1.1 集合的概念（第二课时 集合的表示）课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第二课时　集合的表示（课后练习） 姓名： 班级： 学号： 【基础通关】 一、单项选择题 1.设集合A＝{x｜x＜2}，则（ 　） A.2∈A B.∈A C.2 023∈A D.0∉A 2.下列集合的表示方法正确的是（ 　） A.第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）｜xy≤0，x∈R，y∈R} B.不等式x－1＜4的解集为{x＜5} C.{全体整数} D.实数集可表示为R 3.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是（ 　） A.{1，－2} B.{x＝1，y＝－2} C.{（－2，1）} D.{（1，－2）} 4.下列集合中表示同一集合的是（ 　） A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B.M＝{2，3}，N＝{3，2} C.M＝{（x，y）｜x＋y＝1}，N＝{y｜x＋y＝1} D.M＝{2，3}，N＝{（2，3）} 5.下列集合中，不同于另外三个集合的是（ 　） A.{0} B.{y｜y2＝0} C.{x｜x＝0} D.{x＝0} 6.集合A＝{x｜3x＋2＞m}，若－1∉A，则实数m的取值范围是（ 　） A.m＜－1 B.m＞－1 C.m≥－1 D.m≤－1 7.下列命题中正确的是（ 　） A.集合{x∈R｜x2＝1}中有两个元素 B.集合{0}中没有元素 C.∈{x｜x＜2} D.{1，2}与{2，1}是不同的集合 8.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为（ 　） A.3 B.4 C.5 D.6 二、多项选择题 9.方程组的解集可表示为（ 　） A. B. C.（2，1） D.{（2，1）} 10.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（ 　） A.2 B.－2 C.－3 D.1 11.下列说法错误的是（ 　） A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{（x，y）｜xy＞0} B.方程＋｜y＋2｜＝0的解集为{－2，2} C.集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}是相等的 D.若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A 三、填空题 12.用列举法表示集合A＝{（x，y）｜x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为 . 13.已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x＝ . 14.已知集合A＝{x∈Z｜∈Z}. （1）用列举法表示集合A＝ ； （2）集合A的所有元素之和为 . 四、解答题 15.（链接教材P5练习T3）用适当的方法表示下列集合： （1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集； （2）在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； （3）不等式x－2＞6的解构成的集合； （4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； （5）方程组的解集. 【能力提升】 16.已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}. （1）若A中只有一个元素，求a的值； （2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【拓展思维】 17.（1）如果集合A＝{x｜x＝m＋n}（m，n∈Z），x1，x2∈A，证明：x1x2∈A. （2）如果集合B＝{x｜x＝m＋n，整数m，n互素}，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由. 参考答案 1.B　解析：因为＜2，集合A＝{x｜x＜2}，所以∈A，故选B. 2.D　解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复. 3.D　解析：由得∴两函数图象的交点组成的集合是{（1，－2）}. 4.B　解析：选项A中的集合M是由点（3，2）组成的点集，集合N是由点（2，3）组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y｜x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合. 5.D　解析：由集合的含义知{0}＝{y｜y2＝0}＝{x｜x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”组成的集合，故选D. 6.C　解析：∵ 集合A＝{x｜3x＋2＞m}，－1∉A，∴3×（－1）＋2≤m，即m≥－1，故选C. 7.A　解析：{x∈R｜x2＝1}＝{1，－1}； 集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0； {x｜x＜2}＝{x｜x＜}，＞，∉{x｜x＜2}； 根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合. 8.B　解析：当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素. 9.ABD　解析：由得故结合选项可知ABD均正确. 10.AC　解析：因为2∈M， 所以3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2. 若3x2＋3x－4＝2，则x＝－2或x＝1. 当x＝－2或x＝1时， x2＋x－4＝－2，不满足集合中元素的互异性，所以舍去. 若x2＋x－4＝2，则x＝－3或x＝2. 当x＝－3或x＝2时，3x2＋3x－4＝14，满足集合中元素的互异性. 综上所述，x＝－3或x＝2，故选AC. 11.BCD　解析：A中，因为xy＞0⇔或 所以集合{（x，y）｜xy＞0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确. B中，方程＋｜y＋2｜＝0的解集为{（2，－2）}，故B错误. C中，集合{（x，y）｜y＝1－x}表示直线上的点集，{x｜y＝1－x}表示数集，两集合不相等，C错误. D中，A＝{－1，0，1}，知－1.1∉A，D错误. 12.{（0，3），（1，2），（2，1）} 解析：集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1.故A＝{（0，3），（1，2），（2，1）}. 13.－3　解析：由题意可知1＋2＋3＋x＝x或1＋2＋3＋x＝3，解得x＝－3. 14.（1）{－1，1，2，4，5，7} （2）18 解析：（1） 由∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.解得x＝－1，1，2，4，5，7.又∵x∈Z，∴A＝{－1，1，2，4，5，7}. （2） 由（1）得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18. 15.解：（1）{0，－1}. （2）{x｜x＝2n＋1，且x＜1 000，n∈N}. （3）{x｜x＞8}. （4）{1，2，3，4，5，6}. （5）用描述法表示为， 用列举法表示为{（2，－1）}. 16.解：（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意. 故当A中只有一个元素时，a的值为0或1. （2）A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素. 当A中只有一个元素时，由（1）可知，a＝0或a＝1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，且a≠0，即a＞1. 综上所述，当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a｜a＝0或a≥1}. 17.（1）证明：因为x1，x2∈A，所以可设x1＝a1＋b1，x2＝a2＋b2，其中a1，a2，b1，b2∈Z，则x1x2＝（a1＋b1）·（a2＋b2）＝（a1a2＋2b1b2）＋（a1b2＋a2b1）. 由a1，a2，b1，b2∈Z，可知a1a2＋2b1b2∈Z，a1b2＋a2b1∈Z，因此x1x2∈A. （2）解：设x∈B，则x＝m＋n（整数m，n互素）， 所以＝＝＋×. 若∈B，则与是互素的整数. 又m与n互素，所以m2－2n2＝±1， 所以当m，n互素，且m2－2n2＝±1时，x∈B且∈B. 如取m＝3，n＝2，得x＝3＋2，＝3－2. 综上，存在x，使得x与都属于集合B，如x＝3＋2.（注：x的取值不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $