精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第三高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

延吉市第三高级中学2025—2026学年度第一学期 高二年级10月阶段性考试数学学科试卷 命题人：姜莹 审核人：田巍巍 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，认真核对姓名､准考证号. 2.选择题答案用2B铅笔涂在答题纸表格里；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案答在答题卡上，字体工整､笔迹清楚.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 3.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一､选择题：（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 已知向量，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算方法计算即可． 【详解】2,，5,， ， 故选：C． 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 4. 已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 5. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同 【答案】C 【解析】 【分析】借助空间向量基底定义与性质逐项判断即可得. 【详解】对A：任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，故A错误； 对B：空间的基底有且无数个，故B错误； 对C：两两垂直的三个非零向量不共面，故可构成空间的一个基底，故C正确； 对D：由于基底不唯一，故不一定相等，故D错误. 故选：C. 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点， 所以，所以， 因为点N为BC中点，所以， 所以. 故选：A 8. 已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 二､多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分.选对不全得部分分，全选对6分，有错选项0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10 已知，，，则（ ） A. B. C. 若向量，则 D. 若向量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量加法和模长的坐标运算、向量共线与垂直的坐标表示依次判断各个选项即可. 详解】对于A，，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 11. 下面四个结论正确的是（    ） A. 空间向量，若⊥，则 B. 若对平面中任意一点，有 则，，三点共线. C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D. 任意向量，满足. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的基本概念，即可判断选项. 【详解】A选项，空间向量，若⊥，，夹角为， 则，A正确； B选项，，所以，，三点共线，B正确； C选项，是空间的一个基底，则不存在使得， 设，即，即，此方程无解， 故不共面，则也是空间的一个基底，C正确； D选项，不妨设， 则，， 此时，D错误. 故选：ABC 三､填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的值为 ____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又，所以，解得. 故答案为：2. 13. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意建立空间直角坐标系，分别求得，的坐标表示，进而利用空间向量数量积运算即可求得与所成角的余弦值. 【详解】由题意，易知面，，故建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，则，，，， 则，故，， 设的夹角为，所以. 故答案为：. 14. 已知，若，，那么的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，利用向量的减法运算、模长公式的坐标形式以及二次函数计算求解. 【详解】因为，，所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5道题，共77分.） 15. 如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算直接得出. 【小问1详解】 由，中点， 则 ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 . 16. 如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： （1）顶点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． （1）分别利用向量法求点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离等于到平面的距离．用向量法求点到平面的距离； 【小问1详解】 以点D为原点，分别以、与为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，. 设平面的法向量为，所以，．因为，，由，得，不妨取，则. 而向量， 所以B到平面的距离； 【小问2详解】 直线到平面的距离等于到平面的距离． 因为， 所以到平面的距离． 17. 如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线段关系证明，结合直棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量研究面面夹角即可. 【小问1详解】 因为，，底面为平行四边形 所以， 则，由直四棱柱的性质可知两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，取，则， 所以， 易知，所以平面； 【小问2详解】 由上可知，设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以， 设平面与平面所成角， 所以. 即平面与平面所成角的余弦值为. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点. （1）求证：平面； （2）在侧面内找一点，使平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，根据空间向量研究线面位置关系即可； （2）设点坐标，利用空间向量研究线面关系建立方程计算即可； （3）利用空间向量研究线面夹角计算即可. 【小问1详解】 因为，，底面，底面， 所以，可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 易知是平面的一个法向量，，且平面， 所以平面； 【小问2详解】 设点坐标，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 若平面，则，解之得， 所以； 【小问3详解】 由上可知，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式计算即可； （2）借助二次函数，求出最小时对应的，然后找出二面角的平面角，借助向量夹角公式计算求解即可. 【小问1详解】 以B原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，所以，， 所以． 【小问2详解】 ，当时，最小， 此时，M，N为中点，则，），取MN的中点G，连接AG，BG， 则，因为，，所以，， 所以是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第三高级中学2025—2026学年度第一学期 高二年级10月阶段性考试数学学科试卷 命题人：姜莹 审核人：田巍巍 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，认真核对姓名､准考证号. 2.选择题答案用2B铅笔涂在答题纸表格里；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案答在答题卡上，字体工整､笔迹清楚.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 3.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一､选择题：（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A B. 5 C. D. 1 4. 已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B. 空间的基底有且仅有一个 C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D. 任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同 7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分.选对不全得部分分，全选对6分，有错选项0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. 若向量，则 D. 若向量，则 11. 下面四个结论正确的是（    ） A. 空间向量，若⊥，则 B. 若对平面中任意一点，有 则，，三点共线. C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D 任意向量，满足. 三､填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则的值为 ____． 13. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________ 14. 已知，若，，那么的最小值为______． 四､解答题（本题共5道题，共77分.） 15. 如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求： （1）顶点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 17. 如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值 18. 如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为中点. （1）求证：平面； （2）在侧面内找一点，使平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）求MN的长； （2）当MN长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $