分条件，故A错误； 对于B，取a＝－2，b＝1，可知a2＞b2，但a＜b，故a2＞b2是a＞b的不充分条件，故B错误； 对于C，由a＞b＋1，所以a＞b，反之不成立，故C正确； 对于D，当a＜0时，由＜1，得a＜b，故＜1是a＞b的不充分条件，故D错误. 故选C. 4.A　解析：因为－1＜α＜β＜1，所以所以－2＜α－β＜0，即α－β的范围为{x｜－2＜x＜0}. 故选A. 5.A　解析：因为a＜b＜0，所以＞1，故①错误； ｜a｜＞｜b｜＞0，故②正确； ｜a｜2＞｜b｜2＞0，即a2＞b2＞0，所以＞，故③错误； 因为a＜b＜0，所以＞，故④错误. 故选A. 6.A　解析：对于A，由＝可知x，y均不为0，故x＝y，即A正确； 对于B，由x2＝4可得x＝2或x＝－2，故B错误； 对于C，由m＝n，若取m＝n＝－1，则，没有意义，故C错误； 对于D，由m＜n，若取m＝－2，n＝1，则m2＞n2，故D错误. 故选A. 7.B　解析：令a＝3，b＝－1，满足a＋b＞0，但a＞0，b＜0； 当a＞0且b＞0时，能得到a＋b＞0， 所以“a＋b＞0”是“a＞0且b＞0”的必要不充分条件. 故选B. 8.C　解析：对A：若a＝1，b＝，则有＝，＝＝，此时＜，故A错误； 对B：若a＝1，b＝，则有a＋＝1＋1＝2，b＋＝＋2＝，此时a＋＜b＋，故B错误； 对C：（a－）－（b－）＝（a－b）＋－＝（a－b）＋， 由a＞b＞0，故a－b＞0，a＋b＞0，ab＞0，故（a－）－（b－）＞0，即a－＞b－，故C正确； 对D：若a＝1，b＝，则＝＝，＝＝2， 此时＜，故D错误. 故选C. 9.AC　解析：A中，因为ac2＞bc2，可得c2＞0，所以a＞b，所以A正确； B中，若a＝1，b＝2也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，a＞b＞0，则a－b－（－）＝（a－b）－＝， 因为a＞b＞0，ab＞0，而1＋ab＞0，所以a－b－（－）＞0，即a－b＞－，所以C正确； D中，若当a＝b＝－2时，则ab＞1，则ab＜1错误，所以D不正确. 故选AC. 10.AB　解析：因为6＜a＜60，15＜b＜18， 所以＜＜，－18＜－b＜－15， 则＜＜，6＋15＜a＋b＜60＋18，6－18＜a－b＜60－15， 即＜＜4，21＜a＋b＜78，－12＜a－b＜45， 则＝＋1∈（，5）， 故AB正确，CD错. 故选AB. 11.ABD　解析：由x＞y＞z且x＋2y＋z＝0，得x＋2y＋z＜x＋2x＋x＝4x，所以4x＞0，x＞0，A选项正确； x＋2y＋z＞z＋2z＋z＝4z，所以4z＜0，z＜0，B选项正确； 取x＝1，y＝0，z＝－1，则xy＝yz，C选项错误； 由x＞y＞z得0＜x－y＜x－z，所以＞. 因为z＜0，所以＜，D选项正确. 故选ABD. 12.［，5）　解析：≥2等价于－2≥0，即≥0， 得到解得≤x＜5， 故不等式≥2的解集为［，5）. 故答案为［，5）. 13.（－32，－19）　解析：因为－6＜a＜－3，5＜b＜7， 所以－18＜3a＜－9，－14＜－2b＜－10， 所以－32＜3a－2b＜－19， 即3a－2b的取值范围为（－32，－19）. 故答案为（－32，－19）. 14.f（n）＜φ（n）＜g（n）　解析：∵f（n）＝－n＝＜＝φ（n）， g（n）＝n－＝＞＝φ（x）， ∴f（n）＜φ（n）＜g（n）. 故答案为f（n）＜φ（n）＜g（n）. 15.解：（1）因为－2≤a＋b≤3，2≤a－b≤5， 两式相加得0≤2a≤8，所以0≤a≤4， 所以实数a的取值范围为[0，4]. （2）设2a＋3b＝x（a＋b）＋y（a－b）， 所以2a＋3b＝（x＋y）a＋（x－y）b， 所以解得 所以2a＋3b＝（a＋b）－（a－b）. 因为－5≤（a＋b）≤，－≤－（a－b）≤－1， 所以－≤2a＋3b≤， 所以2a＋3b的取值范围为. 16.解：由②可知－＞0，∴＞0， 若③式成立，即bc＞ad，则bc－ad＞0，∴ab＞0， 故由②③⇒①正确； 由①ab＞0得＞0，不等式bc＞ad两边同乘，得＞，∴＞，故由①③⇒②正确； 由②得－＞0，∴＞0， 若①成立，则bc＞ad，故由①②⇒③正确. 综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①. 17.（1） 解：x3－（x2－x＋1）＝（x3－x2）＋（x－1）＝（x2＋1）·（x－1）， 当x＝1时，（x2＋1）（x－1）＝0，故x3＝x2－x＋1， 当x＞1时，（x2＋1）（x－1）＞0，故x3＞x2－x＋1， 当x＜1时，（x2＋1）（x－1）＜0，故x3＜x2－x＋1. （2）① 证明：∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴c＜0. ∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0， 两边取倒数得＜. 又∵c＜0，∴＞，从而得证. ② 解：∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0. ∴＜0，＜1. ∵a＋b＋c＝0， ∴1＋＋＝0，即＝－－1， ∴－－1＜1，即＞－2. 综上，－2＜＜0. 学科网（北京）股份有限公司 $